数学建模期末考试重点

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数学建模：

一、选择题（5*3’=15’）： 1.Matlab基本知识； 2.数组点乘、点除：

设：a=[a1,a2,…,an], c=标量

则：a.*c=[a1*c,a2*c,…,an*c]（点乘） a./c= [a1/c,a2/c,…,an/c](右除） a.\c= [c/a1,c/a2,…,c/an] (左除） 3.重积分：（P9）

在Matlab中可以使用int()函数求解积分问题，其调用的具体格式为int(fun,x,a,b) 其中x为积分变量，a,b分别是积分下限和积分上限.当a,b去取成或inf时，可以计算无穷限非正常积分.对多元函数的重积分，可先经过数学处理将重积分转化为多次积分，每次积分针对积分变量调用int（）函数处理。 矩阵的鞍点：（P80） 二、填空题（15’）：

1.第一章中Matlab基本知识；

2.产生5阶随机矩阵：R=rand（m,n） 产生6阶单位阵：E=eye（m,n） 3.多项式的根：（P58）当f(x)为多项式时可用： r=roots(c)输入多项式系数c（按降幂排列），输出r为f(x)=0的全部根； c=poly(r) 输入f(x)=0的全部根r,输出c为多项式系数（按降幂排列）； df=polyder(c) 输入多项式系数c（按降幂排列），输出df为多项式的微分系数 例 求解 x3-x+1=0

例 求解 x2-ax+b=0 解 输入

s=‘x^2-a*x+b’; x=solve(s,’x’) 可得 x=

[1/2*a+1/2*(a^2-4*b)^(1/

2)]

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[1/2*a-1/2*(a^2-4*b)^(1/2)]

例 求非线形方程组 X=asin(x)+bcos(y) Y=ccos(x)+dsin(y)

先建立m文件myfun.m

function q=myfun(p,a,b,c,d) x=p(1); y=p(2);

q(1)=-x+a*sin(x)+b*cos(y); q(2)=-y+c*cos(x)+d*sin(y); 然后输入

a=0.6;b=0.3;c=0.6;d=-0.3;

x0=[0.5,0.5]’; %初始值 [x,fv]=fsolve(@myfun,x0,[],a,b,c,d) 或

opt=optimset(‘MaxIter’,2);

[x,fv,ef,out,jac]=fsolve(@myfun,x0,opt,a,b,c,d)

4.差分方程的解：（P157） 一阶常系数线性差分方程

yn 1 ayn f(n)(a 0)

迭代法：

(8.3)

yn 1 ayn 0

(8.4)

设y0已知，将n 0,1,2,3 依次代入yn 1 ayn中，得

y1 ay0,y2 ay1 a2y0,y3 ay2 a3y0,

yn ay0(n 0,1,2,3 )yn any0

n

一般地，

容易验证：

满足差分方程，因此是差分方程的解.这个解法称为迭代法. 一般解法：

~若yn是（8.3）的一个特解 Yn yn ~yn

，令

*

yn ~yn AYnyn AYn

是（8.4）的通解 （8.3）的通解为

*

yn Aan

（A为任意常数）是（8.4）的通解

一阶常系数线性非齐次差分方程

f(n) c const,yn 1

ayn C

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迭代法：

设给定初值y0 y1 ay0 c

y2 ag1 c a2y0 c(1 a)

y3 ay2 c a3y0 c(1 a1 a2)

yn any0 c(1 a an 1)

n

当a 1时，1 a an 1

n

1 ac ncn1 a y ay c y a n0 1 a 01 a 1 a 1 a，

当a 1时，1 a an 1

一般解法：

n，yn y0 cn

n 0,1,2,3

s~ss

y kn设（8.5）具有n形式的特解,从而 k(n 1) akn c

k ak

当a 1时

,

~

yn

c

1 a

*yn Aan

k

当a 1时

二阶常系数线性差分方程

~yn

*y A

c

yn Aan

1 a

yn cn A

二阶常系数线性齐次差分方程

n

yn 2 ayn 1 byn 0

22

a a 4b a a 4bYn ( 0)2, 2

a b 0 1 22 nn a*

y C C 22122

a2 4b 0 n11a 4b 02 ； ，

a2 4b 0

a1

4b a2 i

22a1 2 i4b a2 i

22

1 i

1

a,

2其中

4b a2

2

1 r(cos isin ) 2 r(cos isin )

