2012高考数学第一轮复习--数列的概念 ppt

2012年8月13日星期W

1)了解数列的概念和几种简单的表示方法； 2)了解数列是一种特殊的函数，了解数列的通项公式的意义； 3)了解数列的递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递 推公式写出数列的前几项！

复习目标:

考纲要求:数列的有关概念(A级).

一、数列的有关概念1、定义 数列的特点：确定性、有序性! 按一定次序排列的一列数叫做数列.

2、名称 (1)项:数列中每一个数都叫做这个数列的项；

(2)序号:项数；(3)一般形式: a1,a2,…,an ,简记为数列{an}若数列{an}的第n项与项数n之间的关系可以用一个 3、通项公式：

公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项 公式。

一、数列的有关概念4、数列是特殊的函数 (数列的本质！)从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集N+(或它的有 限子集{1, 2, 3, , n})的函数来说, 数列就是这个函数当自 变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值, 其图象是 无限个或有限个孤立的点!

注: 由此观点可用函数的思想方法来解决有关数列的问题！

二、数列的表示方法1.列举法 2.图象法

3.通项公式法 若数列的每一项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个 公式来表达, 即 an=f(n), 则 an=f(n) 叫做数列的通项公式! 4.递推公式法 若已知数列的第一项(或前几项), 且任一项与它的前一项 (或前几项)的关系可以用一个公式来表示, 这个公式就叫做数 列的递推公式!

注: 递推公式有两要素: ①递推关系；②初始条件！

三、数列的分类1.按项数：有穷数列和无穷数列； 2.按 an 的增减性：递增、递减、常数、摆动数列； 3.按 |an| 是否有界：有界数列和无界数列.

四、数列的前

n

项和与通项n

Sn=a1+a2+ +an= k=1 ak; S1 (n=1), an= S -S (n≥2). n n-1

五、数列的单调性设 D 是由连续的正整数构成的集合, 若对于 D 中的每一个 n 都有 an+1>an(或 an+1<an), 则称数列 {an} 在 D 内单调递增(或 单调递减). 方法：作差、作商!

六、重要变换an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1); a2 a3 an an=a1 a a a . n-1 1 2

1.下列说法中，正确的是______ A.数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是同一个数列. B.数列 l, 2,3 与数列 1,2,3,4 是同一个数列. C.数列 1,2,3,4,…的一个通项公式是 an=n. D.以上说法均不正确.

C

2.已知数列 1,-1,1,-1, ,则下列各式中， 不能作为它的通项公式的是_______

D

A. a n ( 1 ) C. a n 1 1

n 1

B. a n

sin

( 2 n 1 ) 2n

( n 为奇数 ) ( n 为偶数 )

D. a n ( 1 )

3.下列命题错误的是______ A.数列的通项 a n 是 n 的函数 B.已知某数列的通项可以写出其任何一项 C.常数列中，任何两项

的差都是零 D.若数列有通项公式，则通项公式是唯一的 4.已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn=n2+2n+5, 则 a6+a7+a8= _______ A.40 B.45 C.50 D.55

D

B

5.数列 a n 中， a 1 1 ,对于所有的 n ≥2,都有2

a1 a 2 a 3 a n n ,则 a 3 a 4 a 5 =______

21

A.15 6.数列 a n

B.18

C.20

D.21 ,

2 n , n 为奇数 的通项公式为 a 1 n , n 为偶数 n 2 1 n

则它的前四项为

7.数列 a n 中， a n 2 n 29 n 3 ,2

则此数列的最大项的值是______

B

1A.107 B.108 C.108

8

D.109

典型例题1.定义“等和数列”: 在一个数列中, 若每一项与它的后一 项的和都为同一个常数, 则称这个数列叫做等和数列, 这个常 数叫做该数列的公和. 已知数列 {an} 是等和数列, 且 a1=2, 公 和为 5, 则a18 的值为 , 这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式 3 为 . 5 5 ①n 为奇数时, Sn= 2 n- 1 ; ②n 为偶数时, Sn= 2 n. 2

典型例题a1(3n-1) 2.设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, Sn= 2 (对于所有n≥1), 且 a4=54, 则 a1 的数值为 2 . 3.设数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1, 2, 3, ); 数列 {bn} 满足: b1=3, bk+1=ak+bk(k=1, 2, 3, ). 求数列 {an}、{bn} 的通项公式.

an=2n-1

bn=2n-1+2

探究与思考9 )n, 问是否存在正整数 M, 1、已知数列 {an} 的通项 an=(n+1)( 10 使得对任意正整数 n 都有 an≤aM ? 9 9 解: ∵ an+1-an=(n+2)( 10)n+1-(n+1)( 10)n =( 9 )n 8-n . 10 10 ∴当 n<8 时, an+1>an, {an} 单调递增； 当 n>8 时, an+1<an, {an} 单调递减. 当n=8时, a8=a9, 即 a1<a2< <a8=a9>a10>a11> , ∴ a8 与 a9 是数列 {an} 的最大项. 故存在 M=8 或 9, 使得 an≤aM 对 n∈N+ 恒成立.

强化与巩固2、已知数列 {an} 的通项 an=(n+1)( 10 )n(n N*), 试问该数列 11 {an} 有没有最大项? 若有, 求出最大项和最大项的项数; 若没 有, 说明理由. 10 10 解: ∵ an+1-an=(n+2)( 11)n+1-(n+1)( 11)n =( 10 )n 9-n . 11 11 ∴当 n<9 时, an+1-an>0, 即 an+1>an; 当 n=9 时, an+1-an=0, 即 a10=a9; 当 n>9 时, an+1-an<0, 即 an+1<an. ∴数列 {an} 有最大项, 其项数为 9 或 10, 其值为 10 ( 10)9 . 11

2、已知数列 {an} 的通项 an=(n+1)( 10 )n(n N+), 试问该数列 11 {an} 有没有最大项? 若有, 求出最大项和最大项的项数; 若没 有, 说明理由.

解法2:

10 n (n+1)( 11 ) ≥n( 10 )n-1 an≥an-1 11 由 a ≥a 10 n n+1 (n+1)( 11 )n≥(n+2)( 10)n+1 11 10 )≥n (n+1)( 11 10 ) 9≤n≤10. n+1≥(n+2)( 11 ∴数列 {an} 有最大项, 其项数为 9 或 10, 其值为 10 ( 10)9 . 11