高中数学复习系列---柯西不等式

高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）

【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若a,b,c,d R，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式1.若a,b,c,d R，则a2 b2 c2 d2

|ac bd|或a2 b2 c2 d2ac bd；

变式2.若a,b,c,d

R ；

变式3.（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

3. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，

ai,bi R

(i 1,2,…,n)，

则： .当且仅当 时, 等号成立. (若ai 0时，约定bi 0，i 1,2,…,n).

2

(ai)2ai

变式1. 设ai R,bi 0(i 1,2, ,n), 则： b

i 1bi .当且仅当 时, 等号成立. i

n

2

(a)a i0

变式2. 设ai bi 0(i 1,2, ,n), 则： i . 当且仅当b1 b2 bn时,等号成立.

babi 1iii

n

如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：

2222

例1. 已知实数a,b,c,d满足a b c d 3， a 2b 3c 6d 5. 试求a的最值

9 222

x y z

例2 在实数集内 解方程 4

8x 6y 24y 39

例3 设P是三角形ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是 ABC外接圆 的半径，

例4 (证明恒等式) 已知a b2 b a2 1, 求证：a2

b2

1。

1例5 (证明不等式)设a1 a2 an an 1, 求证:a 1 1 1

0 1 a2a2 a3

an an 1an 1 a1

【同步训练】

1.已知a1,a2, ,a1

n R ，求证：(a1 a22 a2n) a1 a22 a2n

n

2.已知a,b,c,d是不全相等的正数，求证：a2 b2 c2 d2

ab bc cd da

3.已知x 2y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值.

4.设xxx22

1x2x2n1

1,x2, n R , 且x1 x2 xn 1, 求证：1 x x

11 21 xnn 1

5.已知实数a,b,c,d,e满足a b c d e 8, a2

b2

c2

d2

e2

16, 求e的取值范围.

6.已知x,y,z R , 且x y z 1, 求证：

149

36 xyz

已知正数a,b,c满足a b c 1 证明 a3

b3

c3

a2 b2 c2

7.3

8.若n是不小于2

的正整数，试证：41117 1 2 3 4 112n 1 2n

2

。

参考答案:

一般形式的柯西不等式： n

设n为大于1的自然数，a2

n

n

i,bi

R(i 1,2,…,n)，则： ai

b

2

i

(bi)2，

i 1

i 1

aii 1

其中等号当且仅当

b1bba 2

n时成立(当ai 0时，约定bi 0，i 1,2,…,n). 1a2an

等号成立当且仅当bi ai(1 i n) 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便 地解决一些中学数学中的有关问题。

例1 解：由柯西不等式得，有

2b2 3c2 6d2

111

2 2 3 6

b c d 即2b2 3c2 6d2 b c d 2

由条件可得， 5 a2

3 a 2

解得，1 a

2 时等号成立， 代入b 1,c 13,d 1

6时， amax 2 b 1,c 21

3,d 3

时 amin 1

例2解：由柯西不等式，得

x2 y2 z2 8 2 6222

24

8x 6y 24y ①

x2 y2 z

2

8 2 62 24 2 94

64 36 4 144 392 又 8x 6y 24y 2 392.

x2 y2 z2 22

22

8 6 24

8x 6y 24z

即不等式①中只有等号成立.

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

xyz 8 6 24 它与 8x 6y 24y 39联立，可得x 6918

13 y 26 z 13

例3证明：由柯西不等式得，

记S为 ABC的面积，则

abcabc

ax by cz 2S 2

4R2R

故不等式成立。

例4 证明：由柯西不等式，得a b2 b a2 a2 1 a2b2 1 b2 1

b2 当且仅当时，上式取等号， 2a a

b

ab a2 b2, a2b2 1 a21 b2,

于是 a b 1 。

例5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

2

2

a1 an 1

111

1,

an an 1 a1 a2a2 a3

证明：为了运用柯西不等式，我们将a1 an 1写成

a1 an 1 a1 a2 a2 a3 an an 1 于是

a1 a2 a2 a3 an an 1

n2 1.

111

a aa aa a223nn 1 1

111

1a aa aa a223nn 1 1 即

1111 ,a1 a2a2 a3an an 1a1 an 1

a1 an 1

故

1111

0.

a1 a2a2 a3an an 1an 1 a1

我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。 练习

1．证：(1 1 1)(a1 a2 an) (1 a1 1 a2 1 an) ∴ n(a1 a2 an) (a1 a2 an)

∴

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

122

(a1 a2 an)2 a12 a2 an n

证明 :(a2 ( 2ab c2bc d2cd)( b2da )

c222

2 d a)2、

a,b,c,d是不全相等的正数, a b c d

不成立 (a222bcda

2 b22 c2c2 dd2) ab(ab bc bc cd cd da

da)2即 a b 解:(x2 y2 z2)(12 22 32) (x x2 y2 z2

1

2y 3z)2 1

3．

14当且仅当x y2 z3即x 114,y 17,z 314

时

1x2 y2 z2取最小值

1

14

x22

证明:(n 1) (1x2

x2n1 x )

11 x21 xn

(1 x 1 xx2x2

12

1 1 x2n) ( 4

、x21 x x

112

n1 x) n 2 (x1 x2 xn)2 1

解: 4(a2 b22

5． c2 2

d)22

即 4(16 (1 (a 1 1 1)(a2 b c d2)e2 ) b (8c ed))2,即64 4e2 64 16e e

2

5e2 16e 0,故0 e

16

5

证法一1:用柯西不等式

x 4y 9z (x y z)(1 4 9) 6．

xyz

2

36

当且仅当x2 1y2 z2,即x ,y 1,等号成立.

4963z 2

时,

证法二1x 4:代入法y 9z 1x(x y z) 4(x y z) 9

(x y z) 14 (y4xyz9x4zz

9y

14 4x 6 y) ( ) ( )

12 36

xzyz

当且仅当y 2x,z 3x,即x 111

6,y 3,z 2

时,等号成立

．证明：利用柯西不等式

2

13131

a

2

b2 c

2

2

3 a2a2 b2b2 c2c2

3 2 a2 3 b2 2 3 c2 2

a b c

7

a3 b3 c3 a b c 2

a b c 1

又因为 a2 b2 c2 ab bc ca 在此不等式两边同乘以2，再加上a2 b2 c2

得： a b c 3 a2 b2 c2

a2 b2 c2 2

a3 b3 c3 3 a2 b2 c2

故a3

b3

c3

a2 b2 c2

3

9、证明：证明：1

1111111111112 3 4 2n 1 2n (1 2 3 4 2n) 2(2 4 2n

)

1n 1 1n 2 1

2n

所以求证式等价于

4117 n 1 n 2 12n

2

由柯西不等式有(

1n 1 1n 2 12n

)[(n 1) (n 2) 2n] n2 于是：

1n 1 1n 2 1n2242n (n 1) (n 2) 2n 3 17

n

又由柯西不等式有

1 1 1n 2 12n n

2