4b a2

r b,tg

1 n

yn 1 rn cosn isinn

2

2

二阶常系数线性非齐次差分方程

*yn rn(C1cosn C2sinn )

yn

2

2 rn cosn isinn

n

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yn 2 ayn 1 byn C

~s

s

k(n 2) ak(

n

1)s bkns c

c

ck

1 a b~yn

1 a b

~k

c

2 aycnn

2 ak

c~2

y 1 2n2

cn

通解：y

n 2cn(2) 2cn(n 1)

f(n) cq（n

c,q 1均为常数）yn 2 ayn 1 byn cqn knsqn

特解

~yn

q2 aq b 0

n cqnq2

aq b

2ny cnq

1

n

2q a

cn2qn 1c2n 2

n 4q a 2nq

f(n) cnk

(c const)

yn 2 ayn 1 byn cnk

ys

(BB2

k

特解

~n n0 B1n 2n Bkn)

1 a b 0，取s 01 a b 0,且a 2,

取s 11 a b 0,且a 2,取s 2

5.微分方程的解：（P45&P55）欧拉方法、龙格库塔方法 三、综合题（70’）：

1.M文件的编写：脚本 y=f(x) Eg:1).编写y=n2+2m2 2).a. ; b.

]

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2.画图:(P10)

1).plot(x,y): 调用格式：plot(X,Y,S)

plot(Y)－－以元素序号为横坐标，绘制折线图（演示）

plot(X,Y)－－y和x为同维向量，则以x为横坐标，y为纵坐标绘制实线图 plot (X,Y1,S1,X,Y2,S2,……,X,Yn,Sn)－－同时将多条线画在一起 2).ezplot:

MATLAB提供了一个ezplot函数绘制隐函数图形，下面介绍其用法。 (1) 对于函数f = f(x)，ezplot函数的调用格式为： ezplot(f)：在默认区间-2π<x<2π绘制f = f(x)的图形。 ezplot(f, [a,b])：在区间a<x<b绘制f = f(x)的图形。 (2) 对于隐函数f = f(x,y)，ezplot函数的调用格式为：

ezplot(f)：在默认区间-2π<x<2π和-2π<y<2π绘制f(x,y) = 0的图形。 ezplot(f, [xmin,xmax,ymin,ymax])：

在区间xmin<x<xmax和ymin<y<ymax绘制f(x,y) = 0的图形。 ezplot(f, [a,b])：在区间a<x<b和a<y< b绘制f(x,y) = 0的图形。 (3) 对于参数方程x = x(t)和y = y(t)，ezplot函数的调用格式为： ezplot (x,y)：在默认区间0<t<2π绘制x=x(t)和y=y(t)的图形。

ezplot(x,y, [tmin,tmax])：在区间tmin < t < tmax绘制x=x(t)和y=y(t)的图形。 3).subplot:

可以在同一个画面上建立几个坐标系,用subplot 命令 subplot函数的调用格式为：subplot(m,n,p)

把一个画面分割成m*n个图形区域，p代表当前的区域号，再每个区域中分别画一个图。

3.数据处理（检验）:(P103) 1).方差已知，ztest 2).方差未知，ttest t检验应用条件：

1、当样本量较小时，理论上要求样本为来自正态总体的随机样本；

2、当两小样本均数比较时，要求两总体方差相等（方差齐性：即σ12 = σ22 ） 检验的基本步骤： （一）建立假设

其中μ0为样本所在总体均值.

t 值.

H0: 0;HA: 0

单样本t检验

其中，n为样本标准误.

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h=ttest(x,x0,alpha)

[h,sig,ci]=ttest(x,x0,alpha,tail)

输入：x为给定数据，x0为总体均数,α为检验水平，通常为0.05，0.01,默认时为0.05, tail取0, 1, -1分别表示备择假设为均值不等于，不大于，不小于x0.（注意 此时 的零假设）(缺省时为0）.

输出：h=0,不拒绝H0; h=1,拒绝H0; sig为与t统计量有关的p值，ci为均值真值的1-alpha置信区间. 两样本均数的t检验

对两个独立同方差（方差未知）正态总体的样本均值差异进行t检验

H0: 1 2;HA: 1 2

建立假设；

Matlab实现: 两样本t检验 函数：ttest2；调用格式： h=ttest2(x,y)

[h,significance,ci]=ttest2(x,y,alpha)

[h,significance,ci]= ttest2(x,y,alpha,tail) 输入：x，y为给定数据, tail取0, 1, -1分别表示备择假设为μx≠ μy , μx≤ μy , μx≥μy .

