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【第五课时】加法的初步认识
1. 动手操作,体验加法的含义。用桌子上的5个圆片摆出不同的加法算式。学生操作汇报交流。
答案:4+1 1+4 3+2 2+3 1+3 3+1 ……
2. 填一填。
答案:5;4;4;5。
3. 照样子画一画,再写出得数。
答案:
3+2=51+4=53+1=4○○○○○○○○○○○○○○
4. 你能帮小鸡找到自己的家吗?
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5.试一试。
答案:3;4;3。
【第六课时】减法的初步认识1.说一说,填一填。
答案:
1 2 3
3.请在正确答案上涂上你喜欢的颜色。
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答案:
4 3 1
5 4 1
5.找一找,连一连。
答案:
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一、 排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.
一般地,从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
排列的基本问题是计算排列的总个数.
从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数,我们把它记做m n P .
根据排列的定义,做一个m 元素的排列由m 个步骤完成:
步骤1:从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有n 种方法;
步骤2:从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位,有(1n -)种方法; ……
步骤m :从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置,有
11n m n m --=-+()(种)方法;
由乘法原理,从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是
121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+ ()()(),即121m n P n n n n m =---+ ()()(),这里,m n ≤,且等号右边从n 开始,后面每个因数比前一个因数小1,共有m 个因数相乘. 知识结构
排列组合
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二、 排列数
一般地,对于m n =的情况,排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅ ()().
表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n 个排列全部取出的排列,叫做n 个不同元素的全排列.式子右边是从n 开始,后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积,记为!n ,读做n 的阶乘,则n n P 还可以写为:!n n P n =,其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅ ()() .
在排列问题中,有时候会要求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的方法数量,可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算.
三、 组合问题
日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题,就是我们将要讨论的组合问题,这里,我们将着重研究有多少种分组方法的问题.
一般地,从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.
从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取
出m 个不同元素的组合数.记作m n C .
一般地,求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步:
第一步:从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组,共有m n C 种方法;
第二步:将每一个组合中的m 个元素进行全排列,共有m m P 种排法.
根据乘法原理,得到m m m n n m P C P =⨯. 因此,组合数12)112321
m
m n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯ ()(()()(). 这个公式就是组合数公式.
四、 组合数的重要性质
一般地,组合数有下面的重要性质:m n m n n C C -=(m n ≤)
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这个公式的直观意义是:m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方
法.n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法.显然,从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法.
例如,从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的,即3255
C C =. 规定1n n C =,01n C =.
五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数,使用插板法一
般有三个要求:①所要分解的物体一般是相同的:②所要分解的物体必须全部分完:③参与分物体的组至少都分到1个物体,不能有没分到物体的组出现.
在有些题目中,已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符,对此应当对已知条件进行适当的变形,使得它与一般的要求相符,再适用插板法.
六、 使用插板法一般有如下三种类型:
⑴ m 个人分n 个东西,要求每个人至少有一个.这个时候我们只需要把所有的东西排成
一排,在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板,所以分法的数目为11m n C --.
⑵ m 个人分n 个东西,要求每个人至少有a 个.这个时候,我们先发给每个人(1)a -个,
还剩下[(1)]n m a -- 个东西,这个时候,我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以
了.所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----.
⑶ m 个人分n 个东西,允许有人没有分到.这个时候,我们不妨先借来m 个东西,每个人多发1个,这样就和类型⑴一样了,不过这时候物品总数变成了()n m +个,因此分法
的数目为11m n m C -+-.
【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有多少种排法?如果要求2个女生紧
挨着排在正中间有多少种不同的排法?
例题精讲
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【巩固】4男2女6个人站成一排合影留念,要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法?
【例 2】将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列,其中学生B与C必须相邻.请问共有多少种不同的排列方法?
【巩固】6名小朋友、、、、、
A B两人必须相邻,一共有多少种
A B C D E F站成一排,若,
不同的站法?若、
A B两人不能相邻,一共有多少种不同的站法?
【例 3】书架上有4本不同的漫画书,5本不同的童话书,3本不同的故事书,全部竖起
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排成一排,如果同类型的书不要分开,一共有多少种排法?如果只要求童话书和
漫画书不要分开有多少种排法?
【巩固】四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成.请问:如果要求同类型的节目连续演出,那么共有多少种不同的出场顺序?
【例 4】8人围圆桌聚餐,甲、乙两人必须相邻,而乙、丙两人不得相邻,有几种坐法?
【巩固】a,b,c,d,e五个人排成一排,a与b不相邻,共有多少种不同的排法?
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【例 5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求:
⑴当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序?
⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,一共有多少不同的安排
节目的顺序?
【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少
种?
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【例 6】有10粒糖,分三天吃完,每天至少吃一粒,共有多少种不同的吃法?
【巩固】小红有10块糖,每天至少吃1块,7天吃完,她共有多少种不同的吃法?
【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,每天至少要吃一块,问共有种吃法.
【例 7】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里,允许有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法?
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【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里,允许有盘子空着。一共有种不同的放法。
【例 8】把20个苹果分给3个小朋友,每人最少分3个,可以有多少种不同的分法?
【巩固】三所学校组织一次联欢晚会,共演出14个节目,如果每校至少演出3个节目,那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种?
【例 9】(1)小明有10块糖,每天至少吃1块,8天吃完,共有多少种不同吃法?
(2)小明有10块糖,每天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有多少种吃法?
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【巩固】有10粒糖,每天至少吃一粒,吃完为止,共有多少种不同的吃法?
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【例 10】马路上有编号为1,2,3,…,10的十只路灯,为节约用电又能看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但又不能同时关掉相邻的两只,在两端的灯也不能关掉
的情况下,求满足条件的关灯方法有多少种?
【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不影响正常的照明,可以熄灭其中2盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的2盏灯,那么熄灯的
方法共有多少种?
【例 11】在四位数中,各位数字之和是4的四位数有多少?
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【巩固】 大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?
【例 12】 所有三位数中,与456相加产生进位的数有多少个?
【巩固】 从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少发生一
次进位?
【随练1】 某小组有12个同学,其中男少先队员有3人,女少先队员有4人,全组同学站成课堂检测
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一排,要求女少先队员都排一起,而男少先队员不排在一起,这样的排法有多少
种?
【随练2
】 把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人,每人至少1支,问有多少种方法?
【随练
3】 在三位数中,至少出现一个6的偶数有多少个?
【作业1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,要求三盆红花互不相邻,共有
种不同的放法。
【作业2】 学校合唱团要从6个班中补充8名同学,每个班至少1名,共有多少种抽调方法? 家庭作业
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【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。
【作业4】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排照相,请问:(1)如果要求男生不能相邻,一共有多少不同的站法?
(2)如果要求女生都站在一起,一共有多少种不同的站法?
【作业5】由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个.
【作业6】停车站划出一排12个停车位置,今有8辆不同的车需要停放,若要求剩余的4个空车位连在一起,一共有多少种不同的停车方案?