高数第五版答案(同济)12-9

高数第五版答案(同济)(12章)

习题12 9

1 求下列各微分方程的通解

(1)2y y y 2ex

解 微分方程的特征方程为

2r2 r 1 0 其根为r1

Y1 r 1 故对应的齐次方程的通解为 22 1x C1e2 C2e x

因为f(x) 2ex 1不是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* Aex

代入原方程得

2Aex Aex Aex 2ex

解得A 1 从而y* ex

因此 原方程的通解为

(2)y a2y ex

解 微分方程的特征方程为

r2 a2 0

其根为r ai 故对应的齐次方程的通解为

Y C1cos ax C2sin ax

因为f(x) ex 1不是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* Aex

代入原方程得

Aex a2Aex ex 解得A 1xy C1e2 C2e x ex 1 从而y* ex 1 a21 a2

因此 原方程的通解为

xe y C1cosax C2sinax 1 a

(3)2y 5y 5x2 2x 1

解 微分方程的特征方程为

2r2 5r 0

高数第五版答案(同济)(12章)

其根为r1 0 r2 故对应的齐次方程的通解为

Y 5x C1 C2e2 52

因为f(x) 5x2 2x 1 0是特征方程的单根

故原方程的特解设为

y* x(Ax2 Bx C)

代入原方程并整理得

15Ax2 (12A 10B)x (4B 5C) 5x2 2x 1 比较系数得A 1 B 3 C 7 从而y* 1x3 3x2 7x 35253525

7x 25 因此 原方程的通解为 5x1332y C1 C2e x x 35

(4)y 3y 2y 3xe x

解 微分方程的特征方程为

r2 3r 2 0

其根为r1 1 r2 2 故对应的齐次方程的通解为

Y C1e x C2e 2x

因为f(x) 3xe x 1是特征方程的单根

故原方程的特解设为

y* x(Ax B)e x

代入原方程并整理得

2Ax (2A B) 3x 比较系数得A 3 B 3 从而y* e x(3x2 3x) 22

3

2 因此 原方程的通解为 y C1e x C2e 2x e x(x2 3x)

(5)y 2y 5y exsin2x

解 微分方程的特征方程为

r2 2r 5 0

其根为r1 2 1 2i 故对应的齐次方程的通解为

Y ex(C1cos2x C2sin2x)

因为f(x) exsin2x i 1 2i是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* xex(Acos2x Bsin2x)

代入原方程得

高数第五版答案(同济)(12章)

ex[4Bcos2x 4Asin2x] exsin2x 比较系数得A B 0 从而y* xexcos2x

因此 原方程的通解为

y ex(C1cos2x C2sin2x) xexcos2x

(6)y 6y 9y (x 1)e3x

解 微分方程的特征方程为

r2 6r 9 0

其根为r1 r2 3 故对应的齐次方程的通解为

Y e3x(C1 C2x)

因为f(x) (x 1)e3x 3是特征方程的重根

故原方程的特解设为

y* x2e3x(Ax B)

代入原方程得

e3x(6Ax 2B) e3x(x 1) 比较系数得A 1414141 B 1 从而y* e3x1x3 1x2) 6262

1

612 因此 原方程的通解为 y e3x(C1 C2x) e3xx3 x2)

(7)y 5y 4y 3 2x

解 微分方程的特征方程为

r2 5r 4 0

其根为r1 1 r2 4 故对应的齐次方程的通解为

Y C1e x C2e 4x

因为f(x) 3 2x (3 2x)e0x 0不是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* Ax B

代入原方程得

4Ax (5A 4B) 2x 3 比较系数得A B 1

211 从而y* 1x 11 828

1

211 8 因此 原方程的通解为 y C1e x C2e 4x x

(8)y 4y xcos x

解 微分方程的特征方程为

r2 4 0

高数第五版答案(同济)(12章)

其根为r 2i 故对应的齐次方程的通解为

Y C1cos2x C2sin2x

因为f(x) xcos x e0x(x cos x 0 sin x) i i不是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* (Ax B)cos x (Cx D)sin x

代入原方程得

(3Ax 3B 2C)cos x (3Cx 2A 3D)sin x xcos x 比较系数得A 1 B 0 C 0 D 2 从而y* 1xcosx 2sinx 3399

