全等三角形的提高拓展训练暑期作业

这是拓展,有一定的难度,花5分下载值了

作业2：全等三角形的提高拓展训练（共24题）

板块一、截长补短

【例1】 已知 ABC中， A 60 ，BD、CE分别平分 ABC和. ACB，BD、CE交于点

O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

A

E DO

BC

【例2】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作

DMN 60 ，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的

D

数量关系?

N

AMBE

【变式拓展训练】

如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？

DC

N

AMBE

【例3】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE. AD

F

B

C

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【例4】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边 ABD、 ACE，连结CD、BE相交

于点O．求证：OA平分 DOE．

【例5】 如图所示， ABC是边长为1的正三角形， BDC是顶角为120 的等腰三角形，以

D为顶点作一个60 的 MDN，点M、N分别在AB、AC上，求 AMN的周长．

A

N

M

BC

D

【例6】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，

求证：AD平分∠CDE A

BE

DC

板块二、全等与角度

BAC 60 ，【例7】如图，在 ABC中，且AC AB BD，求 ABCAD是 BAC的平分线，

的度数. A

CDB

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【例8】在等腰 ABC中，AB AC，顶角 A 20 ，在边AB上取点D，使AD BC，

求 BDC.

A

D

CB

【例9】如图所示，在 ABC中，AC BC， C 20 ，又M在AC上，N在BC上，且满足 BAN 50 ， ABM 60 ，求 NMB.

C

M

N AB

【例10】 在四边形ABCD中，已知AB AC， ABD 60 ， ADB 76 ， BDC 28 ，

求 DBC的度数. D

C

BA

【例11】 如图所示，在四边形ABCD中， DAC 12 ， CAB 36 ， ABD 48 ，

DBC 24 ，求 ACD的度数.

C AB

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【例12】 在正 ABC内取一点D，使DA DB，

在 ABC外取一点E，使 DBE DBC，且BE BA，求 BED.

A

E

BC

【例13】 如图所示，在 ABC中， BAC BCA 44 ，M为 ABC内一点，使得

MCA 30 ， MAC 16 ，求 BMC的度数.

B M

AC

板块三：变式训练

1、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点． AEF 90，且EF交正方形外角 DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果

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不正确，请说明理由． A

D

F

E C 图1

G

E C 图2 A

D

F G

图3

G

A

D

，2、已知Rt△ABC中，AC BC，∠C 90 ，D为AB边的中点， EDF 90°

EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． 当 EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1），易证S△DEF S△CEF

1

S△ABC． 2

当 EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． A

E

E

B C

F C

图1

D

D

C

F 图2

B

E

图3

F

12°0，3、在△ABC中，AB BC 2， ABC将△ABC绕点B顺时针旋转角

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(0° 90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，AC11分别交

AC、BC于D、F两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；

1

11

A1

（2）如图2，当 30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；

4、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

5、点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边

三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证：（1）AN=MB.

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（2）△CEF为等边三角形。

（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？

（4）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。

6、问题：已知△ABC中， BAC 2 ACB，点D是△ABC内的一点，且AD CD，BD BA．探究 DBC与 ABC度数的比值．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当 BAC 90 时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB与AC得数量关系为________；

当推出 DAC 15 时，可进一步推出 DBC的度数为_______；

C A

可得到 DBC与 ABC度数的比值为_________．

（2）当 BAC 90 时，请你画出图形，研究 DBC与 ABC度

B数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证

明．

CA

图1

7、直线CD经过 BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且 BEC CFA ．

（1）若直线CD经过 BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若 BCA 90 , 90 ，则EF AF（填“ ”，“ ”或“ ”号）；

②如图2，若0 BCA 180，若使①中的结论仍然成立，则 与 BCA 应满足的关系是 ；

（2）如图3，若直线CD经过 BCA的外部， BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明． B B B

A F D D

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8、(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,

CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF.

(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF ＝4.求GH的长.

(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案： ①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长； ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).

9、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB

上的动点（不包括

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端点），作∠AEF = 90 ，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．

（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；

（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求

10、在△ABC中，AB AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD AE， DAE BAC，连接CE． ．．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果 BAC 90°，则 BCE 度； （2）设 BAC ， BCE ．

①如图2，当点D在线段BC上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

E

D 图1 C D 图2 E

B 备用图

C

B C 备用图