高中数学必修4(人教B版)第一章基本初等函数(2)1.1知识点总结含同步练习题及答

高中数学必修4(人教B版)第一章基本初等函数(2)知识点总结含同步练习题及答案

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第一章 基本初等函数（II） 1.1 任意角的概念与弧度制

一、学习任务

1. 了解任意角的概念，了解终边相同的角的意义．

2. 了解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的互化．

二、知识清单

任意角的概念 弧度制

三、知识讲解

1.任意角的概念

描述：任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线的端点是 O ，它从起始位置 OA 按逆时针方向旋转到终止位置 OB ，形成一个角 α ，射线 OA 称为角的始边，射线 OB 称为角的终边．

角的分类

正角（positive angle） 按逆时针方向旋转形成的角．

负角（negative angle） 按顺时针方向旋转形成的角．

零角（zero angle） 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．象限角与轴线角

在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角（quadrant angle）．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角．

终边相同的角

所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可以构成一个集合

S={β| β=α+k 360°,k∈Z

} ，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和．

例题：在下列说法中：

①时钟经过两个小时，时针转过的角是 60°；

②钝角一定大于锐角；

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②钝角一定大于锐角；③射线 OA绕端点 O按逆时针旋转一周所成的角是 0°;④小于 90°的角都是锐角.其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上).解：①③④①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转 60°,因而转过的角为 60°,所以不正确.②钝角α的取值范围为 90°<α< 180°,锐角θ的取值范围为 0°<θ< 90°,因此钝角一定大于锐角，所以②正确.③射线 OA按逆时针旋转一周所成的角是 360°,所以③不正确.④锐角θ的取值范围是 0°<θ< 90°,小于 90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确. (1)写出与 1840°角终边相同的角的集合 M; (2)在(1)的集合 M中，求使角α∈ M,且 360°≤α≤ 360°的所有角. (3)把 1840°的角表示成 k 360°+ d (0°≤ d< 360° ) (k∈ Z)的形式，并判断 1840°是第几象限的角；解：(1)M={α|α= k 360° 1840°, k∈ Z}; (2)由(1)得，当 k= 5时，α= 40°,当 k= 6时，α= 320° . (3) 1840°= 6× 360°+ 320°,因为在 0°～ 360°范围内，与 1840°终边相同的

角是 320°角，所以它是第四象限的角；写出终边落在坐标轴上的角的集合.解：在 0°～ 360°范围内，终边在坐标轴上的角有四个，即 0°,90°,180°,270° .与这四个角终边相同的角组成的集合依次为

S1 S2 S3 S4

={β| k 360°, k∈ Z},={β| 90°+ k 360°, k∈ Z},={β| 180°+ k 360°, k∈ Z},={β| 270°+ k 360°, k∈ Z}.

为了简便起见，我们把集合 S 1,S 2,S 3,S 4的表示方法作如下变化

S1 S2 S3 S4

={β|β= 4k 90°, k∈ Z},={β|β= (4k+ 1) 90°, k∈ Z},={β|β= (4k+ 2) 90°, k∈ Z},={β|β= (4k+ 3) 90°, k∈ Z}.

所以终边落在坐标轴上的角的集合 S= S 1∪ S 2∪ S 3∪ S 4={β|β= k 90°, k∈ Z} . (1)写出终边落在第二象限角的集合；

α, α所在的象限. 2解： (1)终边落在第二象限角的集合S={β| k 360°+ 90°<β< k 360°+ 180°, k∈ Z}. (2)2k 360°+ 180°< 2α< 2k 360°+ 360°, k∈ Z,则 2α是第三象限角或第四象限角，或终边在 y轴负半轴上的角；αα (方法一)k 180°+ 45°<为第一象限角，< k 180°+ 90° (k∈ Z),当 k为偶数时， 2 2α当 k为奇数时，为第三象限角. 2α (方法二)由图可知，在第一象限或第三象限. 2(2)已知角α为第二象限的角，试确定 2α,

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2

2.弧度制描述：角度制与弧度制用度作为单位来度量角的制度叫做角度制(degree measure).用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制(radian measure).把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，用符号 rad来表示，读作弧度.今后我们在用弧度制表示角的时候，弧度二字或者 rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数.例如∠α= 2表示α是 2rad的角，sin

ππ表示 rad的 3 3角的正弦.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0 l .如果半径为 r的圆的圆心角α所对的弧的长为 l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|= r .这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.角度与弧度的换算

360°= 2πrad, 180°=πradπ rad≈ 0.01745rad 1°= 180 180° 1rad= ( )≈ 57.30°= 57° 18′π

扇形的弧长公式 l=|α| r (其中α指扇形的圆心角的弧度数， r指扇形的半径)扇形的面积公式

S=长)

1 1 lr=|α|r2 2 2

(其中α指扇形的圆心角的弧度数， r指扇形的半径， l指扇形的弧

例题：下列叙述中，错误的是______.①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②无论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长度

有关；③1度的角是圆周角的④1弧度是长度为半径长的弧所对的圆心角.解：②.将下列角度与弧度进行互化.

1 1,1弧度的角是圆周角的； 360 2π

2π;1 3ππ解：15°= 15×;= 180 12π 3 135°= 135×= π; 180 4 2 2π 180° π= ×( )= 120°; 3 3π 15°; 135°; ( )°

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1= 1×(

180° )≈ 57.3° .π

(

)

(1)一个扇形的周长为 20cm,当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形面积的最大值. (2)一个扇形的面积为 25cm 2,当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？并求出这个扇形周长的最小值.解：(1)设扇形的半径为 r,则弧长为 l= (20 2r).由 0< l< 2πr,得

10< r< 10.于是扇形的面积为π+1 1 10 S= (20 2r)r= (r 5)2+ 25(< r< 10).当 r= 5时，l= 10,α= 2,S取得 2π+1最大值，此时最大值为 25cm2 .故当扇形的圆心角α等于 2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是 25cm2 . 1 (2)设扇形的半径是 r,弧长是 l,扇形的周长为 y,则 y= l+ 2r.由题意得 lr= 25,则 2 50 50,所以 y= l=+ 2r.利用函数单调性的定义可证明：当 0< r≤ 5时，函数 r r 50 50 y=+ 2r是减函数；当 r> 5时，函数 y=+ 2r是增函数.所以，当 r= 5时，y r r l取得最小值 20,此时 l= 10,α== 2,即当扇形圆心角为 2弧度时，扇形周长取最小值为 r 20. 0< 20 2r< 2πr,所以

四、课后作业

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1. 610°是 (

)B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

A.第一象限角答案： C

2.将分针拨慢 5分钟，则分钟转过的弧度数是 ( A.

π 3

B.

π 3

)C.

π 6

D.

π 6

答案： C

3.有小于 2π的正角，这个角的 3倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小可能是 ( A.

答案： C

π 4

B.

π 2

C.π

D.

3π 2

)

解析：设这个角为

α,则 3α= 2kπ+α, k∈ Z,因此α= kπ, k∈ Z,又∵α∈ (0,2π),∴令 k= 1得α=π . ) . (单位 cm2 )D.64

4.若扇形的周长是 16cm,圆心角是 2弧度，则扇形的面积是 ( A.16答案： A

B.32

C.8

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