一维正态分布随机数序列产生的几种方法介绍

一维正态分布随机数序列产生的几种方法介绍

【摘要】正态分布在数理统计中具有基础性的作用，因此产生高质量的正态分布有重要的意义。我们将介绍几种数值方法求正态分布：中心极限定理，Hasiting 有理逼近法，统计工具箱，反函数法，舍选法，R软件及一维正态随机数的检验。

【关键词】正态分布；一维；随机数。

一．利用中心极限定理

中心极限定理：（一般 n≥10），

产生服从N(μ,σ)的算法步骤：

（1）产生n 个RND 随机数：r1，r2，…，rn；

计算x ( ri （2） 2)/

i 1n122;

2(3) 计算 y=σx+μ ，y 是服从 N(μ,σ) 分布的随机数。

原理分析：

设ζ1，ζ2，…，ζn是n个相互独立的随机变量,且ζi～U(0,1), i= 1,2, …,n, 有E( i) 1

，D( i) 1,12

n ( i n由中心极限定理知 ：)/，渐近服从正态分布N(0, l )。

i 1n

注意：我们现在已经能产生[0，1]均匀分布的随机数了，那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数。

r 1,r2, ,rn现在我们产生n个[0，1]均匀分布随机数，

我们有： 1n1 u n r n i2 i 1

为方便起见，我们特别选 n = 12，则 ： u ri 6

i 112

这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。

在C语言中表示为：

例1：利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验

% example 1

clc,clear

for i=1:1000

R=rand(1,12);

X(i)=sum(R)-6;

end

X=X';

m=mean(X)

v=var(X)

subplot(1,2,1),cdfplot(X)

subplot(1,2,2),histfit(X)

h=kstest(X, [X normcdf(X, 0,1)])

结果为：H=0, 接受原假设，变换后的确为标准正态分布。

二．Hasiting 有理逼近法

这是一种计算速度快，也能满足一定精度的算法。我们可以构造分布函数反函数的近似逼近公式，来产生标准正态分布的随机数。其计算公式为：

2a ay ay012 x y 1 b1y b2y2 b3y3

y ( 2lnr)1/2,r~U(0,1)，系数为： 这里

a0 = 2.515517 b1 = 1.432788

a1 = 0.802853 b2 = 0.189269

a2 = 0.010328 b3 = 0.001308

三．利用统计工具箱

在MATLAB统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序，我们只需要调用就可以产生我们想要的随机数。

四．反函数法

设连续型随机变量Y的概率函数为 f(x), 需产生给定分布的随机数.

算法:

（1）产生n个RND 随机数r1，r2，…，rn；

从等式ri f(y)dy中解出yi;所得（2） yiyi, i=1,2, …,n 即所求.

基本原理：

设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函数，而且随机变量X～U(0,1)，令Z=F(X)。 则Z与Y有相同分布。

证明 ：FZ(z)= P{F(X) ≤ z}= P{X≤F(z)}=G(F(z)) = F(z)

因G(x)是随机变量X 的分布函数：

0, G(x) x,

1, －1－1 x 0;0 x 1;1 x.

－1Y若Y的概率密度为 f(y)，由Y=F(X)可得： X F(Y) f(y)dy

对给出定的(0, 1)上均匀分布随机数ri，则具有给定分布的随机数 yi 可由方程

if(y)dy解出。 ri y

五．舍选法

基本思想：

实质上是从许多RND随机数中选出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数。 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，存在实数a<b，使P{a<X<b}=1。 算法步骤：

(1) 选取常数λ，使λf(x)＜1，x∈(a, b)；

(2) 产生两个RND 随机数r1 、r2，令y= a＋(b－a)r1 ；

(3) 若r2≤λf(y)，则令x=y；否则剔除 r1和r2, 重返步骤(2)，重复循环, 产生的随机数x1，x2，…，xN的分布由概率函数 f(x) 确定。

舍选法算法原理分析：

设P{a＜Z＜b}=1，Z的概率密度为f(z),

（1）选常数λ，使λf(z)≤1，z∈(a，b)；

（2）随机变量X1，X2相互独立Xi～U(0, 1),令Y1=a+(b－a)X1～U(a, b);

（3）若X2≤λf(Y1)，则令X = Y1，否则剔除X1，X2重复到(2)； 则随机变量X的分布与Z相同。

b注： 若不满足条件： f(x)dx 1,a

可选取有限区间(a1, b1)，使得 a1f(x)dx 1 （ε是很小的正数） 例如，取 a1=μ－3σ,b1=μ＋3σ(x )2 e2dx 1 0.003，有a12 b1 b1

在区间(a1, b1)上应用舍选法,不会出现较大的系统误差。

六．R软件

利用R软件，可方便地求各种常见概率分布的分布函数，分位点及生成各种常见分布的随机数等。在各种分布名称中加上不同的前缀表示不同的意义如：p-求分布函数，q-求分位点，r产生随机数等。

七、一维正态随机数的检验

我们已经基本搞清伪随机数的产生原理，由于并不是真正的随机数，很自然的问题是，它们是否具有真正随机数的那些统计性质如参数大小、独立性，均匀性等等。

设：随机数具有连续的分布函数F（X），则随机变量R=（X）是均匀分布（0，1）的随机变量，因此如果R通过统计检验随机变量 X 也可以通过。因此我们以下着重讨论均匀分布R的检验问题，再简单地讨论正态随机数检验问题。 统计推断原理：

