数学物理方法第13章

数学物理方法第13章知识点总结

第13章 第13.1节

一、基本概念

(1)偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如 F(x,y,...u,多元函 数

u x

u x

,

u y

,

u x

2

2

,

u y

2

2

,...)=0其中u(x,y,...) 是未知

,

u y

...为u的偏导数. 有时为了书写方便，通常记

u y

u x

22

ux

u x

,uy

,....uxx

,...

(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方 程的阶．

(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微 分方程的次数

(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都

是一次的，就称为线性方程，高于一次 以上的方程称为非线性方程．

(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性

的，则称方程为准线性方程．

(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．

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二阶线性非齐次偏微分方程uxy=2y x的通解为 u(x,y)=xy2-1x2y+F(x)+G(y)

2

其中 F(x), G(y)是两个独立的任意函数．因为方程为二阶的，所以是两个任意的函数．

若给函数F(x),G(y)指定为特殊的F(x)=2x4 5, G(y)=2sin y ，则得到的解

u(x,y)=xy2-x2y+2x4 5+2siny 称为方程的特解．

21

n 阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方 程的通解含有n个任意函数．

第13.2节

一、二阶线性偏微分方程的分类

两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为

A(,y)

u x

22

B(x,y)

u x y

2

C(x,y)

u y

2

2

D(x,y)

u x

E(x,y)

u x

F(x,y)u G(x,y)

（13.2.1） 其中 A, B, C, D, E, F , G 为(x,y)的已知函数．

定义A(dy)2 Bdydx+C(dx)2=0 (13.2.3) 为方程13.2.1的特征方程 它所对应的积分曲线族称为特征曲线族 在具体求解方程(13.2.3)时，需要分三种情 况讨论判别式 =B2 4AC 1.双曲型偏微分方程

当判别式 =B2 4AC>0 时，从方程(13.2.3)可以求得两个实函数解

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φ(x,y)=C1及ψ(x,y)=C2也就是说，偏微分方程(13.2.1)有两条实的特征线．于是，

令ξ=φ(x, y), η=ψ(x,y)作变换并代入原方程原偏微分方程(13.2.1)变为：

u

2

D( , )u E1( , )u F1( , )u G1( , )

(13.2.4)

此方程称为双曲线偏微分方程的第一种标准形式 或者进一步作变换 α=ξ+η, β=ξ η 偏微分方程(13.2.4)变为：

u

22

u

2

2

D1( , )u E1( , )u F1( , )u G1( , )

此方程称为双曲型偏微分方程的第二种标准形式 Utt=a2u xx+f(x,t) 波动方程即为双曲型偏微分方程 例题13.2.1原方程为

u x

22

y

u y

2

2

0

(Y<0)

在y<0的区域中，其判别式 =B2 4AC=0-4y>0,所以方程为双曲型。 其特征方程为(dy)2+y(dx)2=0 即：

y x

y

y

该微分方程的解为 x+2是两族函数曲线。若令

=常数C1, x-2

或令

y

=常数C2

x 2 y

x 2 y

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x x x u x u x

222

12

( )y y y

116

( )1 y1 y1

2

1

u

1

u

1 u

2

u 2

2

2

u y

u

2

2

y

y

u

2

u

2

2

u y

2

1 u u u1 u u ( 2 ) ( )223

y 2y

带入原方程得

4 u

2

12

y

(

u

u

)

2

(

u

u

)

所以原偏微分方程化简为下列标准形式

u

2

1

2( )

(

u

u

2

)

u x

22

2

补充例题：试将方程y

x

u y

2

2

0

化为标准方程。

解：△=0-y2(-x)2=x2y2>0 (x 0,y 0)

当(x 0,y 0)时，方程为双曲型的，其特征方程为y2(

dydx

xy

dydx

xy

dxdy

) x 0

2

2

积分，得到两组积分曲线

1212y y

22

1212

x C1x C1

2

2

做变换

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1212

y y

2

2

1212

xx

2

2

u

u

2( )

2

2

2( )

2

2

u

2.抛物型偏微分方程

dy

当判别式 =B2 4AC=0 时，方程(13.2.3)一定有重根dx

B2A

所以

特征曲线是一族实函数曲线．其特征方程的解为φ(x,y)=c因此令 ξ=φ(x,y),η=y作变换，则原方程变为

u

22

D2( , )u E2( , )u F2( , )u G2( , )

(13.2.6)

