2017-2018学年广东省中山市高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

2017-2018学年高二上学期期末教学质量检测阶段性考试下学期入学考试试题Word版含答案

中山市高二级2017-2018学年度第一学期期末统一考试

数学试卷（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设c b a ,,是实数，则“b a >”是“22bc ac >”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2. ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足b a c C B A B +=--sin sin sin sin ，则=A （ ）

A ．6π

B ．3π

C ．32π

D ．3

π或32π 3.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知9,105123=+=a a a S ，则=1a （ ）

A ．31

B ．31-

C ．91

D ．9

1- 4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为 45，沿A 向北偏东

30方向前进m 100后到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度试（ ）

A ．m 50

B ．m 100 C. m 120 D ．m 150

5.已知等差数列}{n a 的前n 项和为130,210,40,44===-n n n S S S S ，则=n （ ）

A ．12

B ．14 C. 16 D ．18 6.设y x ,满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤+≥≥12340y x x y x ，则132+++x y x 取值范围是（ ） A ．]5,1[ B ．]6,2[ C. ]10,3[ D ．]11,3[

7.直线b x y +=21与曲线x x y ln 2

1+-=相切，则b 的值为（ ） A ．2- B ．1- C. 21- D ．1

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8.已知函数)(,cos 4

1)(2x f x x x f '+=是函数)(x f 的导函数，则)(x f '的图象大致是（ ） A ． B ． C. D ．

9.双曲线116

92

2=-y x 上一点M 到左焦点1F 的距离为N ,7是1MF 的中点，则=||ON （ ） A ．213 B ．4 C. 213或4 D ．213或2

1 10.空间四点)2,0,2(),01,0(),2,3,4(),6,3,2(D C B A 的位置关系式（ ）

A ．共线

B ．共面 C.不共面 D ．无法确定

11.已知点P 为双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右支上的一点，21,F F 为双曲线的左、右焦点，使0)(22=⋅+→→→P F OF OP （O 为坐标原点）且||3||21→→=PF PF ，则双曲线的离心率为（ ）

A ．216+

B ．16+ C. 2

13+ D ．13+ 12.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S .在同一坐标系中，)(n f a n =及)(n g S n =的部分图象如图所示，则（ ）

A ．当4=n 时，n S 取得最大值

B ．当3=n 时，n S 取得最大值

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C. 当4=n 时，n S 取得最小值 D ．当3=n 时，n S 取得最小值

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.抛物线28x y =的准线方程为 ．

14.已知02>++c bx ax 的解集为}21|{<<x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为 ．

15. )2,0(π

α∈，则α

αα22cos 4sin 2sin +的最大值为 ． 16.定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)(x f '，若对任意的实数x ，有)()(x f x f '>，且2017)(+x f 为奇函数，则不等式02017)(<+x e x f 的解集是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，且0sin 3cos =--+c b C a C a .

（1）求A ；

（2）若AD 为BC 边上的中线，2

129,71cos ==AD B ，求ABC ∆的面积

.

18. 设数列}{n a 的前n 项积为n T ，且n n a T 22-=.

（1）求证：数列}1{n

T 是等差数列； （2）设1112

++=n n n T T b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .

19. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：

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⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-=c x c

x x P ,3

21,61（其中c 为小于6的正常数） （注：次品率=次品数/生产量，如1.0=P 表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）

已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.

（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

20. 如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，

60,22,//=∠==DAB AD AB CD AB ，四边形CDEF 为正方形，平面⊥CDEF 平面ABCD .

（1）若点G 是棱AB 的中点，求证：//EG 平面BDF ；

（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正弦值

.

21. 设函数)(ln 1)(R a x a x

x x f ∈--=. （1）讨论)(x f 的单调性；

（2）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点))(,()),(,(2211x f x B x f x A 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -=2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.

22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右顶点与上顶点分别为B A ,，椭圆的离心率为2

3，且过点)23,1(. （1）求椭圆的标准方程；

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（2）如图，若直线l 与该椭圆交于Q P ,两点，直线AP BQ ,的斜率互为相反数. ①求证：直线l 的斜率为定值；

②若点P 在第一象限，设ABP ∆与ABQ ∆的面积分别为21,S S ，求21S S 的最大值.

试卷答案

一、选择题

1-5:BBCAB 6-10:DBAAC 11、12：DA

二、填空题

13. 321

-=y 14. 21

|{<x x 或}1>x 15. 21 16. ),0(+∞

三、解答题

17.解：（1）0sin 3cos =--+c b C a C a ，由正弦定理得： C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+，即

C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=+， 化简得：21

)30sin(,1cos sin 3=-∴=- A A A ，

在ABC ∆中， 3030,1800=-∴<<A A ，得 60=A .

（2）在 60=A 中，71

cos =B ，得73

4sin =B 则143

5734

217123)sin(sin =⨯+⨯=+=B A C

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由正弦定理得5

7sin sin ==C A c a 设x c x a 5,7==，在ABD ∆中，由余弦定理得：B BD AB BD AB AD cos 2222⋅-+=，则7

172152494125412922⨯⨯⨯⨯-⨯+=x x x x ，解得1=x ， 即5,7==c a 故310sin 2

1==∆B ac S ABC . 18.解：（1）因为n n a T -=2，所以1122T T -=，即321=

T ，所以2311=T 又)2(221

≥-=-n T T T n n n ，所以)2(2211≥-=--n T T T T n n n n ， 即)2(2

1111≥=--n T T n n ， 所以数列}1{

n T 是以23为首项，以21为公差的等差数列. （2）由（1）知2

221)1(231+=⨯-+=n n T n ， 所以)23(23

2223222

+-+=+++=+++=n n n n n n b n 所以)33(2)23(2)45(2)34(2-+=+-+++-+-=n n n S n .

19.解：（1）当c x >时，0132231,32=⋅-⋅=∴=

x x T P ， 当c x ≤≤1时，x

P -=61， x

x x x x x x T --=⋅⋅--⋅⋅--=∴6291)61(2)611(2

综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：⎪⎩

⎪⎨⎧>≤≤--=c x c x x x x T ,01,6292 （2）由（1）知，当c x >时，每天的盈利额为0