2011年考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

2011考验数学

汤家凤主讲

第一讲 极限与连续

主要内容概括（略） 重点题型讲解

一、极限问题

类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）lim

1 11

； n 1 33 5(2n 1)(2n 1)

n

k3 1

（2）lim 3；

n k 2k 1

（3）lim[

n

k(k 1)]

k 1

n

1

n

；

2．求下列极限：

111 ； （1）lim 222n

4n 24n n 4n 1

3．求下列极限： （1）lim

n

1

22

n 1

1n2 22

； 22 n n 1

（2）lim

n

n!

； n

n

（3）lim

1

。 2n i 1i 1

n

n

类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：

(n 1)n 11xxx

sin（1）limcoscos2 cosn(x 0)； （2）lim； nn n nn222

2．求下列极限： （1）lim1 sinx

x 0

1

21 cosx

；

1

（3）lim

1 tanx x

x 01 sinx

ln(1 2x)

； （4）lim cos ；

x

1 x

x2

类型三：利用等价无穷小和马克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：

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tanx sinxetanx ex

（1）lim； （2）lim；

x 0x 0x(1 cosx)x(1 cosx)

（3）lim

x 0

12 cosxx11

； （4）[() 1]lim( )； 322x 03xxtanx

(3 x)x 3x

（5）lim； 2x 0x

ln(1

（6）设lim

x 0

f(x)

)

A，求limf(x)。

x 0x2ax 1

2．求下列极限：lim

cosx e

x 0x3sinx

x2

2

类型四：极限存在性问题：

1．设x1 1,xn 1 xn 0，证明数列{xn}收敛，并求limxn。

n

2．设f(x)在[0, )上单调减少、非负、连续，an 证明：liman存在。

n

f(k)

k 1

n

n

1

f(x)dx(n 1,2, )，

类型五：夹逼定理求极限问题：

sinnx

dx； 1．求lim n 01 x

1

2．lim(a b c)(a,b,c非负)；

n

nn

1nn

x2 n

3．lim x 2 (x 0)。 n

类型六：含参数的极限问题：

3 2

1．设lim(xsin3x ax b) 0，求a,b；

x 0

n

x2 1

ax b)2．设lim 3，求a,b； x x 1

类型七：中值定理法求极限： 1、limn(arctan

n

1

2x 1

2

n

arctan

12x 1

)； n 1

2、limx(e

x

2

e)。

类型八：变积分限函数求极限：

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x2

0ecostdt x 1、lim。

x 0(x tanx)(x 1 1)

x

t

2、设f(x)连续，且f(1) 1，则lim

x 1

1x1

f(xt)dtx3 1

。

二、连续与间断的判断

ln(1 x)

,x 0 x

1．设f(x) 0,x 0，讨论函数f(x)在x 0处的连续性。

x x, 1 x 0 x

11 xx

2．讨论f(x) (2 1)(2 1),x 0在x 0处的连续性。

1,x 0

三、连续性命题的证明

1．设f(x) C[a, )且limf(x)存在，证明f(x)在[a, )上有界。

x

2．设f(x)在[a,b]上连续，任取p 0,q 0，证明：存在 (a,b)，使得

pf(a) qf(b) (p q))f( )。

第二讲 微分学

第一部分 一元函数微分学

内容复习（略） 重点题型讲解

（一）与导数定义相关的问题

f(x0 h) f(x0 h)

( 0)。

h 0h

f(x)

2．设f(x)在x 1处连续，且lim2 2，求f (1)。

x 1x 1

1．设f (x0)存在，求lim

3．设f(x)在( , )上有定义，对任意的x,y有f(x y) f(x)f(y)，且f (0) 1，求f(x)。

ef(x) exf(x)

______。 4．设f(x)二阶连续可导，且lim 1，f (0) e，则lim2x 0x 0xx

5．设f(x)在( , )上有定义，且对任意的x有f(x 1) 2f(x)，又当x [0,1]时，

2011考验数学

有f(x) x(1 x)，讨论f(x)在x 0处的可导性。 （二）各类求导数的问题 1．设y e

sin1x

2

1 xx

e，求y ； 1 x

，求y ；

(101)

