七年级数学与三角形有关的角--三角形的内角和人教版

选自人教版实验教科书(五四分段)七年级下册第十七章第二节

课题： 课题：17.2.1

三角形的内角

创设情境激发情趣： 创设情境激发情趣：

内角三兄弟 之争

在一个直角三角形里住着三个内 平时， 角，平时，它们三兄弟非常团 结可是有一天， 结可是有一天，老二突然不高 发起脾气来， 兴，发起脾气来，它指着老大 你凭什么度数最大， 说：“你凭什么度数最大，我 也要和你一样大！”“不行 也要和你一样大！”“不行 老大说： 啊！”老大说：“这是不可能 否则， 的，否则，我们这个家就再也 围不起了……”“为什么？” 老 为什么？ 围不起了 为什么 二很纳闷。 二很纳闷。 同学们，你们知道其中的道理吗？ 同学们，你们知道其中的道理吗？

1

学 习 目 标

1.掌握三角形内角和定理 掌握三角形内角和定理 2.会用添加辅助线的方法进行证明 会用添加辅助线的方法进行证明 3.灵活运用三角形内角和定理 灵活运用三角形内角和定理

二、论证“三角形内角和定理”

怎样验证三角形 的三个角的和等于180 180° 的三个角的和等于180°呢？?

动一动

三角形的三个内角和是多少? 方法一: 量角器量出三个角并相加， 方法一 量角器量出三个角并相加， 得出结论都在180°左右。 °左右。 得出结论都在1、度量法

90 +60 +30 =180

0

0

0

0

90 +45 +45 =180

0

0

0

0

740+370+690=1800

三角形的三个内角和等于180° 三角形的三个内角和等于180° 180

想一想三角形的三个内角和是多少?

方法二: 可裁下它的三个角，拼在一 可裁下它的三个角， 方法二 构成平角180° 起，构成平角 ° 2、拼图实验

三角形的三个内角和等于180° 三角形的三个内角和等于180° 180

三角形的三个内角和是多少?

方法三: 方法三

将各角沿着一边所在的直线折叠A

1 B 2 3 C

演示

下一页

如果△ABC是画在一块不能分割的平面上， 如果△ABC是画在一块不能分割的平面上， 是画在一块不能分割的平面上 如在黑板上，这时就不可能做到把∠ 如在黑板上 ， 这时就不可能做到把 ∠ A 、 ∠ B 撕下来再分别放在∠1 、 ∠ 2 的位置上，那么 撕下来再分别放在∠ 的位置上， 又如何论证∠ 180゜ 又如何论证∠A+∠B+∠C= 180゜呢？

A E

1 2 B C D

言必有“ 言必有“据 开启 智慧 ”

已知：如图，△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°A

B

C

如果△ABC是画在一块不能分割的平面上， 如果△ABC是画在一块不能分割的平面上， 是画在一块不能分割的平面上 如在黑板上，这时就不可能做到把∠ 如在黑板上 ， 这时就不可能做到把 ∠ A 、 ∠ B 撕下来再分别放在∠1 、 ∠ 2 的位置上，那么 撕下来再分别放在∠

的位置上， 又如何论证∠ 180゜ 又如何论证∠A+∠B+∠C= 180゜呢？

A E

1 2 B C D

的延长线CD 过 证法1: BC的延长线CD, CE∥BA, 证法 ：作BC的延长线CD, C作CE∥BA, 于是∠ 两直线平行，内错角相等) 于是∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) (两直线平行，同位角相等) 两直线平行，同位角相等) ∵∠1+∠2+∠ACB=180° 1+∠2+∠ACB=180° 平角的定义) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180(平角的定义)∠B=∠2 ∠

A

E1 2

B

C

D

证法2: 证法 ：

过A作EF∥BA, EF∥BA, 两直线平行,内错角相等) ∠C=∠CAF (两直线平行,内错角相等)

∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∴∠B=∠BAE 两直线平行,内错角相等) 又∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180° ∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180° BAE+∠CAF+∠BAC=180 E 平角的定义) (平角的定义) B+∠C+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) 等量代换)

A

F

B

C

证法3: 证法 ：过A作AE∥BC, AE∥BC, ∴∠B=∠BAE 两直线平行,内错角相等) ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) EAB+∠BAC+∠C=180° ∠EAB+∠BAC+∠C=180° 两直线平行,同旁内角互补) (两直线平行,同旁内角互补) B+∠C+∠BAC=180° 等量代换) ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) E A

B

C

开启

智慧

已知：如图，△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°

A

还有其他证明方法吗？ 还有其他证明方法吗？B

C

BC的延长线CD, 的延长线CD 证法4 证法4: 作BC的延长线CD,

在△ABC的外部，以CA为一边， ABC的外部， CA为一边 的外部 CE为另一边作 1=∠A, 为另一边作∠ CE为另一边作∠1=∠A,

于是CE∥BA 内错角相等，两直线平行). 于是CE∥BA (内错角相等，两直线平行). ∴∠B=∠2 两直线平行，同位角相等). ∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等). A ∵∠1+∠2+∠ACB=180 1+∠2+∠ACB=180° 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°。 平角的定义) (平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180 A+∠B+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换) 等量代换)

? ?

? ?

E

B

×

。2 ×C

1

D

三种语言

三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. ∠A+∠B+∠C=1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C= 中 ∠A+∠B+∠C= 的几种变形: ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形 A+∠B+∠C= ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠A= (∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠B= (∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠C= (∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. ∠A+∠B= ∠C. B 0-∠A. ∠B+∠C=180 ∠A. ∠B+∠C= ∠A+∠C=1800-∠B. ∠A+∠C= ∠B.A

C

这里的结论,以后可以直接运用. 这里的结论,以后可以直接运用.