数字图像处理中的数学问题初探

毕 业 设 计（论 文）

题 目： 数字图像处理中的数学问题初探

目 录

摘 要 02

引 言 03

一、已有知识 03

二、所得结果 08

致谢 13

参考文献 13

ABSTRACT 14

英文文献翻译 15

数字图像处理中的数学问题初探

吕娟

数学与应用数学（师范）专业 06080210

南京师范大学数学科学学院

摘 要

本课题介绍了数字图像处理的概念以及数字图像处理中的一些基本的数学问题,主要包括:

平面上的变换（旋转、平移、伸缩变换等）,Matlab在数字图像处理（图像文件的读写与显

示操作,图像变换,图像增强等）中的应用.

关键词: 数字图像处理 MATLAB 平面上的变换

论文正文

引 言

随着科学技术的不断发展,数字图像处理也在不断发展,人们对数字图像处理

的要求也在不断增加,图像的应用范围也在不断地扩大,因此图像处理的理论也

需要不断地补充和发展.本课题旨在研究数字图像中的一些基本的数学问题,能

够更好地把所学的数学知识应用于一些实际问题,达到学以致用的目的. 一、已有知识

（一）、数字图像处理简介

1、数字图像处理的概念

数字图像处理又称计算机图像处理,它是指利用数字计算机或者其他数字硬件,对

从图像信息转换而得到的数字电信号进行某些数学运算或处理,以期提高图像的

质量或达到人们所预期的结果.

2、数字图像处理的特点

数字图像处理再现性好,处理精度高, 适用面宽,灵活性高,数字图像中的各个像素

相关性较大.但是数字图像处理处理信息量大,占用频带较宽,因此对计算机的计

算速度等要求较高.

3、数字图像处理的主要研究内容

（1）图像变换:采用多种图像变换的方法,如傅里叶变换,离散余弦变换等间接处

理技术,将处理空间域转换成处理变换域,一方面可以减少总体的计算量,另一方

面,可以更有效地处理图像,从而达到预期.目前研究比较多的小波变换,在图像处

理中有着较为广泛的应用.

（2）图像编码与压缩:图像编码与压缩技术可以减少描述数据的数据量,以达到

减少占用的贮存空间的目的.编码则是图像压缩中的最为重要的方法,它是数字图

像处理技术中发展比较早并且比较成熟的一项技术.

（3）图像增强与复原:图像增强与复原是为了提高图像的质量,抗干扰.图像增强

是突出图像中感兴趣的部分,但不考虑图像降质的原因,而图像复原则要求对图像

降质原因有一定的了解.

（4）图像分割:图像分割主要是将图像中的有意义的特征提取出来,为进一步研

究图形奠定基础.目前虽然已经找出了一些方法,但是还是没有找到一种适用于任

何一种图像的方法.

（5）图像描述:图像描述是图像识别的前提.目前二值图像主要有边界描述和区

域描述两种方法.随着图像处理的不断发展,已经开始研究三维物体的描述方法

了.

（6）图像识别:图像识别主要是提取图像中的信息进行判别.近年来,在图像识别

中人们越来越重视刚发展起来的模糊模式和人工神经网络模式.

4、数字图像处理的应用 在日常生活中,数字图像处理已经得到了广泛应用.例如:交通管理中车牌的识别,

自动售货机钞票的识别.在日常通信中,图像传输、电视电话、电视会议等都运用

了数字图像处理技术.随着数字图像处理技术的进一步发展,它已经被广泛应用在

在航空航天、生物医学工程、工业检测、机器人视觉、公安司法、军事制导、文

化艺术等领域.

（二）、平面上的变换

给定一个二阶矩阵,就相应的确定了一个变换.反过来,平面中的常见变换也

可以用矩阵来表示.下面本文将来介绍几种在数字图像处理中常见的平面图形的

几何变换及其矩阵表示.

