2012年西城区初三数学第一学期期末试题及答案(北区)

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（北区）

九年级数学 2012.1

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．抛物线y (x 1)2 1的顶点坐标为

A．(1,1) B．(1, 1) C．( 1,1) D．( 1, 1)

2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是 A．2 B．3

C． 6

D．11

3．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝

1，ABtanA的值为

A1

B C． D．2 2

4．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°， BD=2，则AE的长为

A．2

B．3 C．4

D．5

5．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于

A．

B． C． D．

6．如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三 角形A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1， DA1与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上，则k的值和点C1的坐标分 别为

A．2，(2,8) B．4，(2,8) C．2，(2,4) D．2，(4,4)

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7．如图，抛物线y ax2 bx c与x轴交于点( 1,0)，对称轴为

x 1，则下列结论中正确的是

A．a 0

B．当x 1时，y随x的增大而增大 C．c 0

D．x 3是一元二次方程ax2 bx c 0的一个根

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2,0)，B(0,2)，⊙C的圆 心为点C( 1,0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段 DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是 A．2 B． C

．2

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCB＝40°，则∠A=．

10．将抛物线y x2先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个 单位长度，所得抛物线的解析式是 ．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4 ．以斜

边AB的中点D为旋转中心，把△ABC按逆时针方向旋转 角 （0 120 ），当点A的对应点与点C重合时，B，C两点 的对应点分别记为E，F，EF与AB的交点为G，此时 等于

，△DEG的面积为

12．已知二次函数y x2 x，（1）它的最大值为（2）若存在实数m，n使得当

自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n，则

m=n=．

8 3

D

．2 22

1

2

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三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13

．计算：cos30 2sin245 ．

14．已知关于x的方程x2 2x 2k 3 0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；

（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．

15．已知抛物线y x2 4x 5.

（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；

（2）用配方法将y x2 4x 5化成y a(x h)2 k的形式．

16．已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，

∠AED=∠B．

（1）求证：△ABE∽△DEA；

（2）若AB=4，求AE DE的值．

17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另

三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形 的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面 积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？

18．如图，在Rt△ABC中， C 90 ，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E． 4

（1）若AD=10，sin ADC ，求AC的长和tanB的值；

5

（2）若AD=1， ADC= ，参考（1）的计算过程直接写 出tan

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2

的值（用sin 和cos 的值表示）．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形PABC的边长为1，将其沿x轴的正方向

连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为(x,y)．

（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标； （2）画出点P(x,y)运动的曲线（0≤x≤4），并直接写出该曲线与x轴所围成区域的

面积．

20．已知函数y x2 bx c（x ≥ 0），满足当x =1时，y 1，

且当x = 0与x =4时的函数值相等．

（1）求函数y x2 bx c（x ≥ 0）的解析式并画出它的 图象（不要求列表）；

（2）若f(x)表示自变量x相对应的函数值，且

x2 bx c (x 0),

又已知关于x的方程 f(x)

2 (x 0),

f(x) x k有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k的取值范围．

21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与 ⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若OE与AD交于点F，cos BAC

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4DF，求的值． 5AF

22．阅读下列材料：

题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断ax与a x的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax与a x的差y ax (a x)，再 说明y的符号即可.

现给出如下利用函数解决问题的方法：

简解：可将y的代数式整理成y (a 1)x a，要判断y的符号可借助函数y (a 1)x a的图象和性质解决.

参考以上解题思路解决以下问题：

已知a，b，c都是非负数，a＜5，且 a2 a 2b 2c 0，a 2b 2c 3 0． （1）分别用含a的代数式表示4b，4c； （2）说明a，b，c之间的大小关系．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线y kx2 (k 2)x 2（其中k 0）．

（1）求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为P(m,n)，直接写出n的最小值； （3）将该抛物线先向右平移

11

个单位长度，再向上平移个单位长度，随着k的变化，2k

平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要

求写自变量的取值范围）．

24．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足 MAN 45 ，连结MC，NC，MN．

（1）填空：与△ABM相似的三角形是△ BM DN= ；（用含a的代

数式表示）

（2）求 MCN的度数；

（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并

证明你的结论．

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25．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A(2,3)，

C(n, 3)（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m； （2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；

（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时， ① 求此抛物线W的解析式； ② 若点Q在直线y 1上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，

P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

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北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）

九年级数学参考答案及评分标准 2012.1

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

说明：第10题写成y (x 1)2

1不扣分；第11题每空各2分；第12题第（1）问2分， 第（2）问每空各1分．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

2 2 …………………………………………………3分 2． ……………………………………………………………………5分

=

13．解：原式=

14．解：（1） ( 2)2 4(2k 3) 8(2 k)． ……………………………………………1分

∵ 该方程有两个不相等的实数根，

∴ 8(2 k)＞0．……………………………………………………………… 2分 解得k 2．…………………………………………………………………… 3分 （2）当k为符合条件的最大整数时，k 1．…………………………………… 4分

