直线和圆的方程测试题

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西中高一（14）（15）班《直线与圆的方程》单元测试 韩世强

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．在直角坐标系中，直线x y 3 0的倾斜角是（ ）

A．

B．

C．

5 D．

2 6

3

6

3

2．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a，正确的是(

)

3．若直线ax 2y 1 0与直线x y 2 0互相垂直，那么a的值等于（ ）

A．1 B．

13 C． 2

3

D． 2

4． 若直线ax 2y 2 0与直线3x y 2 0 平行，那么系数a等于(

A． 3

B． 6

C．

3

2

D．23

5. 圆x2+y2－4x=0在点P（1，3）处的切线方程为（

）

A.x+3y－2=0 B.x+3y－4=0 C.x－3y+4=0 D.x－3y+2=0

若圆C与圆(x 2)2 (y 1)2

1关于原点对称，则圆C的方程是（

）

A．(x 2)2 (y 1)2

1 B．(x 2)2 (y 1)2

1 C．(x 1)2

(y 2)2

1

D．(x 1)2

(y 2)2

1

)

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7．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( )

A．相离 C．外切

B．相交 D．内切

8．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A．3x－y－5＝0 C．x＋3y－5＝0

B．3x＋y－7＝0 D．x－3y＋1＝0

9．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝( )

A．5 C．10

13 10

10．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )

3 3或－3

2 2和－2

11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是( )

A．(x＋3)2＋y2＝4 C．(2x－3)2＋4y2＝1

2

2

2

B．(x－3)2＋y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1

12．设圆(x 3) (y 5) r(r 0)上有且仅有两个点到直线4x 3y 2 0的距离等

于1，则圆半径r的取值范围是

A．3 r 5 B．4 r 6 C．r 4

D．r 5

（ ）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 以点(1,3)和(5, 1)为端点的线段的中垂线的方程是

14．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．

15.（2004年上海，理8）圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、 B（0，－2），则圆C的方程为____________. 16．设有一组圆Ck:(x k 1)2 (y 3k)2 2k4(k N*)．下列四个命题： Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 ．Ｄ．所有的圆均不经过原点 ．其中真命题的代号是

．（写出所有真命题的代号）

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西中高一（14）（15）班《直线与圆的方程》单元测试 答题卡

班级 学号 姓名 得分

二.填空题（每小题5分，4个小题共20分）

13. 14.

15. 16.

三、解答题（共6小题，计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．(本小题满分10分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．

(1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的方程．

18.(本小题满分12分)

求经过点A(2, 1)，和直线x y 1相切，且圆心在直线y 2x上的圆方程．

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19 (本小题满分12分) 已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

20． (本小题满分12分)

设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；

③圆心到直线l:x 2y

C的方程．

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（21）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆C上．

（I）求圆C的方程；

（II）若圆C与直线x y a 0交于A，B两点，且OA OB,求a的值．

22.(本小题满分12分)

已知直线l:y=k (x+22)与圆O:x2 y2

4相交于A、

B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S. （1）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值.

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西中高一《直线与圆的方程》单元测试答案

班级 学号 姓名 得分 一.选择题（每小题5分，12个小题共60分）13. x y 2 0 14.4

15. （x－2）2+（y+3）2=5 16.B，D

三.解答题（第17、18、19、20、21小题每小题12分, 第22小题14分,6个小题共74分）

17解析：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.

又因为点T(－1,1)在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋2＝0.

x－3y－6＝0(2)由 解得点A的坐标为(0，－2)，

3x＋y＋2＝0

因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)， 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又|AM|(2－0)＋(0＋2)＝22，

从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.

18.求经过点A(2, 1)，和直线x y 1相切，且圆心在直线y 2x上的圆方程． . 【解】：(x 1)2 (y 2)2 2

19已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）. （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0. 2x+y－7=0， x=3， ∵m∈Rx+y－4=0， 得 y=1，

即l恒过定点A（3，1）.

∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点. （2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－

1

，∴l的方程为2x－y－5=0. 2

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20．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆

心到直线l:x 2y

0 2

2

2

2

解．设圆心为(a,b)，半径为r，由条件①：r a 1，由条件②：r 2b，从而有：

2b2 a2 12b a 1．

可得： |a 2b| 1，解方程组

5 |a 2b| 1

2

2

a 1 a 12222

或 ，所以r 2b 2．故所求圆的方程是(x 1) (y 1) 2或

b 1 b 1

(x 1)2 (y 1)2 2．

21解（Ⅰ）曲线y x 6x 1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3 2,0),(3 22,0).

故可设C的圆心为（3，t），则有32 (t 1)2 (22)2 t2,解得t=1.

2222

则圆C的半径为 (t 1) 3. 所以圆C的方程为(x 3) (y 1) 9.

2

（Ⅱ）设A（x1,y1），B（x2,y2），其坐标满足方程组：

x y a 0,22

，消去y，得到方程 2x (2a 8)x a 2a 1 0. 22

(x 3) (y 1) 9.

由已知可得，判别式 56 16a 4a 0.

2

因此，x1,2

(8 2a) 56 16a 4a2

4a20 2a 1

2

,从而

x1 x2 4 a,x1x2

①

由于OA⊥OB，可得x1x2 y1y2 0,又y1 x1 a,y2 x2 a,所以

2x1x2 a(x1 x2) a2 0.

②

由①，②得a 1，满足 0,故a 1.

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22.【解】：:如图,

(1)直线l议程 kx y 22k 0(k 0), 原点O到l的距离为oc

22k k

2

弦长AB 2OA2

OC2

24 8K21 K

2

△ ABO面积

S 1

2ABOC

42K2(1 K2)1 K2

AB 0, 1 K 1(K 0), S(k)

42k2(1 k2)

1 k

2

( 1 k 1且K 0

(2) 令 1

1 k2 t

,1

2

t 1, S(k)

42k2(1 k2)

1 42 2t2 3t 1 42 2(t 3)21

k2

4 8

.

当t=314时,

1 k2 34

,k2 13,k 3时, Smax 2

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●典例剖析

【例1】 已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

剖析：由于OP⊥OQ，所以kOP·kOQ=－1，问题可解.

解：将x=3－2y代入方程x2+y2+x－6y+m=0，得5y2－20y+12+m=0. 设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件

12 m

. 5

∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0. 而x1=3－2y1，x2=3－2y2， ∴x1x2=9－6（y1+y2）+4y1y2.

y1+y2=4，y1y2=

15，3），半径r=. 22

22

例2.如图，过圆O：x+y=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线 ，M为 上任一点，过M

∴m=3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－

作圆O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程。

分析：

从寻找点P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。 连OQ，则由OQ⊥MQ，AP⊥MQ得OQ∥AP 同理，OA∥PQ 又OA=OQ ∴ OAPQ为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2

x0 x

设P(x，y)，Q(x0，y0)，则

y y 2 0

又x0+y0=4

∴ x+(y-2)=4（x≠0）

评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的

弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。

例3．（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ） A．95 B．91 C．88 D．75 答案：B 解析一：由y=10－

2

2

22

22

x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x33

∈N）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3

时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B。

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解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图所示。

对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有

176 6

=91（个） 2

点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。

练习．(训练题14)已知 ABC的各个顶点都是整点(横纵坐标为整数的点称为整点)，且

A(0,0),B(36,15)．则 ABC的面积的最小值是(B)．

(A)

例4．已知x,y满足（x 1) y 1，求2x 3y 。

分析：根据2x 3y 的结构特征，可联想道点(x,y)到线2x 3y 18 0的距离公式

2

2

1357

(B) (C) (D) 2222

2x 3y （x,y)到直线2x 3y 18 0的距离的最，则原题可转化为圆上一点

小值，由图形可知，该距离的最小值又可转化为圆心到直线的距离与半径的差，即:2x 3y =2x 3y 18

2 0 18

1） 16

∴二元表达式2x 3y 的最小值为16

练习

.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为( D ) A.

22 B.1 C.1+ D.2 22