1

329 因此 原方程的通解为 y C1cos2x C2sinx xcosx sinx

(9)y y ex cos x

解 微分方程的特征方程为

r2 1 0

其根为r i 故对应的齐次方程的通解为

Y C1cos x C2sin x

因为f(x) f1(x) f2(x) 其中f1(x) ex f2(x) cos x 而

方程y y ex具有Aex形式的特解

方程y y cos x具有x(Bcos x Csin x)形式的特解

故原方程的特解设为

y* Aex x(Bcos x Csin x)

代入原方程得

2Aex 2Ccos x 2Bsin x ex cos x 比较系数得A 1 B 0 C 1 从而y* 1ex xsinx 2222

1

2x2 因此 原方程的通解为 y C1cosx C2sinx ex sinx

(10)y y sin2x

解 微分方程的特征方程为

r2 1 0

其根为r1 1 r2 1 故对应的齐次方程的通解为

Y C1e x C2ex

因为f(x) sin2x cos2x 而

方程y y 11221的特解为常数A 2

高数第五版答案(同济)(12章)

方程y y cos2x具有Bcos2x Csin2x形式的特解

故原方程的特解设为

y* A+Bcos2x Csin2x

代入原方程得

A 5Bcos2x 5Csin2x cos2x 比较系数得A B 1211221

21 C 0 从而y* 1 1cos2x 10210

1cos2x 1 102 因此 原方程的通解为 y C1e x C2ex

2 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解

(1)y y sin x 0 y|x 1 y |x 1

解 微分方程的特征方程为

r2 1 0

其根为r i 故对应的齐次方程的通解为

Y C1cos x C2sin x

因为f(x) sin2x e0x(0 cos2x sin2x) i i是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* Acos2x Bsin2x

代入原方程得

3Acos 2x 3Bsin2x sin2x

解得A 0 B 1 从而y* 1sin2x 33

1

3 因此 原方程的通解为 y C1cosx C2sinx sin2x

由y|x 1 y |x 1得C1 1 C2

故满足初始条件的特解为

y cosx sinx sin2x

(2)y 3y 2y 5 y|x 0 1 y |x 0 2

解 微分方程的特征方程为

r2 3r+2=0

其根为r1 1 r2 2 故对应的齐次方程的通解为

Y C1ex C2e2x 131313

高数第五版答案(同济)(12章)

容易看出y*

故原方程的通解为 5为非齐次方程的一个特解 2

5

2 y C1ex C2e2x

由y|x 0 1 y |x 0 2得

C1 C2 5 1 2 C1 2C2 2

7解之得C1 5 C2 因此满足初始条件的特解为 2

75 y 51ex e2x 22

33 6 (3)y 10y 9y e2x y|x 0 y |x 0 77

解 微分方程的特征方程为

r2 10r 9 0

其根为r1 1 r2 9 故对应的齐次方程的通解为

Y C1ex C2e9x

因为f(x) e2x 2不是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* Ae2x

代入原方程得

(4A 20A 9A)e2x e2x 解得A 从而y* e2x

因此 原方程的通解为 1717

1

7

33得C C 1 6 由y|x 0 y |x 0 12727 y C1ex C2e9x e2x

因此满足初始条件的特解为

y ex e9x e2x

(4)y y 4xex y|x 0 0 y |x 0 1

解 微分方程的特征方程为

r2 1 0

其根为r1 1 r2 1 故对应的齐次方程的通解为 121217

高数第五版答案(同济)(12章)

Y C1e x C2ex

因为f(x) 4xex 1是特征方程的单根

故原方程的特解设为

y* xex(Ax B)

代入原方程得

(4Ax 2A 2B)ex 4xex

比较系数得A 1 B 1 从而y* xex(x 1)

因此 原方程的通解为

y* C1e x C2ex xex(x 1)

由y|x 0 0 y |x 0 1得

C1 C2 0 C C 1 1 12

解之得C1 1 C2 1 因此满足初始条件的特解为

y e x ex xex(x 1)

