粘弹性地基板上加铺层系统的动态设计_杨永祥

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2009年2月第27卷第1期西北工业大学学报

JournalofNorthwesternPolytechnicalUniversityFeb.2009Vol.27No.1

粘弹性地基板上加铺层系统的动态设计

杨永祥,杨艳红

(西北工业大学,陕西西安　710072)

X

摘　要:文章研究了移动荷载下粘弹性kelvin地基板上分离式加铺层的动态设计方法。基于线性系统的叠加原理和坐标变换,建立求解移动荷载下粘弹性地基板的动力响应积分公式,把运动荷载问题转化为获取位移脉冲响应函数。在柱坐标中利用拉普拉斯和汉克尔变换求解板在瞬时点源荷载作用下的解,再结合广义积分得到加铺层板在移动荷载作用下的挠度解析解。利用高斯积分求出数值解,并以此为基础通过实测值及目标优化反算加铺层厚度。关　键　词:道面,粘弹性地基,加铺层,移动荷载

中图分类号:U416.03　　　文献标识码:A　　　文章编号:1000-2758(2009)01-0132-05　　随着水泥混凝土路面的大力发展,业已建成的机场道面和高等级路面或是要承受比原设计更大的荷载,或是经荷载和自然因素的反复作用逐渐产生破坏,接近或达到使用年限,不能承受原设计荷载,最终需要做某些处理。最普遍的处理方法就是在旧道面上铺设加铺层。实际工程中,场道承受的是移动荷载,且地基表现出一定的粘弹性特征。故本文采用动态识别系统,讨论移动荷载下粘弹性kelvin地基板上加铺层的设计与计算问题。运用本文的理论推导结果,建立加铺层板的挠度和厚度之间的关系,即可利用移动荷载下测得的挠度值反算出所需加铺层的厚度。最终目标是把无损检测评估系统的结果应用到本系统中,直接得到加铺层厚度。

[1]

加铺层

52w1

D1¨¨w1(x,y,t)+Q1h1=F(x,y,t)-q

2

2

　　原道面

D2¨¨w2(x,y,t)+kw2(x,y,t)+5w2522

　　c+Q2h2=

q

2

2

1　力学模型及系统方程的建立

本文选用移动荷载作用下粘弹性kelvin地基上无限大板系统模型,如图1所示。如果假设板上任意位置在振动过程中所受到的地基反力包括2个部分:¹与该位置的弯沉成正比;º与该位置的弯沉对时间的倒数成正比,那么,系统方程就可由Kirchhoff薄板理论和上述kelvin地基反力假定给出:

收稿日期:2007-10-19

[3]

图1　kelvin地基板上分离式加铺层系统的计算模型

连续条件

w1=w2=w

32

式中,D=2称为板的抗弯刚度;　¨为12(1-L)

22

2二维Laplace算符,¨=+;k和c表示地基

的反应模量和阻尼系数;Q和h表示板的材料密度和厚度;E和L表示弹性模量和泊松比;w(x,y,t)表

X

:

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第1期杨永祥等:粘弹性地基板上加铺层系统的动态设计

133

示板上任意位置任意时刻的弯沉。下标1表示加铺层板,2表示原道面板。

由上可得出加铺层板的运动方程

(D1+D2)¨2¨2w(x,y,t)+kw(x,y,t)+=F(x,y,t)　c+(Q1h1+Q2h2)

2

点源荷载对A点在t时刻位移场的贡献叠加而成。

时间的连续性使得这种叠加成为对脉冲响应函数的卷积积分。注意到A点选择的任意性,可得

w(x,y,t)=

Fh(x-vS,∫

wt

y,t-S)dS(4)

(1)

上式即为运动荷载作用下弹性线性时不变系统动态响应的普遍适用公式。如令积分下限由0→-∞,该式即成为处理稳定运动荷载时用到的积分表示公式

w(x,y,t)=

　　F(x,y,t)为所讨论的稳定移动荷载,它在时间

上是无始无终的,可以用特殊函数将它表示出来

F(x,y,t)=FD(x-vt)D(y)

(2)

2　系统方程的求解

考察一个二维弹性体在t=0时刻在坐标原点处受一突加点源荷载,随后该点源荷载以速度v沿X轴匀速运动,见图2

。

∫Fh(x--∞

w

t

vS,y,t-S)dS(5)

　　利用(5)式的积分式求解移动荷载下道面板的位移响应的关键在于(5)式中位移脉冲响应函数的获得。为此要求解瞬时点源荷载D(x)D(y)D(t)作用下板的弯沉响应。考虑到结构和荷载的对称性,在圆柱面坐标中表示板的运动方程可以减少一个自变量,因此把方程(1)式和瞬时点源荷载改写为

