高考数学真题分类汇：排列组合、二项式定理、算法初步

高考数学真题分类汇：排列组合、二项式定理、算法初步

一、选择填空题

1.（江苏2003年4分）(x2 1)9的展开式中x9系数是2x【答案】

21。 2

【考点】二项式定理的应用。

1r1r9 r18 3r2 9 r r

【分析】根据题意，对于(x2 1)9，有Tr+1=C9， （ （ C9 x9 x

2x22x

令18 3r 9，得r=3，

36

当r=3时，有T4=（ C9 x9

1

221921x。∴(x2 1)9的展开式中x9系数是 。 222x

2.（江苏2003年4分）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 作答） 【答案】120。

【考点】分步乘法计数原理。

▲ 种（以数字

【分析】从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求：

（1）若②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，∴共有N1=4×3×2×2×1=48种； （2）若③与⑤同色，则②④或⑥④同色，∴共有N2=4×3×2×2×1=48种； （3）若②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种。 ∴共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种。

3.（江苏2004年5分）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生 又有女生，则不同的选法共有【 】

(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种 【答案】D。

【考点】排列、组合及简单计数问题。

4

【分析】从7个人中选4人共C7种选法，去掉不合题意的只有男生的选法C44就可得有既有男生，又有

4女生的选法：C7－C44=34。故选D。

4.（江苏2004年5分）(2x x)4的展开式中x3的系数是【 】 (A)6 (B)12 (C)24 (D)48 【答案】C。

【考点】二项式定理。

【分析】根据题意，对于(2x x)，有Tr+1=C

令4

4

4 r4

2x （ x） 2

4 r

1

2r

4 r

C

4 r4

x

4

r2

，

r

3，得r=2， 2

2

当r=2时，有T3=22 C4 x3 24x9。∴(2x x)4的展开式中x3系数是24。故选C。

5.（江苏2005年5分）设k 1,2,3,4,5，则(x 2)的展开式中xk的系数不可能是【】

A．10 B．40 C．50 D．80 【答案】C。

【考点】二项式定理。

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的xk的系数，将k的值代入求出各种情况的系数：

k5 k

2 ∵(x 2)的展开式中xk的系数为C5

5

5

5 125 25 3

∴当k=1时，C1 80；当k=2时，C52 80；当k=3时，C3 40； 5252

45 45 5

当k=4时，C52 10；当k=5时，C5 1。 52

∴展开式中xk的系数不可能是50。故选C。

6.（江苏2005年5分）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为【】

A．96 B．48 C．24 D．0 【答案】B。

【考点】排列、组合的实际应用，空间中直线与直线之间的位置关系。 【分析】由题意分析，如图,先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放 入①②③④4个仓库内共有A4 24种放法；再把标号为5，6，7，8 号化工产品对应按要求安全存放:7放入①，8放入②，5放入③，6放入 ④；或者6放入①，7放入②，8放入③， 5放入④两种放法。

综上所述:共有A4 2 48种放法。故选B。

7.（江苏2006年5分）(x

110

)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是【 】 3x

4

4

1

B 8 4

D

（A）0 （B）2 （C）4 （D）6 【答案】B。

【考点】二项式展开的通项公式。

3r 101 rr110 rr110 r2

【分析】∵ x ，因此含x的正整数次幂的项只有当 C10()x 的展开式通项为C12()

3x

3x3

10

r 8, 10时，共有2项。故.选B。

8.（江苏2006年5分）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。 【答案】1260。 【考点】排列组合。

【分析】由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，先在9个位置中选4个位置排白球，有C94种

3

排法，再从剩余的5个位置中选2个位置排红球，有C52种排法，剩余的三个位置排黄球有C3种排法，共有

3C94 C52 C3 1260种不同的方法。

323

9.（江苏2007年5分）若对于任意实数x，有x a0 a1(x 2) a2(x 2) a3(x 2)，则a2的值为【 】

A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B。

【考点】二项式定理的应用.

【分析】由等式右边可以看出是按照x 2的升幂排列，故可将x写为2 x 2，利用二项式定理的通项公式可求

2

出a2的值： x [2 (x 2)]，a2 C32 6 。故选B。

33

10.（江苏2007年5分）某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 ▲ 种不同选修方案。（用数值作答） 【答案】75。

【考点】排列、组合及简单计数问题。 【分析】由题意知本题需要分类来解：

3

第一类，若从A、B、C三门选一门有C13C6=60，

04

C6=15， 第二类，若从其他六门中选4门有C3

∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法。

11.（江苏2008年5分）某地区为了解70 80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h

），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的

频率分布表： 序号

分组 组中值频数 频率 i

（睡眠时间）

（Gi）

（人数）

（Fi）

1 [4,5) 4.5

6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4 [7,8) 7.5 10 0.20 5

[8,9]

8.5

4

0.08

在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 ▲ 【答案】6.42。

【考点】频率分布表，工序流程图（即统筹图）。

【分析】由算法流程图可知S为5组数据中的组中值（Gi）与对应频率（Fi）之积的和：

S G1F1 G2F2 G3F3 G4F4 G5F5

4.5 0.12 5.5 0.20 6.5 0.40 7.5 0.2 8.5 0.08 6.42。

12.（江苏2009年5分）右图是一个算法的流程图，最后输出的W

.

