九年级数学上册 第21章 第9课时 一元二次方程的应用(2)导学案 (新版)新人教版

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第9课时一元二次方程的应用（2）

1

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=

2

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典例探究答案：

【例1】【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解．

解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），

4

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根据题意得10（x﹣3）+x=x2

原方程可化为：x2﹣11x+30=0，

∴x1=5，x2=6，

当x=5时，x﹣3=2，两位数为25；

当x=6时，x﹣3=3，两位数为36.

答：这个两位数是25或36．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

练1．【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.

解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.

根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），

原方程可化为：3x2-17x+20=0,

因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，

解得x1=53，x2=4.

因为x为整数，所以x=5不符合题意，x=4.

10（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.

点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.

练2．【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为2，列式求值即可．

解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，

m2﹣2m﹣3=0，

（m﹣3）（m+1）=0，

解得m1=3，m2=﹣1．

故选：D．

点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．

【例2】【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．

解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，

根据题意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，

解得x1=1，x2=4，

又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56（元），

答：应将销售单价定为56元．

点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

练3．【解析】（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；

（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．

解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，

解得：x=或x=1，

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∵每天至少售出260斤，

∴x=1．

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．

点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．

【例3】【解析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先用含x的代数式分别表示BP 和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；

（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．

解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．

∵AP=1•x=x，BQ=2x，

∴BP=AB﹣AP=6﹣x，

∴S△PBQ =×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，

∴x2﹣6x+8=0，

解得：x=2或4，

即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2.

（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，

则S△PBQ =×（6﹣y）×2y=10，

即y2﹣6y+10=0，

因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，

所以△PBQ的面积不会等于10cm2．

点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断．

练4．【解析】（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1C=x+0.7，根据勾股定理求出A1C=AC ﹣AA1=﹣0.4=2．在Rt△A1B1C中，由勾股定理得到B1C2+A1C2=A1B12，依此列出

方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；

（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．

解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，

则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2．

而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，

解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合题意舍去），∴点B将向外移动0.8m．

故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合题意舍去），0.8；

（2）有可能．

设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，

则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，

解得：x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）．

故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．

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点评：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．

课后小测答案：

一、选择题

1．【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程．

解：设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则

x（x+4）=45，

整理，得

（x+2）2=49，

x+2=±7，

解得 x1=5，x2=﹣9．

则x+4=9或x+4=﹣5．

故这两个数是5、9或﹣9、﹣5．

故选：D．

点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

2．【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数

量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．

根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200．

解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．

∵200+＞200+，

∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．

故选：C．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识．注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果．

3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．

解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，

第2个黑色“”形由3+4=7个正方形组成，

第3个黑色“”形由3+2×4=11个正方形组成，

…，

那么组成第n 个黑色“”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．

故组成第12个“”的正方形个数是：4×12﹣1=47．

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故选：D．

点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．

二、填空题

4．【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．

解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224

解之得x=14或x=﹣16

则x+2=16或x+2=﹣14

即这两个数为14，16或﹣14，﹣16

所以这两个数的和是30或﹣30．

点评：找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

5．【解析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．

解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，

由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，

化简得：x2﹣35x+300=0，

解得：x1=15，x2=20，

∵该商场为了尽快减少库存，

∴降的越多，越吸引顾客，

∴选x=20，

故答案为：20．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．

三、解答题

6．【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x （20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．

解：设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20﹣x）cm，

（1）依题意，得 x（20﹣x）=96，

化简，得x2﹣20x+96=0．

解，得x1=8，x2=12．

当x=8时，20﹣x=12；

当x=12时，20﹣x=8．

所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2．

（2）依题意，得 x（20﹣x）=102

化简，得x2﹣20x+102=0．

∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，

∴方程无实数根．

所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．

7．【解析】（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；

（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可．

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解：（1）第一周获利：300×（35﹣20）=4500（元）；

第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；

（2）根据题意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，

即：x2﹣14x+40=0，

解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．

答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

8．【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，

所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．

解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t

∴

当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10

∴（4分）

（2）∵S△ABC =（5分）

∴当t＜10秒时，S△PCQ =

整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）

当t＞10秒时，S△PCQ =

整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）

∴当点P 运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M

易证△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．

又∵EM=AC=10∴DE=5

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

同理，当点P在点B右侧时，DE=5

综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

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点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．

9.【解析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；

（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；

（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．

解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．

∵CQ=1cm，AP=2cm，

∴AB=6﹣2=4cm．

∴S==5cm2．

答：四边形BCQP面积是5cm2；

（2）如图1，作QE⊥AB于E，

∴∠PEQ=90°，

∵∠B=∠C=90°，

∴四边形BCQE是矩形，

∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．

∵AP=2t，

∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．

在Rt△PQE中，由勾股定理，得

（6﹣3t）2+4=9，

解得：t=．

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如图2，作PE⊥CD于E，

∴∠PEQ=90°．

∵∠B=∠C=90°，

∴四边形BCQE是矩形，

∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．

∵CQ=t，

∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6

在Rt△PEQ中，由勾股定理，得

（3t﹣6）2+4=9，

解得：t=．

综上所述：t=或；

（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，

∴∠PEQ=90°，

∵∠B=∠C=90°，

∴四边形BCQE是矩形，

∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．

∵AP=2t，

∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．

∵PQ=DQ，

∴PQ=6﹣t．

在Rt△PQE中，由勾股定理，得

（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，

解得：t=．

如图4，当PD=PQ时，

作PE⊥DQ于E，

∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．

∵∠B=∠C=90°，

∴四边形BCQE是矩形，

∴PE=BC=2cm．

∵DQ=6﹣t，

∴DE=．

∴2t=，

解得：t=；

如图5，当PD=QD时，

∵AP=2t，CQ=t，

∴DQ=6﹣t，

∴PD=6﹣t．

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在Rt△APD中，由勾股定理，得

4+4t2=（6﹣t）2，

解得t1=，t2=（舍去）．

综上所述：t=，，，．

故答案为：，，，．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．

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