(5)y 4y 5 y|x 0 1 y |x 0 0

解 微分方程的特征方程为

r2 4r 0

其根为r1 0 r2 4 故对应的齐次方程的通解为

Y C1 C2e4x

因为f(x) 5 5e0 x 0是特征方程的单根

故原方程的特解设为

y* Ax

代入原方程得

4A 5 A 从而y* x

因此 原方程的通解为

y C1 C2e4x x

由y|x 0 1 y |x 0 0得C1

因此满足初始条件的特解为

y 54545411 C 5 2161611 5e4x 5x 16164

3 大炮以仰角 、初速度v0发射炮弹 若不计空气阻力 求弹道曲线

解 取炮口为原点 炮弹前进的水平方向为x轴 铅直向上为y轴 弹道运动的微分方程为

高数第五版答案(同济)(12章)

d2y dt g dx 0 dt

且满足初始条件

y|t 0 0, y |t 0 v0sin x| 0, x| vcos t 0t 00

易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为

x v0cos t

1gt2 y vsin t 0 2

4 在R、L、C含源串联电路中 电动势为E的电源对电容器C充电 已知E 20V C 0 2 F(微法) L 0 1H(亨) R 1000 试求合上开关K后电流i(t)及电压uc(t) 解 (1)列方程 由回路定律可知

R C uc uc E L C uc

即 ucRu 1u E LcLCcLC

且当t 0时 u c 0 uc 0

已知R 1000 L 0.1H C 0 2 F 故

R 1000 104 L0.1

1 17 5 10LC0.1 0.2 10 6

E 5 107E 5 107 20 109 LC

104uc 5 107uc 109 因此微分方程为uc

(2)解方程 微分方程的特征方程为r2 104r 5 107 0

其根为r 1 2 5 103 5 103i 因此对应的齐次方程的通解为

uc e 5 10t[C1cos(5 103)t C2sin(5 103)t]

由观察法易知y* 20为非齐次方程的一个特解

因此非齐次方程的通解为

uc e 5 10t[C1cos(5 103)t C2sin(5 103)t] 20

由t 0时 u c 0 uc 0 得C1 20 C2 20 因此

uc 20 20e 5 10t[cos(5 103)t sin(5 103)t](V) 333

高数第五版答案(同济)(12章)

0.2 10 6uc 4 10 2e 5 10tsin(5 103t)](A) i(t) Cuc

5 一链条悬挂在一钉子上 起动时一端离开钉子8m另一端离开钉子12m 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间

(1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力

解 设在时刻t时 链条上较长的一段垂下xm 且设链条的密度为 则向下拉链条下滑的作用力

F x g (20 x) g 2 g(x 10)

由牛顿第二定律 有

20 x 2 g(x 10) 即x

微分方程的特征方程为 3gx g 10

g r2 0 10

其根为r1 gg r2 故对应的齐次方程的通解为 1010

ggtt10 Ce10 2 x C1e

由观察法易知x* 10为非齐次方程的一个特解 故通解为

x C1e ggtt10 Ce10 10 2

由x(0) 12及x (0) 0得C1 C2 1 因此特解为

x e ggtt10 e10 10.

tt10 e10 当x=20 即链条完全滑下来时有e

解之得所需时间

t 10 ln(5 )s. g

(2)若摩擦力为1m长的链条的重量

解 此时向下拉链条的作用力变为

F x g (20 x) g 1 g 2 gx 21 g

由牛顿第二定律 有

20 x 2 gx 21 g 即x

微分方程的通解为 gx 1.05g 10

高数第五版答案(同济)(12章)

x C1e ggtt10 Ce10 10.5 2 由x(0) 12及x (0) 0得C1 C2 3 因此特解为 4

ggtt10 e10) 9.5 3 x (e4tt e) 10.5 3 当x=20 即链条完全滑下来时有(e4

解之得所需时间

t 19 4)s. g33

xx 6 设函数 (x)连续 且满足 (x) e t (t)dt x (t)dt 00x

求 (x)

解 等式两边对x求导得

(x) ex (t)dt 0x

再求导得微分方程

(x) ex (x) 即 (x) (x) ex 微分方程的特征方程为

r2 1 0

其根为r1 2 i 故对应的齐次方程的通解为 C1cos x C2sin x

易知 * ex是非齐次方程的一个特解 故非齐次方程的通解为

12 C1cosx C2sinx 1ex 2

1 2 由所给等式知 (0)=1 (0) 1 由此得C1 C2

因此

1(cosx sinx ex) 2