输出：h=0,不拒绝H0; h=1,拒绝H0;sig为P值；ci为置信区间.

4.微分方程数值解：【编程、绘图】(P45) 1).向前欧拉公式：

而y(xn 1) yn 1,y(xn) yn，故上式可写成：

yn 1 yn hf(xn,yn),

(3)式即为向前欧拉公式。

n=0,1,… (3)

2).改进欧拉公式：

为简化计算，且能提高精度，将梯形公式中的迭代过程简化为两步：

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在matlab中编制如下的函数文件gjeuler.m将其实现． function [x,y]= gjeuler(fun,x0,xf,y0,h) n=fix((xf-x0)/h); y(1)=y0; x(1)=x0;

x(n)=0; y(n)=0; for i=1:(n-1) x(i+1)=x0+i*h;

y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y(i)); y(i+1)=(y1+y2)/2; end

例 应用改进的欧拉方法求 首先建立函数文件fun.m: function f=fun(x,y) f=-y+x+1;

然后在主程序中输入： [x,y]=gjeuler('fun',0,1,1,0.1)即可．

3).龙格—库塔方法：

龙格－库塔方法的基本思想就是：在[xn,xn+1]内多取几个点，将它们的导数加权后代替f（x,y(x)），设法构造出精度更高的计算公式。

高阶微分方程需要先降阶为一阶微分方程组：

'

y y2 1y'' f(x,y,y'') ' y2 f(x1,y1,y2)y2 y1'

y' y x 1,y(0) 1

y1

y

解析解

desolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...,’x’)

求常微分方程（组）的解析解。

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例3 计算 y’=y+2x , y(0)=1,

解：1、建立m-文件fun1.m如下： function dot1=fun1(x,y); 2、取t0=0，tf=1，输入命令

[x,y]=ode23('fun1',0,1,1,0) dot1=y+2*x;

注：

1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成，返回的值应为列向量。

2、使用Matlab求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.

2、取t0=0，tf=20，输入命令：

1、建立m-文件vdp1.m如下： function dy=vdp1 (t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2);

dy(2)=(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 5.优化问题：【线性规划】(P129)

用MATLAB优化工具箱解线性规划:

1、模型：min z=cX

s.t.AX b

[t,y]=ode23('vdp1',[0 20],[1 0]); y1=y(:,1);y2=y(:,2);

plot(t,y1,t,y2,'--');

title('Van Der Pol Solution '); xlabel('Time,Second'); ylabel('y(1)andy(2)')

命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：min z=cX

s.t.AX b

Aeq X beq

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）

AX b存在，则令A=[ ]，b=[ ].注意：若没有不等式：

3、模型：min z=cX

s.t.AX b

Aeq X beq

VLB≤X≤VUB

命令：[1] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） [2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0）

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lambda~lagqange乘子，其维数等于约束条件个数， 非零向量对应于起作用约束

lambda ineqlin lambda eqlin lambda upper

lambda lower

等式约束Ax=b下的Lagrange乘子法

解二次规划的有效集方法

1、Matlab求解二次规划（QP）

标准型为：

1XTHX+cTX

2

s.t. AX<=b Aeq X beq

用MATLAB软件求解,其输入格式如下: 1. x=quadprog(H,C,A,b);

2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);

3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);

5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); 6. [x,fval]=quaprog(...);

7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...);

8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...); 2、一般非线性规划

VLB≤X≤VUB

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其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步： 1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(X);

0或Ceq(X)=0,2. 若约束条件中有非线性约束:G(X)

则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X): function [G,Ceq]=nonlcon(X) G=... Ceq=...

标准型为：

min F(X)

s.t AX<=b G(X) Ceq(X)=0 VLBXVUB

3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)

(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options) (6) [x,fval]= fmincon(...)

(7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...)

(8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...) 6.拟合：(P100)

多项式拟合、线性拟合、输出函数：ployfit 例：求y=aebx时，Iny=Ina+bx,Iny与x成线性 x=[……]；y=[]；z= Iny；c=ployfit(x,z,1) 则a=ec(1),b=c(2) 7.层次分析：(P66)

成对比较矩阵，看出哪个因素最重要