1、平移变换

由一个图形变化成另一个图形,在变

化过程中,原来的图形上的所有的点都沿

着同一个方向运动,且运动相等的距离,这

样的图形变化叫做图形的平移变换,简称

为平移.平移变换不改变图形的形状、大小

和方向;连结对应点的线段平行且相等. A

2、伸压变换 图1

沿竖直方向或者水平方向伸长或者压缩的平面图形变换称为垂直伸压变换,

m0 简称为伸压变换.当M= m R,m 1 时,M对应的变换将平面图形作沿着01 1

x轴方向伸长或压缩.当m 1时伸长,当0 m 1时压缩.M对应的变换不是简单

1 单墫.矩阵与变换.江苏教育出版社

.

地把平面上的点(向量) 沿x轴方向“向下”压或”向外”伸,它是向x轴方向伸

长或压缩.以0 m 1为例,对于x轴上方的点向下压缩,对于x轴下方的点向上

10 压缩,对于x轴上的点变换前后原地不动．当M= m R,m 1 时,M对应的0m

变换将平面图形作沿着y轴方向伸长或压缩.当m 1时伸长,当0 m 1时压缩.

经过伸压变换以后,直线仍然变为直线,线段仍然变为线段.

3、旋转

cos 矩阵 sin sin cos 通常叫

转角.点A是由旋转中心和旋转角度决定的.

2D'图3 单墫.矩阵与变换.江苏教育出版社.

（三）、MATLAB在数字图像处理中的应用

下面就先介绍下MATLAB的大致情况.

1、MATLAB的概况 MATLAB的名称源自Matrix Laboratory,是由美国MathWorks公司开发的应

用于数值计算和图形处理的软件.它是一种科学计算软件,专门以矩阵的形式处

理数据. MATLAB非常适合做矩阵运算,这也是它的最大特点之一.目前MATLAB被

广泛地应用于科学研究、工程技术应用研究、CAI(Computer Aided Instruct)、

数学实验、数学建模等领域,适合多学科,功能非常强大.同时,它也是很多高级课

程的基本教学工具.MATLAB拥有许多功能各异的工具箱,用于解决各个领域的专

业问题.它的工具箱主要包括图像处理、信号处理、通信、统计、最优化、控制

系统、非线性控制设计等.因而,用户可以借助这些工具箱,简单方便的进行分析、

计算与设计工作.同时,MATLAB语法比较简单,只用一两个函数就可以代替C语言

里需要几十行甚至上百行的语句,并且使用者也不需要重复去编程,只需要简单

地调用和使用,因此,相对来说,MATLAB又简单易学,容易掌握.

（1）、MATLAB的图像处理工具箱简介

MATLAB的图像处理工具箱函数包括以下15类.按其功能可分为: 图像显

4图像线性滤波以及二维线性滤示; 图像文件输入与输出; 图像的几何操作;○

5图像变换;○6图像邻域及块操作;○7二进制图像操作;○8区域处理;○9波器设计;○

10颜色空间转换等.MATLAB图像处理工具箱支持的四种基本图像颜色映像处理;○

处理类型包括:二值图像、RGB图像、索引图像、灰度图像.MATLAB的图像处理工

具箱功能十分强大,支持非常丰富的图像处理格式,如*.BMP、*.JEPG、*.GIF、

*.TIFF、*.PCX、*.HDF、*.XWD、*.PNG等.

（2）、MATLAB的主要功能

MATLAB主要功能有:（1）数值计算:可以进行任意精度的数值计算;（2）符

号计算:可以进行解析推理;（3）可视计算:丰富的图像图形显示;（4）GUI编程:

图形用户界面化;（5）多媒体:灵活的多媒体文件处理功能.

（3）、MATLAB的主要特点

1）运算符和库函数极其丰富,语言简洁,编程效率高.

2）图形功能强大 .

3）拥有功能强大的工具箱.

4）比较容易扩充.

下面将结合一些例子来介绍利用MATLAB图像处理工具箱进行图像处理的方

法.

