2016届 数学一轮(文科) 人教A版 第十章 统计、统计案例与概率 第5讲 古典概型

第5讲 古典概型 夯基释疑 考点一 概要 考点突破 考点二 考点三 课堂小结 例1 例2 例3 训练1

训练2训练3

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典 概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.( ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”, 这三个结果是等可能事件.( ) (3)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A,所有 card(A) 的基本事件构成集合 I,则事件 A 的概率为 .( card(I) )

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考点突破 考点一 简单古典概型的概率【例题 1】(1)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 1 1 1 1 个数之差的绝对值为 2 的概率是( B )A. B. C. D. 2 3 4 6 (2)(2014· 浙江卷)在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无 1 奖.甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖的概率是________. 3 解析 (1)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数， 有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}共有 6 种取法. 构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件 2 1 的个数为 2. 所以，所求概率 P= = . 6 3 (2)记“两人都中奖”为事件 A, 那么甲、乙抽奖结果有 设中一、二等奖及不中奖分别记为 1,2,0, (1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共 6 种. 2 1 其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1),2 种， 所以 P(A)= = . 6 3第3页

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考点突破

考点一 简单古典概型的概率

规律方法列举法列出所有基本事件的个数 n 和所求事件包含的基本 m 事件的个数 m,利用公式 P= 可求. n

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考点突破

考点一 简单古典概型的概率

【训练 1】(1)(2015· 广州综合测试)有两张卡片，一张的正反面 分别写着数字 0 与 1,另一张的正反面分别写着数字 2 与 3,将卡 片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 1 1 1 3 ( ) A. B. C. D. 6 3 2 8 (2)从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会 均等),这 2 名都是女同学的概率等于________.

解析 (1)依题意， 将题中的两张卡片排在一起组成两位数共有 20,30 ,12 , 13,21,31,共 6 种情况， 注意：0不可以在 其中奇数有 13,21,31,共 3 种情况， 十位3 1 因此所求的概率等于 = ,故选 C. 6 2第5页

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考点突破

考点一 简单古典概型的概率

【训练 1】(1)(2015· 广州综合测试)有两张卡片，一张的正反面 分别写着数字 0 与 1,另一张的正反面分别写着数字 2 与 3,将卡 片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 1 1 1 3 (

) A. B. C. D. 6 3 2 8 (2)从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会 均等),这 2 名都是女同学的概率等于________.

(2)设 3 名男同学分别为 a1,a2,a3,3 名女同学分别为 b1,b2,b3,则从 6 名同学中任选 2 名的结果有 a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a1b3,a2a3,a2b1,a2b2,a2b3,a3b1,a3b2, a3b3,b1b2, b1b3,b2b3, 共 15 种，其中都是女同学的有 3 种， 3 1 所以概率 P= = . 15 1 5(1)C (2) 5第6页

答案

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考点二 较复杂古典概型的概率

【例题 2】(2014· 四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率.

解析 (1)由题意，(a,b,c)所有的可能为 (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2), (1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1), (2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3), (2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2), (3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1), (3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种.第7页

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考点突破

考点二 较复杂古典概型的概率

【例题 2】(2014· 四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率.

3 1 所以 P(A)= = . 27 9 1 因此， “抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B,

包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 所以 P(B)=1-P(B)=1- = . 27 9 8 因此， “抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9第8页

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考点突破

考点二 较复杂古典概型的概率

规律方法列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总数、随机 事件所含有的基本事件的个数是解决古典概型的基本方法. 列举 基本事件时要分清两个问题： (1)是否有顺序， 有序的和无序的是 有区别的；(2)是否允许重复，即放回的还是不放回的， 放回的取 元素是允许重复的，不放回的取元素是不允许重复的

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考点突破

考点二 较复杂古典概型的概率

训练 2 (2015· 济南模拟)一个袋中装有 5 个形状大小完全相同 的球，其中有 2 个红球，3 个白球. (1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率； (2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个 球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率.

解析 (1)2 个红球记为 a1,a2,3 个白球记为 b1,b2,b3, 从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有： (a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2), (a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共 10 个. 设事件 A=“取出的两个球颜色不同”,A 中的基本事件有： (a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共 6 个.6 3 P(A)= = . 10 5第10页

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考点突破

考点二 较复杂古典概型的概率

解析 (2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随 机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有： (a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a1), (a2,a2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,a1),(b1,a2), (b1,b1),(b1,b2),(b1,b3),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1), (b2,b2),(b2,b3),(b3,a1),(b3,a2),(b3,b1),(b3,b2), (b3,b3),共 25 个. 设事件 B=“两次取出的球中至少有一个红球” ,B 中的基本 事件有： (a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a1), (a2,a2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,a1),(b1,a2), (b2,a1),(b2,a2),(b3,a1),(b3,a2),共 16 个. 16 P(B)= . 25第11页

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考点突破 考点三 古典概型与统计的综合应用例 3 (2014· 山东卷)海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进 口的某种商品进行抽样检测， 从各地区进口此种商品的数量(单位： 件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量； (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检 测，求这 2 件商品来自相同地区的概率.

解(1) 因为样本容量与总体中的个体数的比是

6 1 = , 50+150+100 50 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是： 1 1 1 50× =1,150× =3,100× =2. 50 50 50 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1,3,2.第12页

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考点突破 考点三 古典概型与统计的综合应用例 3 (2014· 山东卷)海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进 口的某种商品进行抽样检测， 从各地区进口此种商品的数量(单位： 件)如下表所示.工作

人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量； (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检 测，求这 2 件商品来自相同地区的概率.分层抽样要求，A、B、C三

解(2)

地区抽取数量比例为：1:3:2

设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为 A;B1,B2,B3;C1,C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为：

{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1, B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3, C1},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个.第13页

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考点突破 考点三 古典概型与统计的综合应用例 3 (2013· 陕西卷)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比 赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌 组别 A B C D E 手名次。根据年龄大众评委分为五组， 人数 50 100 150 150 50 各组的人数如下： (1)为了调查评委对 7 位歌手 组别 A B C D E 的支持情况，现用分层抽样方法从 人数 50 100 150 150 50 各组中抽取若干评委， 其中从 B 组 9 3 抽取了 6 人，请将其余各组抽取人 抽取人数 3 6 9 数填入下表： (2)在(1)中，若 A,B 两组被抽到的评委中各有两人支持 1 号 歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支 持 1 号歌手的概率。由题设知， 分层抽样的抽取比例为 6%, 解 (1) 所以各组抽取的人数见上表第14页

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考点突破 考点三 古典概型与统计的综合应用组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3

(2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1, a2, a3,其中 a1, a2,支持 1 号歌手

从 B 组抽到的 6 个评委为 b1, b2, b3, b4, b5, b6,其中 b1, b2,支持 1 号歌手从{a1, a2, a3,}和{b1, b2, b3, b4, b5, b6}中各抽取 1 人的所有结果为： 由以上树状图知所有结果共 18 种，其中 2 人都支持 1 号歌手 b1 b1 的有 a1b1, a1b2, a2b1,a2b2,共 4 种， b2 b2 4 2 故所求概率 P= = b3 b3 18 9 a1 a2 a3b4 b5 b6返回目录

b1 b2 b3 b4 b5 b6

b4 b5 b6

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考点突破 考点三 古典概型与统计的综合应用

规律方法有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重 要题型， 已成为高考考查的热点， 概率与统计结合题， 无论是直 接描述还是利用概率分布表、 分布直方图、 茎叶图等给出信息， 只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决.

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