苏教版初中数学一轮复习(上)教师版

第一课时 实数的有关概念

【知识梳理】 1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.

2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应. 3. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；

负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0. 5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近

似数的有效数字.

6. 科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法.

105,0.000043=4.3×10－5. 如:407000=4.07×7. 大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.

8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.

9. 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二

次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．

10. 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．

11. 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平

方根，0的算术平方根是0．

12. 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做

三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13. 开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 【思想方法】

数形结合，分类讨论

【例题精讲】 例1.下列运算正确的是（ ）

1

A． 3 3 B．() 3

13

C

3 D

3

例

） A

． B

C

．例3.2的平方根是（ ）

A．4 B

C

． D

．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）

A．7.26 10 元 C．0.726 10 元

1110

D

B．72.6 10 元

11

9

D．7.26 10元

例5.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，

则必有（ ）

0 例5图

A．a b 0 B．a b 0 C．ab 0 D．例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：

a

0 b

a⊕b = n(n为常数)时，得

（a+1）⊕b = n+2， a⊕（b+1）= n-3

现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ． 【当堂检测】

1

1.计算 的结果是（ ）

2

A．

3

1 6

B．

111

C． D． 688

B．

2. 2的倒数是（ ） A．

1

2

1 2

C．2 D． 2

3.下列各式中，正确的是（ ）

A．2 3 B．3 4 C．4 5 D．14 16 4.已知实数a

在数轴上的位置如图所示，则化简|1 a| ） A．1 B． 1 C．1 2a

5. 2的相反数是（ ） A．2

B． 2

C．

D．2a 1

D．

第4题图

1 21 2

6.-5的相反数是____,-

1

的绝对值是

2

=_____.

7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数. 8.如果 A．

2

( ) 1，则―

33 2

‖内应填的实数是（ ） 2 3

B．

2

C．

33

D．

2

第2课时 实数的运算

【知识梳理】

1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．

2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．

4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数． 5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 如果有括号，先算括号里面的． 6．有理数的运算律：

加法交换律：a+b=b+a(a、b为任意有理数) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)

【思想方法】

数形结合，分类讨论

【例题精讲】

例1.某校认真落实苏州市教育局出台的―三项规定‖，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名. 例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )

例2图

A．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时. B．纽约时间2006年6月17日晚上22时. C．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 . D．汉城时间2006年6月17日上午8时.

例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19

个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成.

……

例3图

例4.下列运算正确的是（ ） A

．3 2

5 B．3 2 6

C．(

1)2 3 1 D．52 32 5 3 例5.计算：

(1) 3 2 ( 1)0 1

10

(2) ( tan45º 9

20 12008

0 () 1 (3)2 ( 1) ()；

(4)( 1)

1

213

【当堂检测】

1.下列运算正确的是（ ）

A．a4×a2=a6 B．5a2b 3a2b 2 C．( a) a D．(3ab) 9ab

2.某市2008年第一季度财政收入为41.76亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )

A．41 108元 B．4.1 109元 C．4.2 109元 D．41.7 108元 3.估计68的立方根的大小在( )

A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 4.如图，数轴上点P表示的数可能是（ ） A

B

．D

．

第4题图

32

5

23

36

C． 3.2 5.计算： (1)( 1)

2009

1

() 2 cos600 （2

）2

1

1

2

1

第3课时 整式与分解因式

【知识梳理】

1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am an am n（m、n为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am an am n（a≠0，m、n为正整数，m>n）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(ab)n anbn（n为正整数）；④零指数：a0 1（a≠0）；⑤负整数指数：a

n

1

（a≠0，n为正整数）； na

2.整式的乘除法:

(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.

(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.

