西南交大研究生机械振动与模态分析期末考试试题解答2012

牵引张立民老师

西南交通大学研究生2011－2012学年第(二)学期考试试卷

课程代码 M11206 课程名称 机械振动与模态分析 考试时间 120分钟

密封装订线

名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 装 封级密 班阅卷教师签字：

1 对于如图所示的单自由度系统，计算在ξ=1和0<ξ<1时，对于初始条件x(0)=0，dx/dt(0)=v0

的响应 (10分)

解：系统微分方程 mx(t) cx(t) kx(t) 0

特征方程 s2 2 2

通解 ns n 0 x(t) A1es1t A2es2t

A1exp 2 1 nt A2exp

2

1 nt

A1exp(2 1 nt) A2exp( 2

1 nt)ent

临界阻尼ξ=1时： x(t) (A tA)e nt

根据初始条件得到：A1。所以此时系统的响应为2

1=0，A2=v0,

当欠阻尼0<ξ<1时：由初始条件x(0)=0得到相位角φ=0，和幅值A=v0/ωd 得到

牵引张立民老师

订线 装 封 密 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 装 封级密 班2 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子。(10分)

x nt

解：由 1 e

x nt1 T enT

2e得对数衰减率 lnx12

x nT

2 2从而有：

2 2 2

间隔任意周期时 x1

ej nT

xj 1

得到间隔j个周期后的衰减

1

ln

x1j

xj 1

当j=5时，有

阻尼因子为

3 如图所示是惯性传感器原理图，（1）写出运动方程；（2）写出稳态响应时系统的频响函数；（3）绘制幅频和相频曲线。（10分）

解：运动方程： m x r cx r kxr m x

e或

x 2

r 2 nx r nxr x e

k c

n

m2mk

牵引张立民老师

线 订 装 封 密 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 装 封级密 班ωn为传感器底座刚性固定时振子的固有频率，ξ为振子的阻尼比。

频响函数：

2r j 2

2 2 j2 D2ee n n

2

2

D2

1 22

4 2 2

2 tan 1

1 2

(0 2 )

4如图所示系统，已知m1=m, m2=2m, k1=k2=k, k3=2k,求系统固有频率和振型（20分）。

牵引张立民老师

名 姓 号 学 级 班

5 如图所示，k1=0,k2=k3,m1=m2=m,m3=2m,求固有频率和振型（15分）。

解：

牵引张立民老师

线 订 装 封 密 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 封装级密 班

6试证明振型矩阵关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性（10分）。

Ti M

j 0

T i j

i K

j 0

Ti M

i mi

T

i K

i ki i j

解：

证明：设第i 个与第j个模态向量分别为 i, j, 则有

K i i M i

K j

j M j

用 Tj前乘式（1）有

Tj K i

i T

j M i 用 Ti前乘式（2）有

T T

i K j i i M j 因 K , M 都是对称阵，对（4－24）取转置，有

Tj K i Ti M j Tj K i Tj M i

将她们代入式（2）后再与式（4）相减，得

( T

i j) i M j 0 当i j时， i j，有

Ti M

j 0 1）2）3）4）5） （ （

（

（

（

牵引张立民老师

线 订 装 封 密 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 装 封级密 班再由式（3），显然有 Ti K

j 0 证毕

7 写出2自由度系统实频与虚频响应函数表达式，绘制相应的实频与虚频速度导纳曲线（10分）。

8 简述klaustman方法适用范围及模态参数识别过程（10分）。