初中二次函数知识点详解最新助记口诀

函数知识点详解

知识点一 平面直角坐标系

1，平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

知识点二 不同位置的点的坐标的特征

1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 x 0,y 0

点P(x,y)在第二象限 x 0,y 0 点P(x,y)在第三象限 x 0,y 0 点P(x,y)在第四象限 x 0,y 0 2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上 y 0，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上 x 0，y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p’关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于

x y

2

2

知识点三 函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

知识点四 正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果y kx b（k，b是常数，k 0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数y kx b中的b为0时，y kx（k为常数，k 0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数y kx b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y kx的图像是经过原点（0，0）的

4、正比例函数的性质

正比例函数y kx有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数y kx b有下列性质：

直线斜率：k tan

y2 y1x2 x1

（1）当k>0时，y随x的增大而增大 （2）当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y kx（k 0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y kx b（k 0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法

知识点五、反比例函数

1、反比例函数的概念

x

形式。自变量x的取值范围是x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

一般地，函数y

k

（k是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y kx 1的

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x 0，函数y 0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y

kx

中，只有一个待定系数，因此只需要一对

对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数y

kx

y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON(k 0)图像上任一点P作x轴、

kx

, xy k,S k。

的面积S=PM PN=y x xy。 y

知识点六、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果特y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)，特别注意那么y叫做x 的二次函数。

y ax

2

a不为零

bx c(a,b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x

b2a

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法 五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线y ax2 bx c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

知识点七、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式： 一般式 两根式 （即交点式） 顶点式 （1）一般式： y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)

（2）两根式： 当抛物线y ax bx c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax bx c 0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax

2

2

2

2

bx c a(x x1)(x x2)，二次函数y ax

2

bx c可

转化为两根式y a(x x1)(x x2)。如果没有交点，则不能这样表示。

（3）顶点式：y a(x h)2 k(a,h,k是常数，a 0) 即y=a(x+b/2a)+(4ac-b)/4a

2

2

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

知识点八 二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x

4ac b4a

2

b2a

时，

y最值

。

b2a

如果自变量的取值范围是x1 x x2，那么，首先要看 在此范围内，则当x=

b2a

是否在自变量取值范围x1 x x2内，若

时，y最值

4ac b4a

2

；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1 x x2范围内

2

的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x x2时，y最大 ax2 bx2 c，当x x1时，

y最小 ax1 bx1 c；y最大 ax1 bx1 c，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x x1时，当x x2

2

时，y最小 ax2 bx2 c。

22

知识点九 二次函数的性质

2、二次函数y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)中，a、b、c的含义： a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上

a<0时，抛物线开口向下 2a

c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）

b与对称轴有关：对称轴为x=

b

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的 b 4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当 >0时，图像与x轴有两个交点； 当 =0时，图像与x轴有一个交点； 当 <0时，图像与x轴没有交点。

2

知识点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记会，理解记忆）

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B则AB间的距离，即线段AB的长度为

0 x B

2，二次函数图象的平移

① 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k，确定其顶点坐标 h，k ；

② 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到 h，k 处，具体平移方法如下：

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

③平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解记忆)

说明① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右 ②

上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减

向左向

3、抛物线y ax

2

bx c

中， a b c,的作用

2

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线

x

b2a

2

，故：①b 0时，对称轴为y轴；②

ba

0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③

ba

0

（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. 口诀 --- 同左 异右 （3）c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.

当x 0时，y c，∴抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c 0，抛物线经过原点; ②c 0,与y轴交于正半轴； ③c 0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

ba 0.

4、二次函数图像的对称图形解析式：

图像关于x轴对称的对称图形解析式

y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；

y a x h k

2

关于x轴对称后，得到的解析式是y a x h k；

2

关于y轴对称

y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；

y a x h k

2

关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k；

2

关于原点对称

y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c； y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k

2

2

关于顶点对称

y ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax bx c

y a x h k

2

2

22

b

2

2a

；

关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k．

关于点 m，n 对称

y a x h k

2

关于点 m，n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k

2

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

5、 自变量的取值范围口诀：

分式分母不为零，偶次根下负不行，分数指数底正数，数零没有零次幂。不等式组求解集。

函数图像的移动规律:

先把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b， 二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式， 再用下面的口诀：

“左右平移在括号,上下平移在末稍, 左正右负须牢记,上正下负错不了”。

正比函数图像与性质口诀:

正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；

一次函数图像与性质口诀:

一次函数是直线，图像经过仨象限； 正比例函数更简单,经过原点一直线； 两个系数k与b,作用之大莫小看， k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,

k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反； k的绝对值越大,线离横轴就越远。

反比例函数图像与性质口诀:

反比例函数有特点,双曲线相背离的远;

k为正,图在一、三(象)限；k为负,图在二、四(象)限;

图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。

二次函数图像与性质口诀:

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点,它们确定图象限；

开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。