X1,X2, ,Xn为 随机变量序列，则随机序列的函数称为统计量。统计量的定义：设

记为：

S S(X1,X2, ,Xn)显然统计量 S 也是随机变量。既然是随机变量，它们就应该有其分布或称总体的规律，当然也有各种数字特征。例如均值、标准差、方差等等各阶矩。

我们的统计推断方式是：

（1）H0：某假定成立；

（2）在假定成立的条件下构造统计量S；

（3）统计量构造完毕，我们也就知道了该统计量的全部统计规律。如它的分布函数，或密度函数各阶矩等；

（4）根据统计量的分布，在给定的显著性水平α，对统计量S 的一次抽样确定以 1-α为概率的区域，该区域称为接受域 。如果该次抽样计算出统计量 S 的值 s 落入该领域，我们就接受原假，否则推翻原假设。这个就是小概率事件在一次实验实际不可能发生原理。落入由α 确定的区域是一个小概率事件，在一次实验中我们认为是不可能发生的。

统计检验中两类常用统计量的构造检验方法：

，和有限方差D（X）= 2，我们抽 N 1.设随机变量 X 具有数学期望E（X）=

XN

i

次样本X1，X2……，XN，当N充分大时，统计量

以 N（0，1）为极限分布，取显著水平 α = 0.05, 则拒绝为（—∞，—1.96），（1.96，∞）。

U＞1.96，则认为差异显著，拒绝假设 E（X）=μ 当2.将样本X1，X2，……，NN，按一定规则分为不相交的 K组，记 i 组的观测频数为 ni（i=1,……，k），若随机变量 X 落于弟 i 组的概率为 Pi，则得理论频数m i= N × Pi，由ni，mi构造统计量。

= 2(mi ni)2 mii 1k

k l 1的分布，简记 2(k l 1)。这里，l 是确定概率 P 时，渐近服从自由度为

由子样 X 中给出的约束条件数。为有效地进行统计检验，一般要求（4.6.2）的样本数 N＞30；在（4.6.2）中k≥5，mi≥5。

d 30时，2 2 2d 1，渐近服从N（0，1）分布。 当统计量的自由度

服从柯尔莫格洛夫—斯米尔诺夫的统计量 jN ND 1max n i N1 j kNi 1

NDN 1.35，可拒绝原假设。 取显著性水平α k

我们可以用这种方法进行独立性，及拟合优度检验。

八、其他一维正态分布随机数序列的产生方法：

1、 直接抽样法：

由基本定理我们知道，对于有些随机变量可以建立与R的函数关系，因此只需对R进行抽样，利用函数的映射关系我们就可以方便地得到该随机变量的抽样了。如前面的指数分布随机数。

2、变换抽样：

产生随机变量的变换抽样方法，是讨论均匀分布的不同函数分布，为随机变量抽

样提供一些简单可行的算法。在概率论中，从不同的角度出发，对随机变量函数进行了讨论，以下列出一些结果。

g(x)f(x)，Y g(X)是对随机变量 X 的变换，且 设随机变量 X 具有密度函数

的逆函数存在，记为 g 1(x) h(y)

有一阶连续导数，则随机变量的密度函数 Y g(X)

f*(y) f h(y) h'(y)

3．值序抽样

值序统计量 (n)

l，通常称为值序量。是随机向量 (X1,X2, Xn)的一个函数，取其一

个实现 (x1,x2, xn)

并排序得 (x(1),x(2), x(l 1),x(l),x(l 1), x(n))

其中的第 l 个值为函数值。显然这是一个统计量。

若随机变量 (X1,X2, Xn)

的各个分量独立且同分布，则值序统计量 (n)

l的密度函数

和分布函数分别为：

fnl(x) n!

(l 1)!(n l)! F(x) l 1 1 F(x) n lf(x)

Fn!F(x)tl 1

nl(x) n l)!0(1 t)n l(l 1)!( dt

这里，F(x), f(x) 分别为随机变量在分布函数和密度函数。

特别当随机变量 Xii 1,2, ,n为[0，1]上的均匀分布时，

得密度函数为：

n!xl 1(1 x)n l

(l0 x 1

f 1)!(n l)!

nl(x) 0else

这是 分布的密度函数

因此我们可以很容易地产生特殊的 分布的随机数。

【个人体会】

一维正态分布随机数序列的产生方法有很多种，其中直接抽样、变换抽样、值序抽样等抽样方法较简单但比较常用，利用中心极限定理是最常用的一种求正态分布随机数的一种方法。本文还提供了两种随机数的检验方法，用于检验产生的随机数实际值与理论值的差异。反函数法和舍远法是连续随机变量通用的方法，应用与正态分布的时候可适当做调整。

个人体会较深的是，在文献查阅上网搜索过程中，面对繁杂的资料，首先应该明确自己要找什么资料，并大约查找相关资料在头脑中形成要写报告的大体框架，然后逐渐精细到点，然后有针对性地查找资料。

【参考文献】

【１】杨振海，张国志；随机数生成［J］。数理统计与管理，2006,25（2）；244-252.

【２】程维虎，杨振海；舍选法几何解释及曲边梯形概率密度随机数生产算法［J］。数理统计与管理，2006,25（4）。

【３】魏宗舒；概率论与数理统计［M］。北京:高等教育出版社,1995。

【４】马砚儒. 经验数学期望及性质［Ｊ］。内蒙古民族大学学报,2002 ,17 (2) :97 – 100。

【５】高惠璇，统计计算［Ｍ］。北京：北京大学出版社，１９９５。

【６】杨振海，程维虎．统计模拟［Ｊ］。数理统计与管理，２００６,２５（１）：１１７－１２６。