(D1+D2)¨¨w(r,t)+kw(r,t)+2　c+(Q1h1+Q2h2)=FD(r,t)

2FD(r,t)=

D(t)2Pr

(6)

2

2

图2　二维弹性体表面的运动点源与坐标变换

定义瞬时点源荷载D(x)D(y)D(t)作用于坐标系XOY的原点时,在弹性体内产生的位移场即为该线性系统源点作用在(0,0)处的位移脉冲响应函数,记为hw(x,y,t)。当荷载运动至S(0≤S≤t)时刻,那么瞬时点源荷载已不再处于坐标系XOY的原点。为了利用前面得到的瞬时点源荷载作用在(0,0)处的位移脉冲响应函数来分析S时刻的瞬时点源荷载在弹性体内任意一点A所产生的位移场,就必须进行坐标变换。图2中XOY为原坐标系,X′O′Y′为新坐标系,其坐标系原点建立在S时刻运动荷载所处的位置。设A点在旧坐标系中坐标为(xa,ya),在新的坐标系统中其坐标为(x′a,y′a),则新旧2个坐标系统变换满足关系

x′a=xa-xSy′=ya-ySa

(3)

~(r,p)。w变换中用到了Laplace积分变换微分性质和初、终值定理。再对方程(7)式两边实施零阶Hankel积分变换,可得

——

~~2~1h1+Q2h2)pw+(D1+D2)Nw+khw+(Q

4

—

~　　cpw=~FD(N,p)

—

—

方程两边对t进行Laplace积分变换,可得

~+kw~+(D1+D2)¨2¨2w2~~~　　(Q1h1+Q2h2)pw+cpw=FD(r,p)(7)

~=式中,变换参数为p(p是一个复变量)。式中,w

(8)

——

~=w~(N式中,变换参量为N,w,p)。方程式(8)已经

~是变换域中关于弯沉的代数方程,从中可以解得w为~=w

—

—

式中,xS和yS分别为在S时间内点源荷载在X轴和

Y轴上移动的距离,即M×S和0。那么在S时刻作用于弹性体的瞬时点源荷载所激发出的A点在t时刻的位移场,可由把(3)式和t-S(由时滞造成的时间移位)代入前面给出的位移脉冲响应函数hw(x,y,t)中得到。

由于(1)式是线性系统,满足Duhamel叠加积分,~D(D1+D2)N+k+(Q1h1+Q2h2)p+cp

(9)

—

为了得到更明确的表达式,还需要求出荷载项的积分变换~FD(N,p)。为此对式(6)两边依次进行Laplace积分变换和Hankel积分变换,则可得到以下2式:

—

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西北工业大学学报第27卷

~D(r,p)=F

—

0∞

∞

D(t)e-ptdt=D(r)/2Pr(10)

2Pr

w(x,y,t)=2Ae　(Bt

-Tt

∫

∞

4-1/2

N(N-K)sinõ0

Hankel积分变换

~F(N,p)=

—

N-K)J0(Nx+y)dN

(16)

∫

rJ0(N,r)dr=1/2P(11)

02Pr

将式(11)代入式(9),并整理得

~(N4

w,p)=[2P((D1+D2)N+　　k+(Q1h1+Q2h2)p+cp)]

2

-1

将上式代入广义积分(5)式中,并在代入过程中将

(16)式中的x、y、t分别以x-vt、y、t-S代替。即得到移动荷载作用下加铺层板的稳态响应精确解w(x,y,t)=　[B(t-S)

(12)

∫

t

2Ae-∞

-T(t-S)

F

∫

∞

4-1/2

N(N-K)sinõ0

　　为了得到时域中的弯沉,需对上式进行积分反演。根据Laplace积分变换和Hankel积分变换的线

性性质可知,改变2种变换的先后顺序并不影响最终的结果。故可先对(12)式进行Laplace逆变换

--1

w(N,t)=[2P(Q1h1+Q2h2)(p1-p2)]õ

　　L

-1

N-K]J0[N(x-vS)+y]dNdS

(17)

3　解的数值实现

本文选用二重Guass积分法进行挠度的数值实现。

做变换:S=tgS′,N=tgN′,则

dS=(1+tgS′)dS′　S′=arctgS

22

[(p-p1)

-1

-(p-p2)

-1

]

式中做了如下变量替换

p1=(-c+p2=(-c-2

$)/2(Q1h1+Q2h2)$)/2(Q1h1+Q2h2)

4

$=c-4(Q1h1+Q2h2)((D1+D2)N+k)

(13)