2．设y e

1 x1 x

3．y x(x 1)(x 2) (x 100)，求y (0),y

；

x t ln(1 t)d2y

4．设y f(x)由 确定，求； 232

dx y t t

5．设x y，求

xyy

x

dy

； dx

dy

； dxx 0

6．设e tan(xy) y，求

t

dy x te

7．设y y(x)由 2确定，求； 2

dx ty tant 3siny 5

x

sinx 2ae,x 0

8．设f(x) 在x 0处可导，求a,b； 3

9arctanx 2b(x 1),x 0

9．求下列函数的导数：

dy

；

xdxxdy

（2）设y tf(t2 x2)dt，求；

0dx

（1）设y

2xcostdt，求2 0

10．设f(x)连续， (x) 处的连续性。

1

f(xt)dt，且lim

x 0

f(x)

A，求 (x)，并讨论 (x)在x 0x

g(x) cosx

,x 0

f(x) 11．设，其中g(x)二阶可导且g(0) 1。 x

a,x 0

（1）当a为何值时，f(x)在x 0处连续；（2）求f (x)；（3）研究f (x)在x 0处的连续性。

解答：

（1）limf(x) lim

g(x) cosxg(x) g(0)g(0) cosx

lim[ ]

x 0x 0x 0xxxg(x) g(0)1 cosx lim[ ] g (0)， x 0xx

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于是当a g (0)时，f(x)在x 0处连续。

g(x) cosx

g (0)

f(x) f(0)（2）当x 0时，lim limx 0x 0xx

g(x) cosx g (0)xg (x) g (0) sinx1 lim lim [1 g (0)]， 2x 0x 02x2x

1

即f (0) [1 g (0)]；

2

x[g (x) sinx] g(x) cosx

当x 0时，f (x) ，于是 2

x 1

[1 g (0),x 0 2

f (x) 。

x[g(x) sinx] g(x) cosx ,x 0 x2

（3）因为limf (x) lim

x[g (x) sinx] g(x) cosx

2x 0x 0x

g (x) sinxg(x) cosx1 lim[ ] [1 g (0)] f (0)， 2x 0x2x

所以f (x)在x 0处连续。

12．设f(x)在[ 1,1]上可导，f(x)在x 0处二阶可导，且f (0) 0,f (0) 4，求

lim

x 0

f(x) f[ln(1 x)]

。 3

x

x2en(x 1) ax b

13．设f(x) lim，求f(x)，并讨论f(x)的连续性和可导性。 n(x 1)n 1 e

（三）高阶导数问题 1．设y esinx，求y

2x

(n)

；

(n)

2．设y ln(x 3x 2)，求y3．设f(x) xln(1 x)，求f

2

。

(49)

(0)。

内容复习（略）

第二部分 一元函数微分学的应用 附：中值定理部分的推广

1．设f(x)在x x0的邻域内n阶连续可导，则有

f(n)(x0)f(x) f(x0) f (x0)(x x0) (x x0)n o((x x0)n)。

n!

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2．（导数零点定理）设f(x) C[a,b]，在(a,b)内可导，且f (a)f (b) 0，则存在

(a,b)，使得f ( ) 0。

3．（导数介值定理）设设f(x) C[a,b]，在(a,b)内可导，且f (a) f (b)，不妨设

f (a) f (b)，则对任意的 [f (a),f (b)]，存在 (a,b)，使得f ( ) 。

4．设f(x) C[a,b]，且f (x) 0( 0)，则有

f(x) ( )f(x0) f (x0)(x x0)，等号成立当且仅当x x0。

重点题型讲解

（一）中值定理等式的证明

类型一：目标表达式中仅含 不含端点字母，且导数之间相差一阶

1．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 1,f(1) 0，证明：存在 (0,1)，使得 2f( ) f ( ) 0。

2．设f(x)在[0,1]上可微，且f(1) 3 ex 1f(x)dx，证明：存在 (0,1)，使得

f ( ) f( ) 0。

1

30

1

3．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0) 0,f() 1,f(1) 0。证明：

2

1

（1）存在 (,1)，使得f( ) ；

2

（2）对任意的k ( , )，存在 (0, )，使得 f ( ) k[f( ) ] 1。

类型二：目标表达式中含两个中值

1．设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f (x) 0，证明：存在 , (a,b)，使

f ( )eb ea

e。 得

f ( )b a

2．设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a) f(b) 1，证明：存在 , (a,b)，使得

f( ) f ( ) e。

3．设f(x) C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0) 0,f(1) 1，证明：对任意的正数a,b，