2、MATLAB在数字图像中的应用

（1）数字图像的读取

在MATLAB中利用函数imread将图形图像读成一个矩阵的形式.其主要格式

如下:A=imread(‘filename,FMT’) ;其中,filename 是一个含有图像文件全名

的字符串,指定图像文件的完整路径和文件名.如果在work工作目录下只需要提

供文件名.FMT为图像文件的格式对应的扩展名.

例如:I=imread(‘E:\11\11.jpg’);%读入图像

（2）数字图像的显示

在MATLAB中主要利用函数imshow来实现数字图像的显示,主要有以下三种

形式:

imshow(I, G)

I为要显示的图像矩阵.G表示显示该图像的灰度级数,如果将G省略,则默认

灰度级数为256.

imshow(I,[low high])

I为要显示的图像矩阵.[low high]指定显示灰度图像的灰度范围.高于high

的像素被显示为白色;低于low的像素被显示为黑色;介于High和low之间的像

素被按照比例拉伸后显示为各种等级的灰色.例如:imshow(10）;title(‘The

Main Pass Part of 11’);

imshow(I,[])

可以将变量low设置成数组f的最小值,将变量high设置成数组f的最大值.

该函数常用来显示动态范围较小的图像.

若需要显示多个图像,就可以在命令窗口加figure函数;需要注意的是只要

用逗号或分号正确地分隔开不同的命令,一行中就可以写好几条命令.例

如:imshow(J),figure,imshow(K).也可以用subplot命令来实现多幅图像的显

示.例如:figure;subplot(i,j,k);imshow(I);其中subplot(i,j,k)含义是:打

开一个有i行j列图像位置的窗口,并将焦点位于第k个位置上.

（3）数字图像的保存

图像的保存一般使用函数imwrite

，其主要形式

为:imwrite(f,'filename’),其中,Filename必须包含文件的扩展名.例

如:imwrite (I, ‘12.jpg’);将数组I存放到文件名为12的图中.

二、所得结果

（一）、图像的平移

不妨设原始图像对应矩阵为 aij ,平移后

的图像相对应的矩阵为 bij .那么平移前后图

像对应的矩阵有以下的关系:

ai m,j n,(0 i m i,0 j n j),其bij = 0,(i m 0,j n 0)

中,0 m i,0 n j.

例如:

function B=translation(A,m,n)

m1=length(A(:,1));

n1=length(A(1,:));

B=zeros(m1+m,n1+n);

for i=1:m1

for j=1:n1

B(m+i,n+j)=A(i,j);

end

end

clear

A=imread('E:\11\11.jpg');

m=70;n=80;

B(:,:,1)=translation( A(:,:,1),m,n);

B(:,:,2)= translation( A(:,:,2),m,n);

B(:,:,3)= translation( A(:,:,3),m,n);

B=uint8(B);figure;imshow(B);

imwrite(B,'nir平移后图像.JPG')

m=length(A(:,1));

n=length(A(1,:));

M=max(m,n);

B1=zeros(2*M+2,2*M+2);

for i=1:m

for j=1:n

i1=i*cos(sita)+j*sin(sita);

j1=i*(-sin(sita))+j*cos(sita);

B1(1+M+round(i1),1+M+round(j1))=A(i,j);

end

end

B=B1(find(sum(B1')>0),find(sum(B1)>0));

clear

A=imread('E:\11\11.jpg');

m=3;n=2;sita=-pi/2;

B(:,:,1)=spin( A(:,:,1),sita);

B(:,:,2)= spin( A(:,:,2),sita);

B(:,:,3)= spin( A(:,:,3),sita);

B=uint8(B);

figure;

imshow(B);

imwrite(B,'nir旋转后图像.jpg')

A 原始图像 B旋转后图像

（三）、图像转置

不妨设原始图像对应矩阵为 aij ,平移后的图像相对应的矩阵为 bij .那么转

置前后图像对应的矩阵有以下的关系: bij aij . T

例如:用程序实现图像转置如下:

A=imread('E:\11\11.JPG');

B(:,:,1)= A(:,:,1)';

B(:,:,2)= A(:,:,2)';