【答案】22。

【考点】循环结构的算法流程图。

【分析】根据流程图可知，计算出S，判定是否满足S≥10，不满足则循环，直到满循环，最后求出W值即可：

由流程图知，第一次循环：T=1，S=1，不满足S≥10； 第二次循环：T=3，S=32－1=8，不满足S≥10； 第三次循环：T=5，S=52－8=17，满足S≥10。 此时跳出循环，∴W=5+17=22。

13.（江苏2010年5分）下图是一个算法的流程图，则输出S的值是【答案】63。

足就跳出

【考点】设计程序框图解决实际问题。

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+…+2n≥33的最小的S值，并输出：

∵1 2 22 24 31 33不满足条件，继续循环；1 2 22 25 63>33满足条件，输出。 ∴输出S的值是63。

14.（江苏2011年5分）根据如图所示的伪代码，当输入a,b分别为2，3时，最后输出的

m的值是 ▲

【答案】3。

【考点】算法的含义，基本算法语句，选择结构和伪代码。 【分析】∵a 2,b 3，a b,∴m

b 3。

15. （2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是

【答案】5。 【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：

是否继续循环

k k2 5k 4

循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈

否

输出5

∴最终输出结果k=5。

15、（2012江苏卷4）. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是． 【解析】根据循环结构的流程图，当k 1时，此时k2 5k 4 0；不满件，继续执行循环体，当k 2时，k2 5k 4 6；不满足条件，继续循环，当k 3时，k2 5k 4 2不满足条件，然后依次出现同样的结当k 5时，此时k2 5k 4 4，此时满足条件跳出循环，输出k的值为【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k的值．这是新课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要准确理解循环结构图的执行过程．

16、（2013江苏卷5）5．下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是。

流程足条执行果，

5．

程图.

答案： 5．3

二、解答题

1.（江苏2008年附加10分）请先阅读：

在等式cos2x 2cos2x 1（x R）的两边求导，得：(cos2x) (2cosx 1) ， 由求导法则，得( sin2x) ，化简得等式：sin2x 2cosx sinx． 2 4cosx ( sinx)

n0122nn（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式(1+x)=Cn Cnx Cnx Cnx （x R，正整数n≥2），

2

证明：n[(1 x)

n 1

k 1

． 1] kCknx

k 2

n

（2）对于正整数n≥3，求证：

12n 1 1k

（i） ( 1)kC 0； （ii） ( 1)kC 0； （iii） ． Cn

k 1n 1k 0k 1k 1

n

k

k

n

n

k2

kn

n

122nn

【答案】证明：（1）在等式(1+x)n=C0n Cnx Cnx Cnx两边对x求导得

12n 1n 2nn 1

n(1 x)n 1 Cn 2Cnx (n 1)Cnx nCnx

移项得n[(1 x)

n 1

kk 1

1] kCnx。

k 2

n

（2）（i）在n[(1 x)

n

n 1

1] kCx

k

n

k 2

n

k 1

中，令x 1，整理得

( 1)

k 1

n

k 1

kkCn 0。

∴

( 1)

k 1

k

k

kCn 0。

（ii）由（1）知n(1 x)

n 1

12n 1n 2nn 1

Cn 2Cnx (n 1)Cnx nCnx,n 3，

n 2

23nn 2

2Cn 3 2Cnx n(n 1)Cnx

两边对x求导，得n(n 1)(1 x)

232

2Cn( 1) n(n 1)Cn( 1)n 2， 在上式中，令x 1，得0 2Cn 3

即

k(k 1)C

k 2

n

k

n

( 1)

k 2

0，亦即

( 1)

k 2

n

k

k

(k2 k)Cn 0 （1）

又由（i）知

( 1)

k 1

n

n

k

k

kCn 0 （2）

∴（1）+（2）得

( 1)

k 1

k

k2Ckn 0。

n0122nn

（iii）将等式(1+x)=Cn Cnx Cnx Cnx两边在[0,1]上对x积分

1

122nn

(1 x)ndx (C0n Cnx Cnx Cnx)dx

1

1由微积分基本定理，得(1 x)n 1

n 1

10

(

1kk 11

nx)0

k 0k 1

n

1k2n 1 1n ∴ 。 k 1n 1k 0

n

【考点】微积分基本定理，二项式定理，类比推理。

【分析】（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式。

（2）（i）对（1）中的x赋值－1，整理得到恒等式。

（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值－1化简即得

证。

（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式。