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存在 , (0,1)，使得

ab

a b。 f( )f( )

4．设f(x) C[a,b]，在(a,b)内可导（a 0），证明：存在 1, 2, 3 (a,b)，使

f ( 1) (a b)

f ( 3)f ( 2)

(a2 ab b2)。 2

2 23 3

类型三：目标表达式中含有端点和中值

1．设f(x),g(x) [a,b]，在(a,b)内可导，且g (x) 0，证明：存在 (a,b)，使得

f(a) f( )f ( )

。

g( ) g(b)g ( )

(n)

类型四：目标表达式为f( ) 0

1．设函数f(x)在区间[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0) f(1) f(2) 3，f(3) 1，

证明：存在 (0,3)，使得f ( ) 0。

3．设f(x)在[0,1]上三阶可导，且f(0) f(1) 0,H(x) xf(x)，证明：存在 (0,1)，使得H ( ) 0。

4．设f(x) C[a,b]，且f (a)f (b) 0，证明：存在 (a,b)，使得f ( ) 0。 类型五：目标表达式为f

(n)

3

( ) C0（其中C0为常数）

1．设f(x) C[a,b]，在(a,b)内二阶连续可导，证明：存在 (a,b)，使得

(b a) a b

f ( )。 f(b) 2f f(a)

24

2．设f(x)在[ 1,1]上三阶连续可导，且f( 1) 0,f(1) 1,f (0) 0，证明：存在

2

( 1,1)，使得f ( ) 3。

3．设a1 a2 an为n个不同的实数，函数f(x)在[a1,an]上有n阶导数，并满足

f(a1) f(a2) f(an) 0，则对每个c [a1,an]，存在 (a1,an)满足等式

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f(c)

(c a1)(c a2) (c an)(n)

f( )。

n!

（二）中值定理不等式的证明

1．f(x) C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a) f(b)，且f(x)不是常数，证明：存在 (a,b)，使得 f ( ) 0。

2．设f(x) C[a,b]，在(a,b)内可导，且曲线y f(x)非直线，证明：存在 (a,b)，使得 |f ( )|

f(b) f(a)

。

b a

3．f(x) C[a,b]，在(a,b)内二阶可导，且f(a) f(b) 0,f (a) 0，证明：存在

(a,b)，使得f ( ) 0。

4．设f(x)在[a,b]上满足f (x)| 2，且f(x)在(a,b)内取到最小值，证明： |f (a)| |f (b)| 2(b a)。

5．f(x)二阶可导，且f(0) f(1) 0,minf(x) 1，证明：maxf (x) 8。

0 x 1

0 x 1

6．设f(x)在[a,b]上二阶可导，f (x) 0，对任意的xi [a,b]（1 i n）及ki 0（1 i n），证明：

f(k1x1 k2x2 knxn) k1f(x1) k2f(x2) knf(xn)。

7．设lim

x 0

f(x)

1且f (x) 0，证明：f(x) x。 x

8．设f(x)在[0, )上有定义且f (x) 0,f(0) 0，证明：对任意的a 0,b 0，有

f(a b) f(a) f(b)。

9．设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f (a) f (b) 0，证明：存在 (a,b)，使得 |f ( )| 4|f(b) f(a)|/(b a)。 10．设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且|f同于x0的a，有 |f (x0)

(4)2

(x)| M(M 0)，证明：对此邻域内任一不

f(a) f(b) 2f(x0)M

| (a x0)2， 2

12(a x0)

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其中b是a关于x0的对称点。

11．设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0) f(1)且|f (x)| 2，证明：对任意的x [0,1]，有|f (x)| 1。

12．一质点从时间t 0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零。证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4。 （三）求中值定理中 的极限问题

1．设f(x)二阶连续可导，且f (x) 0，又f(x h) f(x) f (x h)h（0 1）。 证明：lim

h 0

1

。 2

2．设x 1 x

111

(x 0)，证明： (x) 。

422x (x)

（四）与极值、最值相关的命题

1．设f(x),g(x)在[a,b]二阶可导，满足f (x) f (x)g(x) f(x) 0，且

f(a) f(b) 0(a b)，证明：f(x) 0(x [a,b])。

2．求数列{n}2中的最大者。 （五）不等式的证明问题

1．设f(0) g(0),f (0) g (0),f (x) g (x)(x 0)，证明：当x 0时，f(x) g(x)。 2．证明：1 xln(x x) x。 3．证明：当x 0时，有(x 1)lnx (x 1)。 4．设b a 0，证明：ln

