05级高数(2-3)下学期期末试卷A(3)

高数模拟题

Q P

x y

(x)

sinx (x)1sinx

即 －

xxx

dxdx

1sinx x x 一阶线性微分方程通解为： e xedx c x cosx c

代初始条件： ( ) 1 得

c 1　特解为： (x)

1

( cosx 1)x

AB的闭区域D上，2． 设平面上有三个点O(0,0),A(1,0),B(0,1)，在 O求出点M，

使它到点O、A、B的距离平方和为最大。

解：设所求点为M(x,y,) 距离的平方和：

d x2 y2 (x 1)2 y2 x2 (y 1)2(0 x 1,0 y 1 x) 在区域内部求驻点： d1 d1 11 6x 2 0解出x 6y 2 0解出y , x3 y3 33 在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3，

22

d 2y (y 1) 1驻点(0,1/3),与端点函数值比在边界x=0, 0≤y≤1上

较，得该边界上最大值点（0,1）d(0,1)=3。

22

d 2x (x 1) 1驻点(1/3，0),与端点函数值比在边界y=0, 0≤x≤1上较，得该边界上最大值点（1,0），最大值d(1,0)=3。

222

d 3x 2(1 x) (x 1)在边界y=1-x ,0≤x≤1上驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。

比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0)、B(0,1)，最大值为3。