三棱锥外接球的半径常见解法

专题 特殊三棱锥的外接球半径 的常见解法主讲人：王红博

考情分析纵观近5年全国卷和其他各 省市高考卷，对于简单多面体外 接球的考查几乎成了高考必考题 之一，其中又以对三棱锥的外接 球的考查居多。

学情分析学生在平时学习中，对三棱 锥的外接球相关问题的求解普遍 感觉困难，主要是因为不善于抓 住几何体的结构特征，不能正确 寻找球心和半径。

方法介绍例 (江西改编)已知在三棱锥P-ABC中， PA PB, PB PC, PC PA, 且PA 2PB 2PC 2 , 求该三棱锥外接球的表面积。 A

关键是求出外接球的半径RP C

B

方法介绍法一： 补形法A

外接球半径等于长方体的 体对角线的一半

6 2 R= , S 4 R 6 2 A2

2 P 1 B B 1 C 1

P

1

C

注意：图中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球。

方法介绍法二： 轴截面法AQ 2 P 1 D 1 C

基本步骤： 1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。A R 2 R P2 2

Q O

6 R= 2

B

D

方法介绍法三： 向量法z

设外接球的球心坐标为： O(x,y,z) 由 | OP | | OA | | OB | | OC | 可得：2 2 2 2 2 2

A(0,0,2)

P (0,0,0) B (1,0,0) x

x y z x y ( z 2) 2 2 2 2 2 2 x y z ( x 1) y z x 2 y 2 z 2 x 2 ( y 1)2 z 2 y C (0,1,0) 1 1 解得： x , y , z 1 2 2 6 所以 R=|OP|= 2

方法介绍三棱锥的外接球半径的常见解法:

1、补形法 2、轴截面法 3、向量法

练习巩固练习1(陕西，2010)如图，在三棱锥P-ABC 中， PA 平面ABC, CB PB, CB AB, 且PA 2 AB 2BC 2 , 求其外接球的体积。 P法一：补形法 法二：轴截面法A

法三：向量法C B

活学活用，开阔思维

练习巩固练习2 (全国卷，2010)已知三棱锥的各条 棱长均为1,求其外接球的表面积。D

法一：补形法 法二：轴截面法

法三：向量法

A

C

B

活学活用，开阔思维

练习巩固练习3(河北，2012)如图，在四面体ABCD 中， AB DC 10 ,AD BC 5,BD AC 13 , 求其外接球的表面积。 AA

5 D10

510C

1013

D13

10C

13

13

B

5

R

14 , 2

B

5

S 4 R 2 14 活学活用，开阔思维

练习巩固练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底 面ABC,PA=AB=AC=2,∠BAC=120。,求其外 接球的半径。z P (0,0,2)

球心坐标( 1, 3,1)C (-1,3,0)

A (0,0,0)

R 5轴截面法 活学活用，开阔思维

y

x

B 2,0,0) (

练习巩固练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底 面ABC,PA=AB=AC=2,∠BAC=120。,求其外 接球

的半径。z P (0,0,2)

球心坐标( 1, 3,1)C (-1,3,0)

A (0,0,0)

R 5轴截面法 活学活用，开阔思维

y

x

B 2,0,0) (

学习小结三棱锥的外接球半径的常见解法:

1、补形法 2、轴截面法 3、向量法

练习1

P

P

2

A 1 C B C 1 B

A

6 4 3 R= , V R 6 2 3