自动化控制第5章

自动化控制

自动控制原理

频域分析法- 第五章 频域分析法-频率法

第五章

频域分析法—频率法 频域分析法 频率法

5.1 频率特性 一、基本概念 系统的频率响应 频率响应定义为系统对正弦输入信 系统的频率响应定义为系统对正弦输入信 号的稳态响应。 号的稳态响应。 r(t) c(t)

系统

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一个稳定的系统， 一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入 r ( t ) = Ar sin ω t 其稳态输出可写为 Ac-稳态输出的振幅 稳态输出的振幅 c( t ) = Ac sin(ω t + ) -稳态输出的相角 稳态输出的相角 稳态输出的振幅与输入振幅之比,称为幅频 稳态输出的振幅与输入振幅之比,称为幅频 特性。 特性。Ac M= Ar

称为相 稳态输出的相位与输入相位之差 ,称为相 频特性。 频特性。

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二、求取频率特性的数学方法 RC网络的传递函数为 网络的传递函数为Uc ( s) 1 Φ( s ) = = U r ( s ) Ts + 1 T = RC

如果输入正弦电压信号 ur = Ar sin ω t 其拉氏变换Arω Ur ( s) = 2 s +ω2

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所以系统的输出为Arω 1 U c ( s ) = Φ ( s )U r ( s ) = 2 Ts + 1 s + ω 2

查拉氏变换表， 的原函数u 查拉氏变换表，得Uc(s)的原函数 c(t) 的原函数t ArωT T Ar uc ( t ) = e + sin(ω t arctan ωT ) 2 2 2 2 1+ω T 1+ω T

式中第一项为动态分量，第二项为稳态分量。 式中第一项为动态分量，第二项为稳态分量。lim uc ( t ) =t →∞

Ar 1 + ω 2T 2

sin(ω t arctan ω T )

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幅频特性和相频特性

ω1/ 1 + ω 2T 2- arctan ω T

0 0

1/2T 1/T 2/T

3/T 4/T 5/T

∞0

0.89 0.707 0.45 0.32 0.24 0.20

0

-26.6o -45o -63.5o -71.5o -76o -78.7o -90o

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幅频和相频特性曲线

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1 1 + ω 2T 2 12

sin(ω t arctan ωT ) e jarctan ωT

1+ω T 1 = 1 + jωT

2

1 = e 1+ jωT

j∠

1 1+ jωT

RC网络的频率特性 网络的频率特性

只要把传递函数式中的s以 置换， 只要把传递函数式中的 以j ω置换，就可以 得到频率特性， 得到频率特性，即1 1 = 1 + jω T 1 + Tss = jω

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Φ (jω )=Φ(s )

s=jω

以模幅式表示， 将Φ(jω)以模幅式表示，则 以模幅式表示Φ ( jω ) = Φ ( jω ) ej∠Φ ( jω )

= M (ω ) e

j ( ω )

故幅频特性 相频特性

M (ω ) = Φ ( jω )

(ω ) = ∠Φ ( jω )

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动态数学模型

频率

特性和传递函数、 频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图

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三、频率特性图示法 1.直角坐标图 直角坐标图 幅频特性：纵坐标为 ，线性分度； 幅频特性：纵坐标为M,线性分度；横坐 标为ω,线性分度。 线性分度。 相频特性：纵坐标为 ,线性分度；横坐 相频特性： 线性分度； 线性分度。 标为ω,线性分度。

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2.极坐标图 极坐标图 频率特性Φ (jω ) = Φ (jω ) ∠Φ (jω ) = M (ω )∠ (ω )

幅相特性： 作为参变量， 幅相特性：以频率ω作为参变量，将幅频 与相频特性同时表示在复平面上。 与相频特性同时表示在复平面上。 当 频率 ω 从 零到 无穷变 化 矢量Φ 时，矢量Φ(jω)的端点在复 的端点在复 平面上描绘出一条曲线， 平面上描绘出一条曲线 ， 即为幅相特性曲线 ， 又称 即为 幅相特性曲线， 幅相特性曲线 奈奎斯特曲线。 奈奎斯特曲线。

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惯性环节的幅相特性曲线 j

ωM(ω)

(ω)

0 1 0

1

∞ 0 -90°

O

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3.对数坐标图 伯德图 对数坐标图—伯德图 对数坐标图 伯德图(H.W.Bode) 对数频率特性曲线又称伯德图， 对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数 又称伯德图 幅频和对数相频两条曲线。 幅频和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率ω, 并按对数分度，单位是1/s。 并按对数分度，单位是 。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性 的函数值，线性均匀分度，单位是分贝， 的函数值，线性均匀分度，单位是分贝， 记作dB。 记作 。 对数幅频特性定义为 L(ω ) = 20 lg M (ω )

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对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函 数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。 数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。

ω lgω

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.301 0.477 0.6020.6990.7780.8450.9030.954 1

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采用对数坐标图的优点是： 采用对数坐标图的优点是： (1) 可以将幅值的乘除转化为加减。 可以将幅值的乘除转化为加减。 (2) 可以采用简便方法绘制近似的对数幅 频曲线。 频曲线。 (3) 扩大了研究问题的视野。在一张图上， 扩大了研究问题的视野。在一张图上， 既画出频率特性的中、高频段特

性， 既画出频率特性的中、 高频段特性， 又 能画出其低频特性，而低频特性对分析、 能画出其低频特性 ，而低频特性对分析、 设计控制系统来说是极其重要的。 设计控制系统来说是极其重要的。

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对数幅频和对数相频特性曲线