此时方程化为x2 2x 1 0，方程的根为x1 1x2 15分

15． 解：（1）抛物线与x轴的交点的坐标为( 5,0) 和 (1,0)． ………………………2分 抛物线与y轴的交点的坐标为(0， 5)． …………………………………3分 （2）y x2 4x 5

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(x2 4x 4) 9…………………………………………………………4分

(x 2)2 9． …………………………………………………………5分 16．（1）证明：如图1．

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AD∥BC． ∴ 1 2． …………………………2分 又∵ ∠B=∠AED， ∴ △ABE∽△DEA ．…………………3分

（2）解：∵ △ABE∽△DEA ，

∴

图1

AEAB

．…………………………………………………………………4分

DADE

∴ AE DE AB DA．

∵ 四边形ABCD是菱形，AB = 4， ∴ AB =DA = 4．

∴ AE DE AB2 16．………………………………………………………5分

17．解：（1）∵ 四边形ABCD是矩形，AB的长为x米， ∴ CD=AB=x（米）．

∵ 矩形除AD边外的三边总长为36米，

∴ BC 36 2x（米）．………………………………………………………1分 ∴ S x(36 2x) 2x2 36x． ……………………………………………3分 自变量x的取值范围是0 x 12． …………………………………………4分 （说明：由0 x 36 2x可得0 x 12．）

（2）∵S 2x2 36x 2(x 9)2 162，且x 9在0 x 12的范围内 ，

∴ 当x 9时，S取最大值．

即AB边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分

18．解：（1）在Rt△ACD中， C 90 ，AD=10，sin

ADC

4

，（如图2） 4

8．……1分 53

CD AD． cos ADC 1 6

5

∴ AC AD sin ADC 10 ∵ DE垂直平分AB，

九年级期末 数学试卷（西城北区）第 8 页（共 15 页）

∴ BD AD 10．……………………………………………………………2分 ∴ BC CD BD 16．………………………………………………………3分 在Rt△ABC中， C 90 ，

AC81

……………………………………………………4分 ．

BC162

sin 1 cos

（2）tan ．（写成也可） ……………………………………5分

21 cos sin

∴ tanB

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置如图3所示．

…………………………………………………2分 第三个正方形中的点P的坐标为(3,1)．……3分 （2）点P(x,y)运动的曲线（0≤x≤4）如图3所示．

…………………………………………………4分

它与x轴所围成区域的面积等于 1． ……………………………………5分

20．解：（1）∵ 函数y x2 bx c（x≥0）满足当x =1时，y 1， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，

1 b c 1,

∴ b

2. 2

解得 b 4，c 2．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为y x2 4x 2（x≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图4所示．……………………………………………………4分

（2）k的取值范围是．（如图5）……………………………………………5分 21．（1）证明：连接OD．（如图6）

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∵ AD平分∠BAC，

∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分 ∵ OA=OD， ∴ ∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3．

∴ OD∥AE．

∵ DE⊥AC， ∴ ∠AED=90°．

∴ ODE 180 AED 90 ．…………2分 ∴ DE⊥OD． ∵ OD是⊙O的半径，

∴ DE是⊙O的切线．………………………3分

（2）解：作OG⊥AE于点G．（如图6） ∴ ∠OGE=90°．

∴ ∠ODE=∠DEG=∠OGE=90°． ∴ 四边形OGED是矩形．

∴ OD=GE．……………………………………………………………………4分 在Rt△OAG中，∠OGA=90°，cos BAC ∴ GE=OD =5k． ∴ AE=AG+GE=9k． ∵ OD∥GE， ∴ △ODF∽△EAF． ∴

22．解：（1）∵ a2 a 2b 2c 0，a 2b 2c 3 0，

4

，设AG=4k，则OA=5k． 5

DFOD5

．……………………………………………………………5分 AFAE9

2b 2c a2 a,

∴

2c 2b a 3.

消去b并整理，得 4c a2 3．……………1分

九年级期末 数学试卷（西城北区）第 10 页（共 15

消去c并整理，得4b a2 2a 3． ………2分

（2）∵ 4b a2 2a 3 (a 3)(a 1) (a 1)2 4，

将4b看成a的函数，由函数4b (a 1)2 4的性质结合它的图象（如图7所示），以及a，b均为非负数得a≥3．

又 ∵ a＜5，

∴ 3≤a＜5．……………………………………………………………………3分 ∵ 4(b a) a2 6a 3 (a 3)2 12，

将4(b a)看成a的函数，由函数4(b a) (a 3)2 12的性质结合它的图象

（如图8所示）可知，当3≤a＜5时，4(b a) 0． ∴ b＜a． ……………………………………………4分

∵ 4(c a) a2 4a 3 (a 1)(a 3)，a≥3， ∴ 4(c a)≥0．

∴ c≥a ．

∴ b＜a≤c． ………………………………………5分

阅卷说明：“b＜a，b＜c，a≤c”

