清华大学版理论力学课后习题答案大全 第6章刚体平面运动分析

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第6章 刚体的平面运动分析

6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度 绕轴O转动，当运动开始时，角速度 0= 0，转角 0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。 s 解：xA (R r)co

yA (R r)sin

为常数，当t = 0时， 0= 0= 0

（1） （2）

12 t 2

（3）

起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记 OAP ，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过

A

因动齿轮纯滚，故有CP0 CP，即 R r

RR r ， A rr

习题6-1图

（4）

将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：

2

x (R r)costA 2

2

yA (R r)sint

2

1R r2 A 2r t

6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。

解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为

AB

vvcos v0cos 0 0 APACh

2

习题6－2图

习题6－2解图

6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度 A与 B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。

vAv RRvv

B B

2R2 A 2 B

解： A

vB = v B A

习题6-3图

习题6-3解图

vA = v

6－4 直径为3mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度 ＝12 rad/s， ＝30 ， ＝60 ，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。

— 1 —

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解：杆BC的瞬心在点P，滚子O的瞬心在点D vB BD

BC

vB BD BPBP

12 603cos30

270sin30 8rad/s

vC BC PC

8 0.27cos30 1.87m/s

习题6-4图

习题6-4解图

6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。

习题6-5图

解：图（a）中平面运动的瞬心在点O，杆BC的瞬心在点C。

图（b）中平面运动的杆BC的瞬心在点P，杆AD做瞬时平移。

习题6-5解图

(a)

6－6 图示的四连杆机械OABO1中，OA = O1B =

1

AB，曲柄OA的角速度 = 3rad/s。试求当示。 = 90°2

而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。

解：杆AB的瞬心在O

AB

v

A 3rad/s OA

v

B 3

5.2rad/s l

习题6-6图

vB l O1B

习题6-6解图

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6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度vA= 0.8m/s，试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？

解：如图

vA0.8

1.333rad/s

0.9 0.30.6

8

vO 0.9 O 0.9 1.2m/s

6

O

卷轴向右滚动。

习题6-7图

6－8 图示两齿条以速度v1和v2作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，求齿轮的角速度及其中心O的速度。

解：如图，以O为基点： v1 vO Or

v2 vO Or

解得：

v1 v2

2v v O 12

2rvO

习题6－8图 习题6－8解图

6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度 = 20rad/s，试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE的速度。已知OA = 400mm，AC = CB = 20037mm。

v

习题6－9图

解：OA定轴转动；AB、CD平面运动，DE平移。 1．当 = 90°，270°时，OA处于铅垂位置，图（a）表示 = 90°情形，此时AB瞬时平移，vC水平，而vD只能沿铅垂， D为CD之瞬心 vDE = 0

同理， = 270°时，vDE = 0

2． = 180°，0°时，杆AB的瞬心在B = 0°时，图（b），vC

vA（↑）

此时CD杆瞬时平移

vDE vD vC vA 4m/s（↑） 同理 = 180°时，vDE = 4m/s（↓）

12

12

(a)

(b)

习题6－9解图

6－10 杆AB长为l = 1.5 m，一端铰接在半径为r = 0.5 m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O

速度的大小为vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及轮和杆的角速度。

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解：轮O的速度瞬心为点C ，杆AB的速度瞬心为点P O

vO20 40rad/s r0.5

A vA O2r 2m/s

AB

vA2sin45

AP1.5cos 102=14.1 rad/s

习题6－10图

vBcos vAcos(45 )

vB 2(cos45 sin45 tan ) 12.9m/s

6－11 图示滑轮组中，绳索以速度vC = 0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B的角速度与重物D的速度。

解：轮B瞬心在F点 vE = vC B

vE

60 2 10 3

11

vD vB vE vC 0.06m/s

22

0.12

1rad/s 0.12

F

习题6－11图

6－12 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA为一摇杆，且CA⊥DE。曲柄OA = 200mm，CO = CE = 250mm，曲柄转速n = 70r/min，CO = 2003mm。试求当 = 90°时（这时OA与CA成60°角）F、G两点的速度的大小和方向。

