平面向量、平面向量的坐标运算

2.3.3平面向量的坐标运算

【教学目标】

1.能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力;

2.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.

【教学重难点】

教学重点: 平面向量的坐标运算.

教学难点: 对平面向量坐标运算的理解.

【教学过程】

一、〖创设情境〗

以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢?如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。

二、〖新知探究〗

思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设 =(x1, y1) =(x2, y2)则 =x1i+y1j， =x2i+y2j，根据向量的线性运算性质，向量 + ， - ， (R)如何分别用基底i、j表示?

+ =(x1+x2)i+(y1+y2)j，

- =(x1-x2)i+(y1-y2)j，

=x1i+y1j.

思考2：根据向量的坐标表示，向量 + ， - ，的坐标分别如何?

+ =(x1+x2，y1+y2);

- =(x1-x2，y1-y2);

=(x1，y1).

两个向量和与差的坐标运算法则：

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

思考3：已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量的坐标如何?

结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢?

结论：

1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。

2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标.

三、〖典型例题〗

例1 已知 =(2,1), =(-3,4),求 + ， - ，3 +4 的坐标.

解： + =(2,1)+(-3,4)=(-1，5)，

- =(2,1)-(-3,4)=(5，-3)，

3 +

4 =3(2,1)+4(-3,4)= (6,3)+(-12,16)=(-6，19).

点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解。

变式训练1：已知，，求，的坐标;

例2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)(3，4)，求顶点D的坐标。

解：设点D的坐标为(x,y),

即 3- x=1,4-y=2

解得 x=2,y=2

所以顶点D的坐标为(2，2).

另解：由平行四边形法则可得

所以顶点D的坐标为(2，2)

点评：考查了向量的坐标与点的坐标之间的联系.

变式训练2：已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

四、〖课堂小结〗

本节课主要学习了平面向量的坐标运算法则：

(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和;

(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差;

(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数;

五、〖反馈测评〗

1.下列说法正确的有( )个

(1)向量的坐标即此向量终点的坐标

(2)位置不同的向量其坐标可能相同

(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标

(4)相等的向量坐标一定相同

A.1

B.2

C.3

D.4

2.已知A(-1，5)和向量 =(2,3)，若 =3 ，则点B的坐标为__________。

A.(7,4)

B.(5,4)

C.(7,14)

D.(5,14)

3.已知点，及，，，求点、、的坐标。

〖板书设计〗

【作业布置】课本101页1---3T

临清三中数学组编写人：张越审稿人：刘桂江李怀奎

2.3.3平面向量的坐标运算

课前预习学案

一、预习目标：通过预习会初步的进行向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算

二、预习内容：

1、知识回顾：平面向量坐标表示

2.平面向量的坐标运算法则：

若 =(x1, y1) ， =(x2, y2)则 + =____________________,

- =________________________, =_____________________.

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标：

1.能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力;

2.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相联系，培养学生辨证思维能力.

二、学习内容

1. 平面向量的坐标运算法则：

思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若 =(x1, y1) ， =(x2, y2)，则 =x1i+y1j， =x2i+y2j，根据向量的线性运算性质，向量 + ， - ， (R)如何分别用基底i、j表示?

思考2：根据向量的坐标表示，向量 + ， - ，的坐标分别如何?

思考3：已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量的坐标如何?

平面向量的坐标运算法则：

(1)两向量和的坐标等于_______________________;

(2)两向量差的坐标等于_______________________;

(3)实数与向量积的坐标等于__________________________;

思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢?

2.典型例题

例1 ：已知 =(2,1), =(-3,4),求 + ， - ，3 +4 的坐标.

例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。

三、反思总结

(1)引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。

(2)要把点坐标与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。

四、当堂检测

1.下列说法正确的有( )个

(1)向量的坐标即此向量终点的坐标

(2)位置不同的向量其坐标可能相同

(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标

(4)相等的向量坐标一定相同

A.1

B.2

C.3

D.4

2.已知A(-1，5)和向量 =(2,3)，若 =3 ，则点B的坐标为__________。

A.(7,4)

B.(5,4)

C.(7,14)

D.(5,14)

3.已知点，及，，，求点、、的坐标。

课后练习与提高

1.已知，，则等于( )

A. B.

C. D.

2.已知平面向量，，且2 ，则等于( )

A. B.

C. D.

3 已知，，若与平行，则等于( ).

A. 1

B. -1

C.1或-1

D.2

4.已知，，则的坐标为____________.

5.已知：点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若AP=AB+AC(R) ，则为_______时，点P在一、三象限角平分线上.

6 . 已知，，，，则以，为基底，求 .

参考答案：

1.A

2.D

3.C

4.(-1,2)

5.

6.解：令，则 .

，，

， .