层次分析法在城市空气质量评价中的应用

层次分析法在城市空气质量评价中的应用

摘要：进入80 年代以来，随着经济的发展，人口的增多，不仅发生了区域性的环境污染和大规模的生态破坏，而且出现了温室效应、臭氧层破坏、酸雨、物种灭绝、土地沙漠化、森林锐减等大范围的和全球性环境危机，尤其是我们居住的许多城市也都陆续发生了各种环境问题，给人们的健康和生活带来了严重的影响。本文通过对几个典型城市的空气质量指标的数据进行分析，运用层次分析模型，对城市空气质量的具体数据进行分析，最后给出目标城市空气质量分析的结果。

关键词：城市空气质量 层次分析法 Saaty标度

1. 引言

随着科技的发展，工业的进步和全球人口急剧增多的因素的影响，人们赖以生存的环境遭到了很大的破坏，很多地区相继出现了酸雨、物种灭绝、土地沙化等环境问题，环境问题已经成为当今世界各国普遍关注的问题之一，也是21 世纪人类面临的重大挑战。

我国是一个人口大国，城市众多，人口密集。但由于工业的发展，我们的很多城市都受到了不同程度的污染，尤其是空气的污染，直接对我们造成伤害。空气中的污染物主要是可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮等物质，我们通过已知的不同城市的不同数据，运用层次分析法可以对不同城市的综合空气质量进行统计和比较。

2. 层次分析法 2.1方法介绍

层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20 世纪70 年代中期由美国运筹学家匹兹堡大学托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的多属性决策分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。层次分析法有其深刻的数学原理，但它更是一种决策思维方式，体现了在思维过程中的分解、判断、综合的基本特征。

2.2层次分析法的基本步骤

1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。

2、构造两两比较判断矩阵。从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和Saaty标度构造判断矩阵，直到最下层。

表1 两两比较的Saaty标度

3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构造判断矩阵。

4、计算组合权向量并做组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的两两比较判断矩阵。

3. 模型的假设与说明 3.1数据来源

表2 我国5个主要城市的空气指数（数据来源：国家统计局2009年数据）

表3 国家空气质量标准（毫克/立方米 天）

3.2 模型假设与说明 3.2.1 模型假设

1、表1为我国五个主要城市北京、上海、沈阳、南京、重庆的空气指数，数据取自国家统计局，具有使用价值。

2、表4是对照国家空气质量标准，判断城市污染情况。

表4 城市污染情况

3.2.2 符号说明

Z—目标；P—污染因素；C—排序城市；P1—可吸入颗粒(PM10)；P2—二氧化硫(SO2)；P3—二氧化氮(NO2)；P4—空气质量达到及好于二级的天数；P5—二氧化硫排放量；C1—北京；C2—上海；C3—沈阳C4—南京；C5—重庆。

3.2.3 一致性检验方法

1、由列和法计算权向量。即对每一列进行归一化，然后各列归一化后的判断矩阵按行相加，也就是采用这n列向量的算术平均值作为权向量。可用公式：

n

1n

wi (aij/ akj)