此方程称为抛物型偏微分方程的标准形式 抛物型方程又可记为

u

22

( , ,u,

u u

,) 0

2

例13.2.2 设原偏微分方程为x

u x

2

2

2xy

u x y

2

y

2

u y

2

2

0 （y 0）

其判别式 =B2 4AC=4x2y2-4x2y2=0,所以特征方程为抛物型，其特征 方程为x2(dy)2-2xydxdy+y2(dx)2=0 上式又可变形为 （xdy-ydx）2=0 因此，特征曲线为

yx

c若令

yx

，

y

，则

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x u x u x

222

y 1 , , 12x yx yy u u1 u u

, 2

x yx yx

24

u

3

2

2

2y u u1 u2 u u

3,2 2 22

x yx x

22

2222

u x y

y ux

y

2

u

2

x

1 ux

2

代入原方程

2

u

2

2

0

(y 0或 0)

因为 0,所以原偏微分方程化为下列标准形式：

u

2

2

0

3.椭圆型偏微分方程

当判别式 =B2 4AC<0 时，如上讨论偏微分方程(13.2.1)的两条特征线是

一对共轭复函数族得到特征方程的解为 φ(x,y)+iψ(x,y)=c1 ;φ(x,y) iψ(x,y)=c2

若令ξ=φ(x, y),η=ψ(x,y)作变换，则偏微分方程变为

u

22

u

2

2

D3( , )u E3( , )u F3( , )u G3( , )

.....13.2.7

上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式． 椭圆型方程又可记为如下形式．

u

22

u

2

2

( , ,u,

u

,

u

) 0

拉普拉斯方程、泊松方程等都属于这种类型．

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u x

2

2

u y

2

2

u z

2

2

0

2

静电场的电势方程----泊松方程

u x

22

例题13.2.3设原偏微分方程为y

u y

2

2

0

判别式 =B2 4AC=0-4y2<0,所以特征方程为椭圆型，其特征方程为y2(dy)2+(dx)2=0

上式又可变形为（ydx+idy）（ydy-idx）=0 因此

12

2

dydx

i

1y

这个常微分方程的解为

12

y-ix 常数c2

2

y ix 常数c1，

是一组共轭复数族。 若令

u

22

2

12

y,

1 u2

2

x 则原偏微分方程化为如下的标准形式

u

2

第13.3节

一、二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 1.双曲型

对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简

u

2

d1

u

e1

u

f1u G1( , )

注：上式中用小写字母d1 , e1 , f1代表常系数，以便与大写字母代表某函数区别开来,

例如G1(ξ,η)为了化简，我们不妨令

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u(ξ,η)=e

e1ξ+d1η

v(ξ,η)从而有

u

2

h1v J1( , )

(10.4.2)

其中h1=d1e1+f1 ,J1 (ξ,η)=G1(ξ,η)e (e1ξ+d1η)

由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简

u

22

u

2

2

d1

u

e1

u

f1u G1( , )

(10.4.3)

式中d1,e1,f1,均为常系数．若令 u(ξ,η)=ee1ξ+d1ηv(ξ,η) 则有

u

22

(10.4.4)

(10.4.5)

u

2

2

h1v J1( , )

其中h1*=f1 e12+d12+2e1d1 ,J1 (ξ,η)=G1 (ξ,η)e (e*ξ+d*η) 2.抛物型

对于含常系数的抛物型偏微分标准方程

u

22

d2

u

e2

u

f2u G2( , )

还可以进一步化简．上式中小写字母 d2 , e2 , f2为了化简，不 妨令u(ξ,η)=ee2ξ+d2ηv (ξ,η v

22

)

h2v J2( , )

3.椭圆型

对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程

u

22

u

2

2

d3

u

e3

u

f3u G3( , )

还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 d3 ,e3 ,f3为常系数．

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为了化简，不妨令u(ξ,η)=ee3ξ+d3ηv(ξ,η) 从而有

u

2

h3v J3( , )

(e3ξ+d3η)

其中h3=f3 (e3 d3)2 ,J3(ξ,η)=G3(ξ,η)e

第13.5节

1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：

(1).当 u为方程的解时，则cu 也为方程的解； (2)若u1 , u2为方程的解，则c1u1+c2u2也是方程的解； (3)线性偏微分方程的叠加原理 (4)线性偏微分方程的积分解

叠加原理是线性偏微分方程具有一个非常重要的特性 即若 uk是方程L[u]=fk (k=1, 2,...) 的解.如果级数

u

c

k 1

k

uk

收敛，且二阶偏导数存在则u ckuk一定是方程

k 1

L[u] u ckuk的解

k 1

（当然要假定这个方程右端的级数是收敛的）． 3.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性： (1)若uI为非齐次方程的特解，uII为齐次方程的通解，则 uI+uII 为非齐次方程的通解；

(2) 若L[u1 ]=H1(x,y),L[u2 ]=H2(x,y), 则L[u1+u2]=H1(x,y)+H2(x,y)