得到第4分，全写对得到5分．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）令y 0，则 kx2 (k 2)x 2 0． 整理，得 (x 1)(kx 2) 0． 解得 x1 1，x2

2

． k

2k

2 kk2 4k 42

, )． ………3分 抛物线y kx (k 2)x 2的顶点坐标为(2k4k

∴ 该抛物线与x轴的交点坐标为( 1,0)，(,0)． ………………………2分

（2）|n|的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分

1k2 4k

)．…………………………………5分 （3）平移后抛物线的顶点坐标为(,

k4k

1

x , 1 k

由 可得 y 1．

k4x y 1 4

1

∴ 所求新函数的解析式为y 1． …………………………………7分

4x

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24．解：（1）与△ABM相似的三角形是△，BM DN 2； ……………………2分

（2）由（1）△ABM∽△NDA可得

BMAB

．（如图9） ………………3分

DAND

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ AB=DC，DA= BC， ABC BCD ADC BAD 90 ．

∴

BMDC

．

BCND

∵ BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角， ∴ CBM NDC 45 ．

∴ △BCM∽△DNC．…………………………………………………………4分

∴ BCM DNC．

∴ MCN 360 BCD BCM DCN

( DNC DCN) 270 (180 C DN 270)．……… 5分

（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是222．

（只猜想答案不证明不给分）

证法一：如图9，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则 △ABF≌△ADN． …………………………………………………6分

∴ 1 3，AF=AN，BF=DN， AFB AND． ∴ MAF 1 2 2 3 BAD MAN 45 ． ∴ MAF MAN． 又∵ AM= AM， ∴ △AMF≌△AMN． ∴ MF=MN．

可得 MBF ( AFB 1) 45 ( AND 3) 45 90 ． ∴ 在Rt△BMF中，BM2 BF2 FM2．

∴ BM2 DN2 MN2． …………………………………………7分 12 页（共 15

证法二：连接BD，作ME∥BD，与DN交于点E．（如图10）

可知 BDC 45 ， BDN 90 ．……………………………………6分 ∵ ME∥BD，

∴ MEN 180 BDN 90 ． ∵ DBM DBC CBM 90 ， ∴ 四边形BDEM是矩形． ∴ ME=BD，BM=DE．

在Rt△MEN中， MEN 90 ，

∴ MN2 ME2 EN2 BD2 (DN

DE)2

)2 (DN BM)2 2a2 (DN BM)2

2BM DN (DN BM)2 BM2 DN2．……………………7分

25．解：（1）图2中的m

．……………………………………………………………1分

（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为D(m,12)，

∴ yE yD 12，此时原题图1中点P运动到与点B重合， ∵ 点B在x轴的正半轴上，

11

OB yC OB 3 12． 22

解得 OB 8，点B的坐标为(8,0)． ………………………………………2分

∴ S BOC

此时作AM⊥OB于点M，CN⊥OB于点N．（如图12）．

∵ 点C的坐标为C(n, 3)， ∴ 点C在直线y 3上．

又由图11（原题图2）中四边形ODEF是等腰梯形可知图12中的点C在过点O与AB平行的直线l上，

∴ 点C是直线y 3与直线l的交点，且 ABM CON． 又∵ yA yC 3，即AM= CN，

可得△ABM≌△CON．

∴ ON=BM=6，点C的坐标为C(6, 3)．……………………………………3分

九年级期末 数学试卷（西城北区）第 13 页（共 15 页）

∵ 图12中

AB

∴ 图11

中DE

OF 2xD DE …………………4分

（3）①当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PG⊥OB于点G．

（如图13）

∵ O，B两点的坐标分别为O(0,0)，B(8,0)，

∴ 由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．

AM3PG

可得PG=2．

BM6BG

∴ 点P的坐标为P(4,2)．………………5分 设抛物线W的解析式为y ax(x 8)（a≠0）． ∵ 抛物线过点P(4,2)，

∴ 4a(4 8) 2．

由tan ABM

解得 a ．

∴ 抛物线W的解析式为y x2 x．

…………………………………6分

②如图14．

i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱

形的边时，

∵ 点Q在直线y 1上方的抛物线W

上，点P为抛物线W的顶点，结合抛 物线的对称性可知点Q只有一种情况，

点Q与原点重合，其坐标为Q1(0,0)．

……………………………………7分

ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，

可知BP的中点的坐标为(6,1)，BP的中垂线的解析式为y 2x 11．

18

18

图13

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18

将该方程整理得 x2 8x 88 0．

解得x 4

∴ 点Q2的横坐标是方程 x2 x 2x 11的解．

由点Q在直线y 1上方的抛物线W上，结合图14可知点Q2的横坐标

为4．

∴ 点Q

2的坐标是Q219)． …………………………8分 综上所述，符合题意的点Q的坐标是Q

1(0,0)，Q219)．

九年级期末 数学试卷（西城北区）第 15 页（共 15 页）