(13)式的Laplace逆变换查表可得

-w(N,t)=[

2P(Q1h1+Q2h

2)õ

　　(p1-p2)]-1(ep1t-ep2t)

对上式两边进行Hankel逆变换,可得

w(r,t)=A

e　　(eBt

-Tt

dN=(1+tgN′)dN′　N′=arctgN

这样,(17)式可化为有限积分w(x,y,t)=

∫∫

arctg(-∞)

arctgtarctg(∞)arctg(0)

{2Ae

-T(t-tgS')

FtgN′

　(tg4N′-K)-1/2sin[B(t-tgS′)　

tg]J0[tgN′+y]

(18)

∫N(K-0

∞

　(1+tg2S′)(1+tg2N′)}dN′dS′

õ

(14)

N)

4

-1/2

4K-N

-e-Bt

4K-N

)J0(Nr)dN

4　计算实例

本文采用FORTRAN语言编写了高斯数值积

分程序对加铺层板厚度和挠度进行反算。

例

某机场跑道为混凝土道面,原道面板厚度

7

2

5

3

式中做了如下变量代换

A=(4P(Q1h1+Q2h2)(D1+D2))B=((D1+D2)/(Q1h1+Q2h2))T=c/2(Q1h1+Q2h2)

1h1+Q2h2)k)/K=

(c-4(Q

2

1/2

-1

为20cm,地基反应模量K=5.0×10N/m,阻尼系数c=2.0×10Ns/m,机载设备为飞机F=1.0

×105N,荷载运行速度v=30m/s,加铺层板的弹性模量为E1=3.5×1010N/m2,松比L1=0.167,

4

-1/2

　　4(Q1h1+Q2h2)(D1+D2)对(14)式使用欧拉公式可得

w(r,t)=2Ae　　sin(Bt

-Tt

∫N(N-0

∞

K)

õ

(15)

密度为2400kg/m3,原道面板的弹性模量为E2=3.0×1010N/m2,泊松比L2=0.167,密度为2400kg/m3。

(1)试求加铺层板厚度与挠度的关系。

解假定板厚h1=15cm,输入原始参数F、v、k、c、E1、E2、L1、L2、Q1、Q2,表1、表2、表3分别给出了给出了t=0、t=0.05s、t=0.1s3个时刻板上沿荷载运动轴向不同点的挠度计算值。

N-K)J0(Nr)dN

(14)式和(15)式就是最终要求的位移脉冲响应函数

hw(r,t)。

广义积分(5)式是在笛卡尔坐标中给出的,为此需要把(15)式在直角坐标下表示出来。根据直角坐标与圆柱面坐标的转换关系可得

专业的哦,学校图书馆的资料,需要的拿去

第1期杨永祥等:粘弹性地基板上加铺层系统的动态设计表1　t=0时道面板不同位置处的挠度值(mm)

x,yw

0,0

1.0,0

2.0,0

3.0,0

4.0,00.00214

6.0,0

7.0,0

10.0,0

135

0.14310.12500.05520.0136-0.000130-0.0000320.0000052

表2　t=0.05s时道面板不同位置处的挠度值(mm)

x,yw

0,0

1.0,0

2.0,0

3.0,0

4.0,00.00102

6.0,0

7.0,0

10.0,0

0.11020.09160.04990.0282-0.000176-0.000011-0.0000018

表3　t=0.1s时道面板不同位置处的挠度值(mm)

x,yw

0,0

1.0,0

2.0,0

3.0,0

4.0,00.00951

6.0,0

7.0,0

10.0,0

0.08890.06810.04320.0335-0.000397-0.0000240.0000017

　　由计算结果可以看出,道面板的弯沉并非总是向下,也有可能出现向上的位移,这对解释材料的粘弹性及材料松散有重要意义。同时发现,在离荷载作用较远处板的挠度很小,几乎可以忽略不计。

同时,通过本文编制的程序对道面在同一时刻不同速度下的响应进行了分析。经分析发现,当荷载运行速度较大时,随着速度的增大,道面板的弯沉并不是单纯的变大或变小而是呈现出震荡的态势;初步分析当v<400km/h时,挠度随速度增大而增大,随后便出现减小的趋势,当v≥600km/h时又开始增大,在v=800km/h处则开始减小。由于没有进一步的数据,故未能得出挠度随速度变化的具体理论曲线,这有待今后继续去研究。