(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即(a b)(a b) a2 b2；

(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即(a b)2 a2 2ab b2

3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 4.分解因式的方法：

⑴提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式a2 b2 (a b)(a b) ； a2 2ab b2 (a b)2

5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：

⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项― 1‖易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）

A. a＋2a=3a B. 3a－2a=a

236222C. a a=a D.6a÷2a=3a 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的

结果是（ ）

A．m B．m C．m+1 D．m-1

22

【例3】若3a a 2 0，则5 2a 6a 【例4】下列因式分解错误的是( )

A．x y (x y)(x y) C．x xy x(x y)

22

22

B．x 6x 9 (x 3)

D．x y (x y)

2

2

2

22

【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行―广‖字，按照这种规律，第5个―广‖字中的棋子个数是________，第n个―广‖字中的棋子个数是________

【例6】给出三个多项式：

1211

x 2x 1，x2 4x 1，x2 2x．请选择你最喜欢的两个多项式222

进行加法运算，并把结果因式分解．

【当堂检测】

1.分解因式：9a a3 ， x3 2x2 x _____________ 2.对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a＝c且b＝d时， （a，b）=（c，d）．定义运算― ‖：（a，b） （c，d）=（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2） （p，q）=（5，0），则p＝q＝．

3. 已知a=1.6 109，b=4 103，则a2 2b=( )

A. 2 107 B. 4 1014 C.3.2 105 D. 3.2 1014 ．

4.先化简，再求值：(a b)2 (a b)(2a b)

3a2，其中a 2b 2．

5．先化简，再求值：(a b)(a b) (a b)2 2a2，其中a 3，b ．

13

第4课时 分式与分式方程

【知识梳理】

1. 分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式

A

叫做分式． B

2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算

4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．

5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】

1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式） 2.检验

【例题精讲】

x2 2x 1x 1

21．化简： 2

x 1x x

x2 2x 2x 4

2．先化简，再求值： 2 x 2 ，其中x 2

x 4 x 2

（1 3．先化简

1x） 2，然后请你给x选取一个合适值,再求此时原式的值． x 1x 1

4．解下列方程（1）

51x 2x 216

0 （2） 222

x 2x 2x 4x 3xx x

5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x千米，则根据题意所列方程正确的是( )

A. B.

C. D.

【当堂检测】

a2 1

1．当a 99时，分式的值是

a 1

．

2

x 1

2．当x时，分式有意义；当x 时，该式的值为0．

x 1

(ab)2

3．计算的结果为 2

ab

4. ．若分式方程

．

1k x 3 有增根，则k为（ ） x 22 x

A. 2 B.1 C. 3 D.-2

2

有意义，则x满足的条件是：（ ） x 3

A．x 0 B．x 3 C．x 3 D．x 3

5．若分式

x2 2xy y2x yx2 y

6．已知x＝2008，y＝2009，求的值 2

5x 4yx5x 4xy

x 2x 1x2 16

2) 27．先化简，再求值：(2，其中x 2 2

x 2xx 4x 4x 4x

8.解分式方程． (1) (3)

2xx3(x 2) 2 0 (2) 2 ； x 1x 1x 2x

11 x2x 1

3 (4)2 1 x 22 xx 1x-1

第5课时 二次根式

【知识梳理】 1.二次根式：

(1)定义

2．二次根式的化简：

3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号

4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

5．二次根式的乘法、除法公式： （1

（2

a 0，b 0）

a 0，b 0）

6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次

根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用

【例题精讲】 【例1

A．x 1

【例2

x的取值范围是（ ） B．x 0 C．x 1且x 0 D．x≥-1且x 0

． ）

D．9到10之间

A

．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间

【例3】 若实数x，y(y2 0，则xy的值是．

【例4】如图，A，B，C，D四张卡片上分别写有 2，π四个实数，从中任取两张卡片．

A B C D

（1）请列举出所有可能的结果（用字母； A，B，C，D表示）（2）求取到的两个数都是无理数的概率．

【例5】计算：

0 1

（）（1）27 (3.14 ) 3tan30

5

7

13

1

（2

）( 1)0 5

2

【例6】先化简，再求值：(2 1) (a2 1)，其中a 3．

a 1a 1

【当堂检测】

1.计算：（1

3 2tan60 ( 10．

（2）cos45°·(－

（3）3

2.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简

．

1－21)－(2－3)0＋｜－｜＋ 22 1

1

0 cos230 4sin60

第6课时 一元一次方程及二元一次方程（组）

【知识梳理】

1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题．

2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：

等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ． 3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．

4．用方程解决实际问题：关键是找到―等量关系‖，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义． 【思想方法】