E

习题6－12图

习题6－12解图

解：动点：OA上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。

πn1.4π10.7

m/s

ve vA πm/s

30323

v0.7π7π7π

e e rad/s vE vD 0.254

e m/s

48CA3 0.412

vA OA 0.2

vG vEcos30

7π 0.397m/s（→） vF vG 0.397m/s（←） 482

6－13 平面机构如图所示。已知：OA = AB = 20 cm，半径r = 5 cm的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。在图示位置时，OA水平，其角速度 = 2 rad/s、角加速度为零，杆AB处于铅垂。试求该瞬时：

（1）圆轮的角速度和角加速度； （2）杆AB的角加速度。

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（1） 圆轮的角速度和角加速度

vA OA 40cm/s

杆AB瞬时平移， AB = 0

vB vA 40cm/s

v

B B 8rad/s

rn

aB aBA 0

a

B B 0

r

（2）杆AB的角加速度。

习题6－13解图

(b)

tt

aA OA 2 80cm/s2 aA aBA 0，aBA

AB

t

aBA 4rad/s2 AB

6－14 图示机构由直角形曲杆ABC，等腰直角三角形板CEF，直杆DE等三个刚体和二个链杆铰接而成，DE杆绕D轴匀速转动，角速度为 0，求图示瞬时（AB水平，DE铅垂）点A的速度和三角板CEF的角加速度。

解：

（1）求点A的速度

vE DE 0 a 0

三角板CEF的速度瞬心在点F

vC

vE

t an

aE F n aFEtF

aE

vA

vC vE a 0

曲杆ABC的速度瞬心在点O

(a)

(b)

习题6—14解图

vA

vC

OA 2a 0 OC

tntn

aF aF aE aFE aFE

（2）求三角板CEF的角加速度

将上式沿水平方向投影

nt

aF aFE 0（因为vF = 0）

t

aFE 0 FE

CEF

6－15曲柄连杆机构在其连杆中点C以铰链与CD相连接，DE杆可以绕E点转动。如曲柄的角速度

ω 8rad/s，且OA 25cm，DE 100cm，若当B、E两点在同一铅垂线上时，O、A、B三点在同

一水平线上， CDE 90 ，求杆DE的角速度和杆AB的角加速度。

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（1）求杆DE的角速度

vA OA 200cm/s

杆AB的速度瞬心在点B

vA

vC vD

aA

aA

aBA

t

aBA

aB

v

vC A 100cm/ s

2

对杆CD应用速度投影定理

vD vCsin30 50cm/s

v

DE D 0.5rad/s

DE

（2）求杆AB的角加速度

tn

aB aA aBA aBA将上式沿铅垂方向投影

(a)

(b)

习题6—15解图

0 a

t

BA， AB

taAB 0 AB

6－16 试求在图示机构中，当曲柄OA和摇杆O1B在铅垂位置时，B点的速度和加速度（切向和法向）。

2

曲柄OA以等角加速度 0= 5rad/s转动，并在此瞬时其角速度为 0= 10rad/s，OA = r = 200mm，O1B = 1000mm，AB = l = 1200mm。 解：1．v：vA r 0

vA

vB

vB//vA ∴ AB 0

vB r 0 0.2 10 2m/s （1）

ntntt

2．a：aB aB aA aA aBA上式沿AB方向投影得：

ntnt

aBsin aBco s aAsin aAco s

tntn

aB aAta n aA aBta n

t

aA

(a)

t

aBA

即

2

r 0 0.169 r 0

2

v

0.169O1B

nA

2B

22

) 0.169 0.2 5 3.70m/s 10.20.2

（tan 0.169）

22.4.2 0.2

(0.2 102

n

A B aAn aB

(b)

n

aB

22

4m/s 1

nB

2

2

a 4m/s

aB：aB t（方向如图） 2

aB 3.7m/s

6－17 图示四连杆机构中，长为r的曲柄OA以等

角速度 0转动，连杆AB长l = 4r。设某瞬时∠O1OA =∠O1BA = 30°。试求在此瞬时曲柄O1B的角速度和角加速度，并求连杆中点P的加速度。 解：1．v：vA r 0

