6.5-6 第二类换元法 分部积分法

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第六章定积分

§6.5§6.6

定积分的换元积分法定积分的分部积分法

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复习1.微积分基本公式设 f ( x )∈ C[a, b],且 F′( x )= f ( x ),则有

∫a

b

f ( x ) d x= F (b ) F (a )=[ F ( x )] b= F ( x ) b .a a

记为

(牛顿–莱布尼兹公式) 2.变限积分求导公式 d x 1)如果 f连续,则∫ a f ( t ) d t= f ( x ). dx 2)如果 f ( x )连续, ( x )和ψ ( x )可导,则 d ( x)∫ψ ( x ) f ( t ) d t= f[ ( x )] ′( x ) f[ψ ( x )]ψ′( x ). dx暨南大学珠海学院苏保河主讲

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第六章定积分

§6.5定积分的换元积分法主要内容一、不定积分的第二类换元法二、定积分的换元积分法暨南大学珠海学院苏保河主讲

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一、不定积分的第二类换元法定理设 x= (t )是单调可导函数,且 ' ( t )≠ 0,f[ ( t )] ' ( t )具有原函数,则有换元公式

∫ f ( x ) dx=∫ f[ ( t )] ' (t ) d t t=

1

( x)

其中 t= 1 ( x )是 x= ( t )的反函数 .

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注:第二类换元法常见类型:(1)

∫ n a x+ b ) dx, ( 2)∫ f ( x, c x+ d∫ f (x,2 2

f ( x, n ax+ b ) d x,

令t= n ax+ b令t=n a x+b c x+d

( 3) ( 4)( 5)

a x ) d x,令 x= a sin t

( 6)

1 (7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换 x= t暨南大学珠海学院苏保河主讲

∫ f ( x, x 2 a 2 ) d x,令 x= a sec t∫ x x令t= a∫ f (a ) d x,

f ( x, a 2+ x 2 ) d x,令 x= a tan t

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二、定积分的换元法

定理设函数f(x)∈C[a,b],单值函数x= (t)满足:

1) (t)在[α,β]上有连续导数, (α)=a, (β)=b,2)在[α,β]上a≤ (t)≤b,

则∫f(x)dx=∫f[ (t)] '(t)dt.(换元要换限)

ab

β

α

证略(P244)

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例1计算∫

a

0

a 2 x 2 d x (a> 0).

解令 x= a sin t,则 d x= a cos t d t,且当 x= 0时, t= 0; x= a时, t=π . 2π 2 2 y y= a2 x2 a∫ cos 2 t d t∴原式= 0a2π 2=∫ 0 (1+ cos 2 t ) d t 2 a 1= ( t+ sin 2t ) 2 22

S

π2 0

=

πa4

2

o.

a x

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arcsin x dx例2计算∫ 1/ 2 x (1 x )1

解

令 x= t, x= t 2, d x= 2t d t,

1 1 x:→ 1; t:→ 1; 2 2 1 arcsin t dt原式= 2∫ 1/ 2 1 t2

= 2∫

1 1/ 2

arcsin t d arcsin t

3π 2 1= .= arcsin 2 t 1/ 2 16暨南大学珠海学院苏保河主讲

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例3设 f ( x )∈ C[ a, a],

(1)若 f ( x )= f ( x ),则∫

a

a

对称积分偶倍奇零 a f ( x ) d x= 2∫ f ( x ) d x;0a

(2)若 f ( x )= f ( x ),则∫证a

a

f ( x ) d x= 0.a

∫ a f ( x ) dx=∫ a f ( x ) dx+∫ 0a a

0

f ( x ) dx令 x= ta

=∫ f ( t ) d t+∫ f ( x ) dx0 a 0a

=∫ f ( x ) d x+∫ f ( x ) d x

=∫[ f ( x )+ f ( x )]dx0 0 0

= 2∫ f ( x ) d x,当 f ( x )= f ( x )时, 0=当 f ( x )= f ( x )时. 0,暨南大学珠海学院苏保河主讲

a

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例 4填空

∫ π 2 sin 5 x cos 7 x d x=

π 2

0

例 5填空 d x 100 sin100 x∫ 0 sin ( x t ) d t= ________ dx分析令 u= x t, d t= d u, t: 0→ x, u: x→ 0,

∫0 x x 100=∫ sin u d u,求导即得. 0sin100

x

( x t ) d t= ∫ sin100 u d u

0

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1/ x 1 1 dx=∫ dx例6证明∫ x 2 2 1 1+ x 1+ x 11 1 1证 Q左端=∫ dt dx=∫ 2 2 x 1+ t x 1+ x 1 1 1令 t=, d t= 2 d u, t: x→ 1; u:→ 1; x u u 1 1 1 1 1 ( 2 ) d u∴左端=∫ dt=∫ 1/ x x 1+ t2 1+ (1/ u) 2 u

1

=∫

1/ x 1

1 1+ u

du=∫ 2

1/ x 1

1 1+ x

d x=右端. 2

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例7证明 f ( x )=∫证：Q f ( x )=∫ xx+

x+ x

π2

sin x d x是以π为周期的函数.π

π

2

sin u d u,x+π+ x+π2

∴ f (x+π)=∫

sin u d u,

令 u= t+π, d u= d t,ππ u: x+π→ x+π+, t: x→ x+, 2 2x+ x x+ x

∴ f (x+π)=∫

ππ

2 2

sin( t+π ) d t sin t d t=∫x+ x

=∫

π2

sin x d x

= f ( x ),∴ f ( x )是以π为周期的周期函数.暨南大学珠海学院苏保河主讲

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内容小结定理设函数 f ( x )∈ C[a, b],单值函数 x= (t )满足:

1) ( t )在[α,β]上有连续导数, (α )= a, (β )= b; 2)在[α,β]上 a≤ ( t )≤ b,则

∫a f ( x )dx=∫α

b

β

换元要换限 f[ ( t )] ' ( t ) dt .不换元不换限a

注设 f ( x )∈ C[ a, a],

(1)若 f ( x )= f ( x ),则∫

a

f ( x ) d x= 2∫ f ( x ) d x;0a

a

(2)若 f ( x )= f ( x ),则∫

a

f ( x ) d x= 0.暨南大学珠海学院苏保河主讲

对称积分,偶倍奇零

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第六章定积分

§6.6定积分的分部积分法主要内容一、不定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法暨南大学珠海学院苏保河主讲

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一、不定积分的分部积分法

∫ ud v= uv ∫ v du—分部积分公式.∫ v u'd x解题技巧选取 u及 v的一般方法:反:反三角函数对:对数函数把被积函数视为两个函数之积,幂:幂函数按“反对幂三指”的顺序,三:三角函数前者为 u后者为 v′ .指:指数函数暨南大学珠海学院苏保河主讲

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分部积分法基本例题： (1) (2)

(3) (4) (5)

∫ (多项式 )(正余弦函数 ) d x∫ (多项式 )(指数函数 ) d x反对幂三指前 u后 v′ (多项式 )(对数函数 ) d x∫ v'∫ (多项式 )(反三角函数 ) d x∫ (指数函数 )(正余弦函数 ) d x暨南大学珠海学院苏保河主讲