数字信号处理—时域离散随机信号处理(丁玉美)第1章

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数字信号处理——时域离散随机信号处理

第一章 时域离散随机信号的分析1.1 引言 1.2 时域离散随机信号的统计描述 1.3 随机序列数字特征的估计 1.4 平稳随机序列通过线性系统 1.5 时间序列信号模型

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1.1 引 言信号有确定性信号和随机信号之分。 所谓确定性信号，就 是信号的幅度随时间的变化有一定的规律性， 可以用一个明确

的数学关系进行描述，是可以再现的。 而随机信号随时间的变化没有明确的变化规律，在任何时间的信号大小不能预测， 因 此不可能用一明确的数学关系进行描述，但是这类信号存在着 一定的统计分布规律，它可以用概率密度函数、概率分布函数、 数字特征等进行描述。

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实际中的随机信号常有四种形式： (1) 连续随机信号： 时间变量和幅度均取连续值的随机信 号。

(2) 时域离散随机信号(简称随机序列): 时间变量取离散值， 而幅度取连续值的随机信号。  (3) 幅度离散随机信号：幅度取离散值，而时间变量取连续 值的随机信号。 例如随机脉冲信号， 其取值只有两个电平，不

是高电平就是低电平，但高低电平的选取却是随机的。 (4) 离散随机序列(也称为随机数字信号): 幅度和时间变量 均取离散值的信号。 

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数字信号处理——时域离散随机信号处理 利用计算机只能处理随机数字信号。本书中针对时域离 散随机信号展开分析与讨论。 对于随机数字信号，需要增加 量化效应的分析, 但随着计算机位数的不断增多, 量化效应逐 渐不明显；为简单起见， 本书中有时也将这种信号简称为随

机序列。

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随机信号X(t)是由它所有可能的样本函数集合而成的, 样本函 数用xi(t), i=1, 2, 3,…表示。 例如, 图1.1.1表示的是n部接收机的输 出噪声电压, 图中xn(t)表示第n部接收机的输出噪声, 称为第n条样 本曲线。如果对随机信号X(t)进行等间隔采样，或者说将X(t) 进行 时域离散化, 得到X(t1), X(t2), X(t3), …, 所构成的集合称为时域离散 随机信号。用序号n取代tn,随机序列用X(n)表示。换句话说, 随机 序列是随n变化的随机变量序列。图1.1.2表示的就是图1.1.1随机 信号经过时域离散化形成的随机序列。相应的xi(n),i=1, 2, 3, …, 称为样本序列， 它们是n的确定性函数。 样本序列也可以用xn表 示。而X(t1), X(t2), X(t3) ,… 或者X(1), X(2), X(3),… 则都是随机变 量。因此随机序列兼有随机变量和函数的特点。 这里要注意, X(n) 与xi(n)分别表示不同的含义(n, i=1, 2, 3, …), 大写字母表示随机序 列或者

随机变量， 小写字母表示样本序列。但在本书以后的章节 中, 为简单起见，也用小写字母x(n)或xn表示随机序列, 只要概念清 楚, 会分清楚何时代表随机序列, 何时代表样本函数。

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数字信号处理——时域离散随机信号处理x1 (t)

x2 (t) t xn (t) t

t1

tn

t

图 1.1.1 n部接收机的输出噪声

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数字信号处理——时域离散随机信号处理x1 (n)

x2 (n) n xn (n) n

n

图 1.1.2 n部接收机输出噪声的时域离散化

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1.2 时域离散随机信号的统计描述1.2.1 时域离散随机信号(随机序列)的概率描述 1. 概率分布函数

对于随机变量Xn, 其概率分布函数用下式描述：

FX n ( X n , n) P( X n xn )式中P表示概率。

(1.2.1)

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数字信号处理——时域离散随机信号处理 2. 概率密度函数 如果Xn取连续值，其概率密度函数用下式描述：

p X n ( xn , n )

FX n ( xn , n ) xn

上面(1.2.1)和(1.2.2)式分别称为随机序列的一维概率分布函数和 一维概率密度函数，它们只描述随机序列在某一n的统计特性。 而对于随机序列，不同n的随机变量之间并不是孤立的，为了 更加完整地描述随机序列， 需要了解二维及多维统计特性。

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数字信号处理——时域离散随机信号处理 二维概率分布函数:

FX n , X m ( xn , n, xm , m) P( X n xn , X m xm )对于连续随机变量, 其二维概率密度函数为

(1.2.3)

p X n , X m ( xn , n , xm , m )

2 FX n , X m ( xn , n, xm ,m) xn xm

(1.2.4)

以此类推, N维概率分布函数为

FX1 , X 2 , X N ( x1 ,1, x2 ,2, , xN ) P( X 1 x1 , X 2 x2 , , X N xN )

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数字信号处理——时域离散随机信号处理 对于连续随机变量, 其N维概率密度函数为

p X1 , X 2 , , X N ( x1 ,1, x2 ,2, , xN , N )

N FX 1 , X 2 , , X N ( x1 ,1, x2 ,2, , xN , N ) x1 x2 xN

概率分布函数能对随机序列进行完整的描述, 但实际中往

往无法得到它。 为此， 引入随机序列的数字特征。在实际中，这些数字特征比较容易进行测量和计算, 知道这些数字特征也 足够用了。 常用的数字特征有数学期望、 方差和相关函数。

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数字信号处理——时域离散随机信号处理 1.2.2 随机序列的数字特征 1. 数学期望(统计平均值) 随机序列的数学期望定义为

mx (n) E[ x(n)] x(n) pxn ( x, n)dx

(1.2.7)

式中E表示求统计平均值。由上式可见，数学期望是n的函数，如果随机序列是平稳的， 则数学期望是常数，与n无关。

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2. 均方值与方差随机序列均方值定义为

E[| X n | ] | x(n) |2 pxn ( x, n)dx2

(1.2.8)

随机序列的方差定义为2 x (n ) E[| X n mx (n ) |2

]

(1.2.9)

可以证明，上式也可以写成下式:

(n ) E[| X n | ] m (n)2 x 2 2 x

(1.2.10)

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数字信号处理——时域离散随机信号处理 一般均方值和方差都是n的函数, 但对于平稳随机序列, 它 们与n无关, 是常数。如果随机变量Xn代表电压或电流，其均方 值表示在n时刻消耗在1 Ω电阻上的集合平均功率，方差则表示

消耗在1Ω电阻上的交变功率的集合平均。有时将σx称为标准方差。

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数字信号处理——时域离散随机信号处理 3. 随机序列的相关函数和协方差函数 我们知道, 在随机序列不同时刻的状态之间，存在着关联

性， 或者说不同时刻的状态之间互相有影响，包括随机序列本身或者不同随机序列之间。 这一特性常用自相关函数和互 相关函数进行描述。 

自相关函数定义为

rxx (n, m) E[ X X m ] * n

* xn xm pX n , X m ( xn , n, xm , m)dxndxm

(1.2.11)

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数字信号处理——时域离散随机信号处理 自协方差函数定义为

cov[X n , X m ] E[( X n , mX n ) * ( X m mX m )]式中的“*”表示复共轭。 上式也可以写成

(1.2.12)

cov(X n , X m ) rxx (n, m) m* n mX m X对于零均值随机序列，mXn= mXm=0, 则

(1.2.13)

cov(X n , X m ) rxx (n, m)这种情况下， 自相关函数和自协方差函数没有什么区别。