(2)已知板中控制挠度为w1=0.2170×10

-3

5　结　论

(1)本文研究的加铺层设计方法基于线性系统的叠加原理和坐标变换,建立求解移动荷载下粘弹性地基板的动力响应积分公式,把运动荷载问题转化为获取位移脉冲响应函数。在柱坐标中利用拉普拉斯和汉克尔变换求解板在瞬时点源荷载作用下的解,再结合广义积分得到加铺层板在移动荷载作用下的挠度解析解。最后利用数值积分求出数值解。数值解收敛、稳定性好,适用于无损检测评估中直接得出加铺层厚度的参数值。

(2)利用本文编制的程序进行加铺层厚度的反算,结果满足工程经验和精度要求。

(3)本文在构建力学模型时,没有考虑地基的横向约束及飞机起飞时产生升力、降落时产生冲击力及转弯时产生切向力等情况,还有待进一步的研究。

m,调用本文程序,分别输入初始数据,求得加铺层

厚度为15.7cm,满足工程精度要求。

参考文献:

[1]　朱照宏,王秉刚,郭大智.路面力学计算.人民交通出版社,1985

ZhuZhaohong,WangBingang,ChuDazhi.PavementMechanicsCalculations.Beijing:ChinaCommuncationsPress,1985(inChinese)

[2]　黄　卫,钱振东著.高等水泥混凝土路面设计理论与方法.科学出版社出版,2000

HuangWei,QianZhendong.DesignTheoryandMethodofCementConcretePavementofHigh-GradeHighway.Beijing:SciencePress,2000(inChinese)

[3]　孙　璐,邓学钧.运动负荷下粘弹性Kelvin地基上无限大板的稳态响应.岩土工程学报,1997,19(2):14～22

SunLu,DengXuejun.SteadyResponseofInfinitePlateonViscoelasticKelvinFoundationtoMovingLoad.ChineseJournalofGeotechnicalEngineering,1997,19(2):14～22(inChinese)

[4]　刘洪兵,王尚文,董玉明.机场道面无损检测中的参数识别研究.土木工程学报,2000,33(4):93～96

LHo

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136

西北工业大学学报第27卷

NondestructiveTest.ChinaCivilEngineeringJournal,2000,33(4):93～96(inChinese)[5]　黄仰贤著,余定选,齐诚译.路面分析与设计.人民交通出版社,1998

HuangYangxian.DesignandAnalysisofPavement.Beijing:ChinaCommunicationsPress,1998(inChinese)[6]　邓学均主编.路基路面工程.人民交通出版社,2000

DengXuejun.RoadbedandPavementProject.Beijing:ChinaCommunicationsPress,2000(inChinese)

ImprovingDesignofOverlayonViscoelasticKelvinFoundation

YangYongxiang,YangYanhong

(NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi′an710072,China)

Abstract:Aim.FortheconvenienceofChineseairports,wedevelopaprogramthatmakesverysimplethe

determinationoftherequiredthicknessofoverlayonviscoelasticKelvinfoundation.Section1ofthefullpaperdealswiththeestablishmentofthedynamicmodel,whichisFig.1,anditsequation,whichiseq.(1).Section2dealswiththesolutionofeq.(1).Inthederivationofthemathematicalsolution,section2makesuseoftheLaplaceandHankeltransformsandtheinverseLaplaceandHankeltransforms.Themostimportantequationsinsection2areeqs.(7),(8),(14)and(17).Section3giveseq.(18)asthenumericalimplementationofeq.(17).Section4givesanumericalexample.Ifthedeflectionoftheoverlay

-3

isnottoexceed0.2170×10m,theprogramdevelopedbyususingeq.(18)determinesthethicknessoftheoverlayrequiredas15.7cm.

Keywords:pavements,viscoelasticKelvinfoundation,overlay,movingload

2007《工程索引》(EI)年刊收录全世界

60行以上论文25篇

EI编号(行数)012239(127)012657(67)035375(70)036453(67)041960(69)048589(77)052047(71)052106(73)055855(60)060157(106)067310(82)095888(70)135324(68)

主题词(Eimainheading)Atomicphysics

AutomaticprogrammingCoastalengineeringCodes(standards)ComputerprogrammingCrystalatomicstructureDatabasesystemsDatabsesystemsDigitalimagestorageDynamicprogrammingElectronengergylevelsHeterojunctionsMoleculsardynamics

EI编号(行数)135591(77)140550(75)151265(77)167560(87)182624(61)186447(116)198230(77)203707(71)216600(61)217305(61)226226(99)242261(68)

主题词(Eimainheading)MolecularstructureNanoparticles

ObjectorientedprogrammingPlanetarysurfaceanalysisRadar

RelationaldatabasesystemsSignaldetectionSoftwarepackagesSurfacepropertiesSustainabledevelopmentTimevaryingsystemsWirelessnetworks

胡沛泉