2

2

2

2

b2(b a)

。

aa b

2 1

。 2

5．当x 0时，证明

arctanx

ln(1 x)

（六）方程根的个数讨论 1．讨论方程xe

x

a(a 0)的根的个数。

2．设[0, )内有f (x) 0，且f(0) 1,f (0) 2，证明：f(x) 0在(0, )内有且仅有一个根。

x

3．证明方程lnx cos2xdx在(0, )内有且仅有两个根。

e0

（七）选择题

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1．设f(x)在x 0处二阶可导，且lim

x 0

f(x) f (x)

2，则 （ ）

x

（A）f(0)是f(x)的极大值. （B）f(0)是f(x)的极小值.

（C）(0,f(0))是曲线y f(x)的拐点. （D）f(0)不是f(x)的极值点，(0,f(0))也不是曲线y f(x)的拐点. 2．设f(x)二阶连续可导，lim

f (x)2

，则 （ ）

x 2(x 2)33

(A)f(2)是f(x)的极小值；(B)f(2)是f(x)的极大值； (C)(2,f(2))是曲线y f(x)的拐点；

(D)f(2)不是函数f(x)的极值点，(2,f(2))也不是曲线y f(x)的拐点。

3．设f(x)二阶连续可导，且lim

x 0

f (x)

1，则（ ） x

(A)f(0)是f(x)的极小值； (B)f(0)是f(x)的极大值；

(C)(0,f(0))是曲线y f(x)的拐点； (D)x 0是f(x)的驻点但不是极值点。

4．设k 0，则函数f(x) lnx

x

k的零点个数为 （ ） e

(A)0个； (B)1个； (C)2个； (D)3个。

x2 1x 1

5．曲线y e的渐近线的条数为 （ ）

x 1

1

(A)0条； (B)1条； (C)2条； (D)3条。

第三部分 多元函数微分学

内容复习

（一）基本概念

1．多元函数的极限：设z f(x,y)的定义域为D，M0(x0,y0)为平面上一点，若对于任意的 0，总存在 0，当0 |f(x,y) A| ，

则称f(x,y)当x x0,y y0时以A为极限，记为limf(x,y) A。

x x0y y0

(x x0)2 (y y0)2 时，有

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2．多元函数的连续：设z f(x,y)在点M0(x0,y0)的邻域内有定义，若

x x0y y0

limf(x,y) f(x0,y0)，则称函数z f(x,y)在点M0(x0,y0)处连续。

3．偏导数：设z f(x,y)在点M0(x0,y0)的邻域内有定义，若

x 0

lim

f(x0 x,y0) f(x0,y0)

存在，称函数z f(x,y)在点M0(x0,y0)处对x可偏导，

x

f x

,

(x0,y0)

极限记为fx (x0,y0),

f(x0,y0 y) f(x0,y0) z

；若lim存在，称函数

y 0 x(x0,y0) y

f

y

,

(x0,y0)

z f(x,y)在点M0(x0,y0)处对y可偏导，极限记为fy (x0,y0),

z

。

y(x0,y0)

4．可微与全微分：设z f(x,y)在点M0(x0,y0)的邻域内有定义，记 z f(x0 x,y0 y) f(x0,y0)， 若 z A x B y o( )，其中A,B为常数，

( x)2 ( y)2，则称z f(x,y)在

点M0(x0,y0)处可微，称A x B y为f(x,y)在点M0(x0,y0)处的全微分，记为 dz A x B y。 注解：

（1）若z f(x,y)在点M0(x0,y0)处可微，则A

f x

,B

(x0,y0)

f y

；

(x0,y0)

（2）若z f(x,y)为可微函数时，dz

f fdx ； x y

5．方向导数：设z f(x,y)在点M0(x0,y0)的邻域内有定义，从点M0(x0,y0)印一条射线l， 设M(x0 x,y0 y) l，令 若lim

( x)2 ( y)2。

存在，称此极限为函数z f(x,y)在点M0(x0,y0)

f(x0 x,y0 y) f(x0,y0)

