数字信号处理ch1_3离散系统频域分析

数字信号处理(Digital Signal Processing)信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地

离散信号与系统分析基础离散信号与系统的时域分析 离散信号的频域分析 离散系统的频域分析 双边z变换与反变换 离散系统的系统函数 全通滤波器与最小相位系统 信号的抽样与重建

离散系统的频域分析离散系统的频率响应

单频信号通过LTI系统的响应正弦信号通过LTI系统的响应 任意信号通过LTI系统的响应 一般周期信号通过LTI系统的响应 离散系统的稳态响应和瞬态响应

离散系统的相位延迟和群延迟理想数字滤波器离散系统频域分析

离散系统的频率响应

DTFT {h[k ]} H (e j ) H (e j ) e j ( )H ( e j ) : 幅度响应(magnitude response) ( ) : 相位响应(phase response)

离散系统频域分析

单频信号通过离散LTI系统的响应x[k]=ej k ( <k< ) 称为单频信号

y[ k ] e j k * h[ k ] e j ( k n ) h[ n ]n

e j k e j n h[ n ] e j k H ( e j )n

e

j k

e LTI系统

j k

H (e )

j

离散系统频域分析

正弦序列通过离散LTI系统的响应余弦序列 cos( k + ) 0.5( e j ( k + ) + e j ( k + ) )y[ k ] 0.5{H (e j ) e j ( k + ) + H (e j ) e j ( k + ) }

当h[k]为实序列时

H (e ) H (e*

j

j

)j( k + )

因此有

y[ k ] Re{H ( e ) ej 离散系统频域分析

j

}

y[ k ] H ( e ) cos[ k + ( ) + ]

正弦序列通过离散LTI系统的响应正弦序列sin( k + ) 0.5 j(e j( k + ) e j( k + ) )

y[k ] 0.5 j{H (e j )e j( k + ) H (e j )e j( k + ) }

当h[k]为实序列时

y[ k ] H ( e ) sin[ k + ( ) + ]j

信号的延迟为

p( ) 离散系统频域分析

( )

例：已知一离散LTI系统的h[k]=(0.5)ku[k], 输入 x[k]=cos(0.5pk),( ∞<k<∞),求系统的稳态响应。1 解 : H (e ) DTFT{h[k ]} 1 0.5e j j

H (e

j 0.5 π

)

1 1 + 0.5 j

0.8944 e

j0.4636

y[k ] 0.8944cos(0.5πk 0.4636 )

任意序列通过离散LTI系统的响应由于存在 x[ k ]

1 2π

π

π

X ( e j ) e jk d j k

e所以有

j k

e LTI系统

H (e )

j

y[ k ] T { x[ k ]}

1 2π 1

π

π

X ( e j )T { e jk }d

j

2π

π

π

X ( e j ) H ( e j ) e jk d j j

Y (e ) H (e ) X (e )离散系统频域分析

序列通过线性相位系统的响应

H (e ) H (e ) e

j

j

j ( )

线性相位系统的定义： ( ) k0 设输入序列为

x[ k ] c n e jk n

n

信号通过线性相位系统的响应

y[ k ] c n H ( e j ) e jk e j

kn 0 n n

n

cn H (en

j n

)e

j n ( k k 0 )

离散系统频域分析

一般周期序列通过离散LTI系统的响应由于存在N 1 2p mk N

~[k ] 1 x N

m 0

~ X [m]e

j

e所以有

j

2π mk N

LTI系统 e

j

2π mk N

H (e

j

2π m N

)

~[k ] T {~[k ]} 1 y x N 1 N

m 0

N 1

j mk ~ X [m]T {e N }

2p

m 0

N 1

j m j mk ~ N X [ m ]H ( e )e N

2p

2p

离散系统频域分析

离散LTI系统的稳态响应和瞬态响应信号x[k]=ej ku[k]通过系统的响应

y[k ]

n

k

k j n jk j ( k n ) h[n]e h[n]e e n

j n jk j n jk h[n]e e h[n]e e n n k +1 系统的稳态响应(steady-state response)

y sr [ k ] H ( e j ) e j k离散系统频域分析

离散LTI系统的稳态响应和瞬态响应系统的瞬态响应(transient response)

ytr [k ] h[n]e j n e jk n k +1 y tr [ k ] n k +1

h[ n ]e

j ( k n )

n k +1

h[ n ]

对于BIBO稳定的系统当 k 时，n k +1

h[n] 0

y tr [k ] 0k

对于h[k]的非零范围为0 k N 1 的FIR系统 当k N 1时， y tr [ k ] 0离散系统频域分析

离散系统的相位延迟和群延迟系统的相位延迟

系统的群延迟 g( ) (group delay)

( ) p( ) d ( ) g( ) d

输入序列x[k]= d[k]cos( c k)通过LTI系统的响应

y[ k ] d [ k g ( c )] cos c ( k p ( c )离散系统频域分析

理想数字滤波器H LP ( e j )H HP ( e j )

1 ππ

1 c π

c

c

c

π

理想低通滤波器H BP ( e j )

理想高通滤波器

1 π π

1

H BS ( e j )

π

π2 1

c c2

1

c

1

c

2

c c

c

1

c

2

理想带通滤波器离散系统频域分析

理想带阻滤波器

例: 确定理想低通滤波器的单位脉冲响应hLP[k]。解 : hLP [ k ] 1 2π

1 2π c

πc

π

H LP ( e j ) e jk d 0.25

e jk d jk c jk c

0.2

1 e e 2 π jk jk

0.15

0.1

0.05

0

cπ

Sa ( c k )

-0.05

-0.1 -100

-50

0

50

100

理想的数字滤波器都是非因果离散系统