习题6－16解图

vB

由速度投影定理知：vB = 0 O1B 0 AB

vAr 0 0

ABl4

(a)

vA

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tnt

2．a：aB aB aA aBA aBA上式向aA投影

tn

aB cos60 aA aBA

t

aaB aA

aBA

tn22

aB 2(aA aBA) 2(r 0 l AB)

222 2 r 0 4r(4) 2r 0

t

aB O1B

taB2cos30

t aPA

0

5

aA

OB

1

52

r 0t

2acos30 2 B 0

5r5r2

aPA

aA

(b)

习题6－17解图

35252

r 0 r 0 224nt

aP aA aPA aPA

ttaBA aBcos30

2 aA r 0，aPA 2r AB

n2

r21t532t

0，aPA aBA r 0 828

1252 222

aP (aA a) (a) (1 ) ( ) (r 0) 1.56r 0

88

n2

PA

t2PA

6－18 滑块以匀速度vB=2m/s沿铅垂滑槽向下滑动，通过连杆AB带动轮子A沿水平面作纯滚动。设连杆长l =800mm，轮子半径r =200mm。当AB与铅垂线成角 =30 时，求此时点A的加速度及连杆、轮子的角加速度。

解：1．v：点O为杆AB的速度瞬心

vvB

5rad/s AB B

OBlsin

2．a：aA aAB aAB

n2aAB ABl 20m/s2

n

t

tnaAB aABcot 3m/s2

t

aAB 43.3rad/s2 l0.8

(a)

AB

n

aAB

aA 40m/s2

sin

A

aA40 200m/s2 r0.2

(b)

解图 习题6-18

6-19 图示曲柄摇块机构中，曲柄OA以角速度 0绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动；摇块

及与其刚性连结的BD杆则绕B铰转动，杆BD长l。求在图示位置时，摇块的角速度及D点的速度。

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解：

vA OA 0

vBA vAsin30

vA2

C

v

摇块 AC BA 0

2OA4

l

vD DB 摇块 0

4

习题6-19解图

6-20 平面机构的曲柄OA长为2a，以角速度 0绕轴O转动。在图示位置时，AB＝BO且 OAD = 90 。求此时套筒D相对于杆BC的速度。

解：1．分析滑块B

vA 2a 0，vBe a 0

vvBa

vBe2a 0 cos30 4a 0

3

C

2．杆AD作平面运动

vA vDacos30 ，vDa

3．分析滑块D

vDe vBa

2a 02a 0

，vDr vDa vDe 3

6-21曲柄导杆机构的曲柄OA长120mm，在图示位置 AOB=90 时，曲柄的角速度 =4rad/s，角加速度 = 2 rad/s2。试求此时导杆AC的角加速度及导杆相对于套筒B的加速度。设OB=160mm。

解：1．v：分析滑块B（动系）

vA OA

v

a vB vAcos OA cos vr

vBA vAsin OA sin

vBAOA sin 2

sin ABOA

2．a：分析滑块B（动系）

tn2

aA OA ，aA OA

2

AC

aa aB a a a

aC ar

tAnAnBA

a

tBA

将上式沿AC方向投影(tan 120 3)

160

4

ar acos asin at

AnAnBA

2

OA cos OA 2sin AC

OAsin

t

t

习题6-21解图

545.28mm/s2

将加速度的矢量方程沿垂直AC的方向投影：aBA aAsin aAcos aC

n

a

tBA

asin acos aC 574.08mm/s， AC aBA 2.87rad/s2

tA

nA

2

t

AB

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