B(:,:,3)= A(:,:,3)';

figure;imshow(A);

figure;imshow(B);imwrite(B,'nir转置后图像.JPG')

a原始图像 b转置后图像

（四）、图像的镜像

图像的镜像是指将原始图像相对于某一参照面旋转180°后得到的一幅新的

图像.不妨设原始图像对应矩阵为 aij s t ,发生变换后的图像相对应的矩阵为

bij s t .那么变换前后图像对应的矩阵有以下的关系:

水平镜像（相对于y轴） bij

垂直镜像（相对于x轴） bij

例如:用程序实现镜像如下:

垂直镜像:

function B=mirror_x(A)

B=[]

n=length(A(:,1));

for i=1:n

B=[B;A(n+1-i,:)];

end

A=imread('E:\11\11.jpg');

imshow(A);

B(:,:,1)=mirror_x( A(:,:,1));

B(:,:,2)=mirror_x( A(:,:,2));

B(:,:,3)=mirror_x( A(:,:,3));

B=uint8(B);

figure;

ai,t 1 j as 1 i,j

imshow(B);

imwrite(B,'nir垂直镜像.JPG')

水平镜像:

function B=mirror_y(A)

B=[]

n=length(A(1,:));

for i=1:n

B=[B A(:,n+1-i)]; end

A=imread('E:\11\11.jpg');

imshow(A);

B(:,:,1)=mirror_y( A(:,:,1));

B(:,:,2)=mirror_y( A(:,:,2));

B(:,:,3)=mirror_y( A(:,:,3));

B=uint8(B);

figure;

imshow(B);

imwrite(B,'nir水平镜像图像.JPG')

a 原始图像 b 水平镜像

C

垂直镜像

致 谢

本文从课题研究到论文完成是在朱建栋老师的指导下进行的.期间得到了朱

老师悉心的指导,宝贵的建议和热情的鼓励,在此谨向朱建栋老师致以诚挚的谢

意!同时也感谢大学四年里的老师们,他们的严谨治学使我受益匪浅;感谢同学们,

在论文写作过程中给予我的帮助.

参 考 文 献

【1】姚敏等.数字图像处理.机械工业出版社,2007. 【2】杨杰.数字图像处理及matlab实现.北京：电子工业出版社,2010.

【3】孟祥光,田萱,王丽丽.数字图像处理;Photoshop.北京:人民邮电出版

社,2010.

【4】贾永红.数字图像处理,第2版.武汉:武汉大学出版社,2010.

【5】阮秋琦.数字图像处理基础.北京:清华大学出版社,2009.

【6】张紫潇,史秀璋, 张群力.Photoshop设计与案例教程.北京:清华大学出版

社,2011.

【7】李了了,邓善熙.MATLAB 在图像处理技术方面的应用.

【8】董长虹.MATLAB 图像处理与应用.国防工业出版社,2004.

【9】何东健.数字图像处理.西安电子科技大学出版社,2003．

【10】图像处理中的数学问题（连载１）

（http:///home.php?mod=space&uid=81613&do=blog&id=25

3111）

【11】秦襄培,郑贤中.MATLAB图像处理宝典.北京:电子工业出版社,2011.

【12】李国朝.MATLAB基础及应用.北京:北京大学出版社,2011.

【13】伍家德.坐标系与坐标变换.湖北教育出版社,1985.

【14】单墫.矩阵与变换.江苏教育出版社.

【15】Rafael C.Gonzalez.数字图像处理.电子工业出版社.

【16】章毓晋.图像处理和分析[M].北京：清华大学出版社，1999.

【17】飞思科技.MATLAB6.5辅助图像处理.电子工业出版社，2003.

The mathematical problem of digital image

processing

LvJuan

06080210 Mathematics and Applied Mathematics,

School of Mathematical Sciences,Nanjing Normal University

ABSTRACT

This subject introduces the concept of digital image processing and some of the

basic math problems of digital image processing, mainly including::the transform in

the plane (such as the the rotation,telescopic, expansion or compression

transformation),the application of MATLAB in digital image processing (reading and

writing, display, image transformation,image enhancement ,edge detection etc) .