nj 1k 1

2、为了检验一致性，必须计算矩阵的最大特征根 max。根据求出的W，可用公式：

n

max

i 1

(AW)i

nWi

求得。式中(AW)i表示向量AW的第i个分量。

3、由一致性指标CI(Consistence Index)：

CI

max n

n 1

当 max=n时，CI=0，此时判断矩阵具有完全一致性。但一般情况下， max>n，随着 max变大，矩阵的一致性越来越差。另外，由于

[aij]n n

中，当维数n越大

越容易出现不一致，为此还需要查找所给同阶矩阵的随机指标RI(Random Index)，其值的大小与矩阵维数大小有关，见表：

表5 RI与n的关系

stence Rate)，即

CR

CIRI

来判断矩阵A的一致性能否被接受。若CR 0.1，说明A中各元素

aij

估计的估

一致性太差，应对判断矩阵作适当调整，重新估计。若CR 0.1，可认为

aij

计基本一致。这时就可以用式AW= maxW求得W作为n个目标（因素）的权重。

4. 模型建立与求解

4.1明确问题建立层次结构

将研究目标（Z）、因素（P）、对象（C）按相关关系分成目标层Z、准则层P、对象层C。层次结构图如图1 所示：

图1 层次结构图

4.2构造判断矩阵及一致性检验

对于方案间和指标间的两两比较，共可建立六个判断矩阵。

1、第二层各属性相对于上一层总目标Z建立判断矩阵P（表6），表示P1、P2、P3、P4、P5 在空气污染中的重要程度。并作一致性检验。

表6 P—C

max=5.015881 CI=0.00397 RI=1.12 CR=0.003545

因为CR =0.003545<0.1，所以此排序有满意的一致性，这就是说W可以真正反映P：{P1，P2，P3 ，P4，P5}在目标Z中所占的比重。

2、对象层对准则层的各个因素的判断矩阵并进行分析。

由于各个城市只存在污染程度的不同，所以根据表4之间各因素之间的关系，给出了对象层C：{C1，C2，C3，C4，C5}对于准则曾P：{P1，P2，P3，P4，P5}各个因素的判断矩阵（表7-11），并通过计算，显示出了对P1，P2，P3，P4，P5的权重。结果如下，从结果中可以清楚地看到这三因素的排序都有满意的一致性，真正的反映了C在P1，P2，P3，P4，P5中所占的比重。

表7 P1—C

做与表6相同的计算得： max = 5 CI = 0 RI =1.12 CR = 0

做与表6相同的计算得：

max= 5 CI = 0 RI =1.12 CR = 0

表9 P3—C

做与表6相同的计算得：

max= 5 CI = 0 RI =1.12 CR = 0

表10 P4—C

做与表6相同的计算得：

max= 5 CI = 0 RI =1.12 CR = 0

表11 P5—C

做与表6相同的计算得：

max= 5 CI = 0 RI =1.12 CR = 0

4.3进行层次总排序

即C 层对目标Z 的总排序。将P—C 所得到的三个经过单位化的特征向作为列向量构成5×5矩阵，和由P对目标Z 的权量构成的5×1 矩阵做乘法，结果即是有5个城市的空气污染严重程度的权重向量（表12），那么数值较大的数所对应的城市空气污染程度就比较严重。

表12

城市的空气污染程度的权重问题

CR = 0.449598×0+0.129886×0+0.231466×0+0.06665×0+0.1224×0=0<<0.1

此结果说明排序结有非常满意的一致性。

4.4 结果分析

从模型层次总排序的结果， 可以很清楚地看到C 对目标函数Z 的权重C3>C1>C5>C4>C2。那么C1—C5 所对应的城市的空气污染程度也有同样的排序，由此就得到了5 个城市的污染严重程度排序。结果如下：

(1)沈阳； (2)北京； (3)重庆； (4)南京； (5)上海。

这个模型的结论从另一个侧面反映了所给的原始数据所代表的实际情况，结论显示沈阳的空气污染程度在5个城市里最为严重。对于沈阳从实际出发，沈阳是辽宁的省会，人口密集，交通拥挤，工业规模较大，物流高度集中，使得空气污染日益加剧，政府应该采取一些措施来治理空气污染。

参考文献

[1] 杨保安，张科静.《多目标决策分析》，上海：华东大学出版社，2008.05。 [2] 沈继红，施久玉，高振滨，张晓威.《数学建模》，哈尔滨：哈尔滨大学出版社，2007.11。

[3] 姜启源，谢金星，叶俊.《数学建模（第三版）》[M]，北京：高等教育出版社，2003.08。

[4] 李志林，欧宜贵.《数学建模及典型案例分析》[M]，北京：化学工业出版社，2006.12。