方程思想和转化思想

【例题精讲】 例1． （1）解方程解：

例2．已知x 2是关于x的方程2(x m) 8x 4m的解，求m

的值． 方法1 方法2

例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

3x 2y 152x 115 2x 7x 2y 27 （2）解二元一次方程组 1. 56

x y 52

1 1 5

x y 2xy 15 x y 3 xy6

例4．在 x 2 y 3 0 中，用x 的代数式表示y，则y=______________． 8A. B. x y 10 C. x y D. x 1

a 2b 5c 0例5．已知a、b、c满足 ，则a：b：c= ．

a 2b c 0

例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交

10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．

①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，

则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ．

②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根

据右表数据，求电厂规定A度为

【当堂检测】

1．方程x 5 2的解是． 2．一种书包经两次降价10%，现在售价3.若关于x的方程

a元，则原售价为_______元．

1

x 5 k的解是x 3，则k _________． 3

x 2 x 3 x 1

y c都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____． 4．若 y 1， ， y 2

5．解下列方程（组）：

（1）3x 2 5(x 2)； （2）0.7x 1.37 1.5x 0.23；

2x 5y 212x 11 4x

（3） ； （4） 1；

35x 3y 8

6．当x 2时，代数式x2 bx 2的值是12，求当x 2时，这个代数式的值．

7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？

mx ny 8(1) x 4

8．甲、乙两人同时解方程组 由于甲看错了方程①中的m，得到的解是 ，

mx ny 5 (2) y 2 x 2

乙看错了方程中②的n，得到的解是 ，试求正确m,n的值．

y 5

第7课时 一元二次方程

【知识梳理】

1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)

2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法 3．求根公式：当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为 b 2 4acx

2a

4．根的判别式： 当b2-4ac＞0时，方程有实数根．

当b2-4ac=0时， 方程有实数根． 当b2-4ac＜0时，方程

【思想方法】

1. 常用解题方法——换元法

2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想 【例题精讲】 例1．选用合适的方法解下列方程：

(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x2－4x－1＝0（用公式法）；

(3) 4x2－8x＋1＝0（用配方法）； （4）x2+22x=0

（m 1）x2 7mx m2 3m 4 0有一个根为零，求m的值． 例2 ．已知一元二次方程

例3．用22cm长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？

例4．已知关于x的方程x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0

(1) 求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

(2) 若等腰三角形ABC的一边长为a=4，另两边的长b．c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

【当堂检测】 一、填空

1．下列是关于x的一元二次方程的有①③(2x 1)2 (x 1)(4x 3) ④k2x2 5x 6 0 ⑤

2x2

1

3x2 2 0 x

②x2 1 0

1x 0 42

⑥3x2 2 2x 0

2．一元二次方程3x2=2x的解是

3．一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0，则m的值是． 4．已知m是方程x2-x-2=0的一个根，那么代数式m2

4a c

5．一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则的值为 ．

b

6．关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是__________． 7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ． 二、选择题：

8．对于任意的实数x,代数式x2－5x＋10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 9．已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是（ ） A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2

10．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A）x2＋4＝0 （B）4x2－4x＋1＝0（C）x2＋x＋3＝0（D）x2＋2x－1＝0 11．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A．若x2=4，则x=2 B．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1 C．方程x2+2x+2=0实数根为0个 D．方程x2-2x-1=0有两个相等的实数根

12．若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是（ ） A.16 B.18 C.16或18 D.21 三、解下方程：

(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x2-4x-4=0

(4)x2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0

第8课时 方程的应用（一）

【知识梳理】

1. 方程（组）的应用；

2. 列方程（组）解应用题的一般步骤； 3. 实际问题中对根的检验非常重要． 【注意点】

分式方程的检验，实际意义的检验．

【例题精讲】

例1. 足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ）

A．4场 B．5场 C．6场 D．13场 例2. 某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（ ）

x–y= 49 x+y= 49 x–y= 49 x+y= 49A． B． C． D．

y=2(x+1) y=2(x+1) y=2(x–1) y=2(x–1)

例3. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意得到的方程是（ ）

15151

x 1x215151C.

x 1x2A.

B.

15151

xx 12

15151D.

xx 12

例4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封， 但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺数为x张， 信封个数分别为y个，则可列方程组 ．

100人．若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元． (1)请你判断乙团的人数是否也少于50人． (2)求甲、乙两旅行团各有多少人？

【当堂检测】

1. 某市处理污水，需要铺设一条长为1000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务．设原计划每天铺设管道xm，则可得方程 ．