0

f

|M0。 l

处沿射线l的方向导数，记为注解：

（1）设z f(x,y)在点M0(x0,y0)处可微，则

f f f|M0 |M0cos |M0sin （其 l x y

2011考验数学

中 为射线l与x轴正方向的夹角）。

（2）设u f(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，则

f f f f

（其中 , , 为射线l与x轴、y轴、|M0 |M0cos |M0cos |M0cos ，

l x y z

。 z轴正方向的夹角）

6．梯度：设u f(x,y,z)为二元可微函数，称

u u u u u u

{,,为函数 x y z x y z

u f(x,y,z)的梯度，记为gradf(x,y,z)

u u u z z ui j k ,, 。 x y z x y z

注解：梯度的方向即为函数在一点处方向导数最大的方向，梯度的模即为方向导数的最大值， 因为

u u u f f f f

cos cos cos ,, cos ，cos ，cos l x y z x y z

2

2

2

u u u u u u

， ,, e0 y z cos （其中 为l与gradf的夹角） x y z x u u u

所以当 0时，cos 1，此时方向导数最大，且最大值为 。

x y z

（二）偏导数求法 1．显函数求偏导数； 2．复合函数求偏导数：

（1）z f(u,v)，其中u (t),v (t)，求

2

2

2

dz； dt

z z,； x y z z,； x y

（2）z f(u,v)，其中u u(x,y),v v(x,y)，求

（3）z f(u,v,x)，其中u u(x,y),v v(x,y)，求3．隐函数（组）求偏导数： （1）设F(x,y) 0，求

dy； dx z z,； x y

（2）设F(x,y,z) 0，求

（3）设

F(x,y,z) 0,dzdz

，求，；

dxdy G(x,,y,z) 0,

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（4）

F(x,y,u,v) 0, u u v v

，求,及,。

x y x y G(x,,y,u,v) 0,

（三）多元函数微分学在函数极值上的应用

1．无条件极值

求函数z f(x,y)极值的步骤： （1）确定函数z f(x,y)的定义域；

z x 0

（2）由 求出函数的驻点；

z 0 y

（3）利用判别定理，设(x0,y0)为一个驻点，令

(x0,y0),B fxy (x0,y0),C fyy (x0,y0)， A fxx

Case I 若AC B 0，则点(x0,y0)为函数的极值点，当A 0时，(x0,y0)为极小点；当

2

A 0时，(x0,y0)为极大点。

Case II 若AC B 0，则(x0,y0)不是极值点。

Case III 若AC B 0，则无法确定点(x0,y0)是否为极值点。 2．条件极值

在 (x,y) 0下求函数z f(x,y)的极值点与极值，采用Lagrange乘数法，步骤为： （1）令F f(x,y) (x,y)；

22

Fx fx x 0

（2）由 Fy fy y 0求出可能的极值点；

F (x,y) 0

（3）对可能的极值点进行确定。

（四）多元函数微分学在几何上的应用（数学一，该内容包含在空间解析几何部分） 1．空间曲线的切线与法平面

x (t)

（1）设 : y (t)，取参数t t0，对应的曲线上的点为M0(x0,y0,z0) ，切线的方向

z (t)

向量为T { (t0), (t0), (t0)}， 切线方程为：

x x0y y0z z0

， (t0) (t0) (t0)

2011考验数学

法平面为： (t0)(x x0) (t0)(y y0) (t0)(z z0) 0。 （2）设 :

F(x,y,z) 0

，点M0(x0,y0,z0) ，则切线的方向向量为

G(x,y,z) 0

,G T ({Fx ,Fy ,Fz } {Gxy,Gz})M。

2．空间曲面的切平面与法线

设空间曲面 :F(x,y,z) 0，点M0(x0,y0,z0) ，则切平面的法向量为

n {Fx ,Fy ,Fz }

M0

，

切平面方程为：Fx (M0)(x x0) Fy (M0)(y y0) Fz (M0)(z z0) 0， 法线方程为：

(x x0)(y y0)(z z0) 。

Fx (M0)Fy (M0)Fz (M0)

重点题型讲解

（一）多元函数的概念、极限与连续 1．求下列极限：

sin(xy)

（1）lim(1 xy)

x 0y a

x

； （2）lim

x 0y 0

x2y2 4 2

。 22

xy

xy

,(x,y) (0,0) 22

2．讨论函数f(x,y) x y在点(0,0)处的连续性。

0,(x,y) (0,0)

x2y

,(x,y) (0,0)