Key words: digital image processing MATLAB the transformation in the plane

THE FUNDAMENTAL THEOREM OF ALGEBRA VIA LINEAR ALGEBRA

KEITH CONRAD

Our goal is to use abstract linear algebra to prove the following result,which is called the

fundamental theorem of algebra.

Theorem 1.Any nonconstant polynomial with complex coefficients has a complex root.

We will prove this theorem by reformulating it in terms of eigenvectors of linear operators.

Let

f(z) zn an 1zn 1 a1z a0

00 0

00 0

10 0

00 0

00 1 a0 a1 a2 an 2 an 1 have degree n 1,with aj C.By induction on n,the matrix 0 1 0 A 0 0

satisfies det( In A) f( ).Therefore Theorem 1 is a consequence of

Theorem 2. For each n 1,every n n square matrix over C has an eigenvector.

Equivalently, for each n 1,every linear operator on an n-dimensional complex vector space

has an eigenvector.

Theorem 2 is also consequence of Theorem 1, so the two theorems are equivalent. In fact,the

implication Theorem 1 Theorem 2 is usually how one first meets the fundamental theorem of

algebra in a linear algebra course: it assures us that any complex square matrix has an eigenvector

because the characteristic polynomial of the matrix has a complex root.But here, we will prove

Theorem 2 without assuming Theorem 1, so we can deduce Theorem1 as a consequence of

Theorem 2. Our argument is a modification of a proof by H. Derksen[1]. It uses an interesting

induction. Our starting point is the following lemma.

Lemma 3. Fix an integer m 1and a field F. Suppose that, for every F-vector space

Vwhose dimension is not divisible by m, every linear operator on V has an eigenvector. Then

for every F-vector space V whose dimension is not divisible by m, any pair of commuting

linear operators on V has a common eigenvector.

The hypothesis of Lemma 3 is quite restrictive, so Lemma 3 does not apply in too many

examples. For instance, it does not apply for any m 1 when F Q. We will use Lemma3

when m is a power of 2. I know no worthwhile applications of Lemma 3 for other values of m.

Proof. We induct on the dimension d which runs through integers not divisible by m. The case

d 1 is trivial: any nonzero vector in a one-dimensional space is an eigenvector of any linear

operator on the space (any two such operators also commute).

Assume now that d 1 is not divisible by m and we have settled all dimensions less than

d which are not divisible by m. Let A1 and A2 be commuting linear operators on an

F-vector space V of dimension d. Since d is not divisible by n, the hypothesis of the

lemma tells us A1 has an eigenvalue in F, say . Let

U im(A1 IV),W ker(A1 IV).

Each of these subspaces of V is A1-stable (that is, u U A1(u) U,and

w W A1(w) W) ,and dimFW 1 since is an eigenvalue of A1.Each of Uand

W is also A2-stable since A1 and A2 commute. (For instance, ifu U, write

u A1(v) v. Then

A2(u) A2(A1(v)) A2( v) A1(A2(v)) (A2(v)) (A1 IV)(A2(v))

is also in U.) Note dimFU dimFW d is not divisible by m, so one of U or W has

dimension not divisible by m. If the subspace U or W with dimension not divisible by m

is a proper subspace of V , then A1 and A2 have a common eigenvector in that subspace

(and thus in V ) by induction. The other case is that U or W is all of V and the other

subspace is 0 since the dimensions add up to d, in W V since we already noted that

dimFW is positive. From the equation W V we see every vector in V is an eigenvector

for A1, and one of them is an eigenvector for A2 since V has dimension not divisible by m.

□

Corollary 4. For every real vector space V whose dimension is odd, any pair of commuting

linear operators on V has a common eigenvector.

Proof. In Lemma 3, use F Rand m 2. Any linear operator on an odd-dimensional real

vector space has an eigenvector since the characteristic polynomial has odd degree and therefore

has a real root, which is a real eigenvalue. Any real eigenvalue leads to a real eigenvector. □

Note Lemma 3 and Corollary 4 are not saying commuting linear operators have a common