3．讨论函数f(x,y) x4 y2在点(0,0)处的连续性、可偏导性与可微性。

0,(x,y) (0,0)

1

xysin,(x,y) (0,0) 22

4．讨论函数f(x,y) 在点(0,0)处的连续性、可偏导性与x y

0,(x,y) (0,0)

可微性。

（二）偏导数的求法 1．设u x，求du；

yz

2u 2uxy

2．设f,g二阶连续可微，u yf() xg()，求x2 y。

x x yyx

2z

3．设f(t)二阶可导，g(u,v)二阶连续可偏导，且z f(2x y) g(x,xy)，求。

x y

2011考验数学

2z

4．设z f(esiny,x y)，且f二阶连续可微，求。

x y

x

2

2

5．设z f(x y g(x y z))，其中f,g可微，求

z z,。 x y

6．设u f(z)，且z是由z y x (z)确定的x,y的函数，f(z), (z)可微，证明：

u u (z)。 x y

7．设y f(x,t)，且t是由G(x,y,t) 0确定的x,y的函数，f(x,t),G(x,y,t)可微，求8．设F(x

dy

。 dx

zz z z

,y ) 0，且F可微，证明：x y z xy。 yx x y

9．设u f(x,y,z)连续可偏导，且z z(x,y)由xex yey zez确定，求du。

10．y

z z11

x (y x)z，若经过变换u x2 y2,v ,w lnz (x y),其中 x yxy

w w(u,v)，求原方程化成的方程形式。

解答：由

w1 z w1 z z w z w

1, 1得 z(1 ), z(1 )， xz x yz y x x y y

又

w w u w v w1 w w w u w v w1 w

， 2x 2, 2y 2

x u x v x ux v y u y v y uy v

代入原方程得

w

0。 v

f2 f21

) () 4，利用x uv,y (u2 v2)把函数f(x,y)变成 x y2

11．f(x,y)满足方程(

g2 g

) b()2 u2 v2，求常数a,b。 u v122

解答：g(u,v) f[uv,(u v)]，

2g(u,v)，且满足a(

g f f g f f v u, u v，代入上述关系式得 u x y v x y

a(v

f f f f

u)2 b(u v)2 u2 v2，即 x y x y

2011考验数学

(av2 bu2)(

f2 f f f

) (2a 2b)uv (au2 bv2)()2 u2 v2， x x y y

则2a 2b 0,a b，于是

a(u2 v2)[(

f2 f211) ()] u2 v2，从而a ,b 。 x y44

（三）偏导数在极值上的应用

1．求由方程2x 2y z 8xz z 8 0所确定的函数z z(x,y)的极值。

2

2

2

4x 8z 4y

0,z 0得x 2z,y 0，代入原方程得y

2z 8x 12z 8x 1816

z1 1,z2 ，所以驻点为( 2,0),(,0)。

77

44162

在( 2,0)处，A z ， ,B z 0,C z AC B 0，A 0，函xxxyyy

2251515

解答：由z x

数在z z(x,y)取极小值z 1；

1644162

，,0)处，A z ,B z 0,C z AC B 0，A 0，xxxyyy

22571515

168

函数在点(,0)处取极大值z 。

77

在(

2．求f(x,y) x3 4x2 2xy y2在区域D {(x,y)| 1 x 4, 1 y 1}上的最大值

与最小值。

2 fx 3x 8x 2y 0 x 0

解答：由 得 ，根据判别法知f(0,0) 0为极大值。令

y 0 fy 2x 2y 0

L1:x 1( 1 y 1),L2:y 1( 1 x 4),L3:x 4( 1 y 1),L4:y 1( 1 x 4)

在L1上f( 1,y) 5 2y y，因为f ( 1,y) 2(y 1) 0，所以f( 1,y)单调减少，故f( 1, 1) 4最大，f( 1,1) 8最小。

2

在L2上f(x, 1) x 4x 2x 1，令f (x, 1) 3x 8x 2 0，得x1,2

322

4 22

， 3

min{f( 1, 1),f(x1, 1),f(x2, 1),f(4, 1)}

4422 226

，

27

4422 226

分别为f(x, 1)在L2上的最

27

max{f( 1, 1),f(x1, 1),f(x2, 1),f(4, 1)