高中物理人造卫星变轨问题精解专练

人造卫星变轨问题专题

一、人造卫星基本原理

绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。轨道半径r确定后，与之对应的卫星线速度v

GMr

、周期T 2

r

3

GM

、向心加速度a

GMr

2

也都是唯一确定的。如果

卫星的质量是确定的，那么与轨道半径r对应的卫星的动能Ek、重力势能Ep和总机械能E机也是唯一确定的。一旦卫星发生了变轨，即轨道半径r发生变化，上述所有物理量都将随之变化（Ek由线速度变化决定、Ep由卫星高度变化决定、E机不守恒，其增减由该过程的能量转换情况决定）。同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。

在高中物理中，涉及到人造卫星的两种变轨问题。

二、渐变

由于某个因素的影响使原来做匀速圆周运动的卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。 解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径r是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。

如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型发动机，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的状态），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。

这种变轨的起因是阻力。阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，卫星所需要的向心力

GMmr

2

mvr

2

减

小了，而万有引力的大小没有变，因此卫星将做向心运动，即轨道半径r将减小。

由基本原理中的结论可知：卫星线速度v将增大，周期T将减小，向心加速度a将增大，动能Ek将增大，势能Ep将减小，有部分机械能转化为内能（摩擦生热），卫星机械能E机将减小。 为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。而且万有引力做的正功远大于克服空气阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星动能增加。

根据E机=Ek+Ep，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。

又如：有一种宇宙学的理论认为在漫长的宇宙演化过程中，引力常量G是逐渐减小的。如果这个结论正确，那么环绕星球将发生离心现象，即环绕星球到中心星球间的距离r将逐渐增大，环绕星球的线速度v将减小，周期T将增大，向心加速度a将减小，动能Ek将减小，势能Ep将增大。 三、突变

由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。

如：发射同步卫星时，可以先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1；变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3；此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。

第一次加速：卫星需要的向心力

mvr

2

增大了，但万有引力

GMmr

2

没变，因此卫星开始做离

心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。点火过程有化学能转化为机械能，卫星的机械能增大。

在转移轨道上，卫星从近地点P向远地点Q运动过程只受重力作用，机械能守恒。重力做负功，重力势能增加，动能减小。在远地点Q处，如果不进行再次点火加速，卫星将继续沿椭圆形轨道运行，从远地点Q回到近地点P，不会自动进入同步轨道。这种情况下卫星在Q点受到的万有引力大于以速率v3沿同步轨道运动所需要的向心力，因此卫星做向心运动。

为使卫星进入同步轨道，在卫星运动到Q点时必须再次启动卫星上的小火箭，短时间内使卫星的速率由v3增加到v4，使它所需要的向心力

mvr

24

增大到和该位置的万有引力大小恰好相等，

这样才能使卫星进入同步轨道Ⅲ做匀速圆周运动。该过程再次启动火箭加速，又有化学能转化为机械能，卫星的机械能再次增大。

结论是：要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圆轨道，即增大轨道半径（增大轨道高度h），一定要给卫星增加能量。与在低轨道Ⅰ时比较（不考虑卫星质量的改变），卫星在同步轨道Ⅲ上的动能Ek减小了，势能Ep增大了，机械能E机也增大了。增加的机械能由化学能转化而来。 四、与氢原子模型类比

人造卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供。按照玻尔的原子理论，电子绕氢原子核做圆周运动的向心力由库仑力提供。万有引力和库仑力都遵从平方反比律：F

F

kq1q2r

2

Gm1m2

r

2

、

，因此关于人造卫星的变轨和电子在氢原子各能级间的跃迁，分析方法是完全一样的。

⑴电子的不同轨道，对应着原子系统的不同能级E，E包括电子的动能Ek和系统的电势能Ep，

即E=Ek+Ep。

⑵量子数n减小时，电子轨道半径r减小，线速度v增大，周期T减小，向心加速度a增大，动能Ek增大，电势能Ep减小；原子将辐射光子（释放能量），因此氢原子系统的总能量E减小，向低能级跃迁。由E=Ek+Ep可知，该过程Ep的减小量一定大于Ek的增加量。

反之，量子数n增大时，电子轨道半径r增大，线速度v减小，周期T增大，向心加速度a减小，动能Ek减小，电势能Ep增大，原子将吸收吸收光子（吸收能量），因此氢原子系统的总能量E增大，向高能级跃迁。由E=Ek+Ep可知，该过程Ep的增加量一定大于Ek的减少量。

飞船变轨问题剖析

姿态动力学的提出

人造地球卫星动力学包含两个方面：

轨道力学：研究卫星质心绕地球的运动。

姿态动力学：研究卫星绕其质心的转动运动及卫星各部的相对运动。 请考虑一下，为什么卫星还要相对其质心转动呢？

（1）卫星功能的需要

卫星上安装的专门仪器或天线需要对地定向，因而在沿轨道运行时卫星必须缓慢转动，卫星上的太阳帆板需要对日定向，因而帆板相对星体也要转动。 定向问题属于姿态稳定问题，它是姿态动力学的基本问题。

（2）卫星变轨的需要

当地球同步卫星由转移轨道变到同步轨道时，当返回式卫星由运行轨道变到返回轨道时，卫星都要绕质心转动到预定姿态，然后开动尾部的变轨发动机实现变轨。这属于姿态控制问题。

用万有引力处理天体问题的基本方法是：把天体的运动看成圆周运动，其做圆周运动的向心力有万有引力提供。 由G

Mmr

2

m

v

2

r

mr m(

3

2

2 T

)r m(2 f)r man得

GMr

3

22

v

GMr

T 2

r

，

GM，

。

当飞船等天体做变轨运动时，轨道半径发生变化，从而引起v、T及 的变化。

例1．（05江苏）某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆．由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2，用EKl．EK2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则 (A)r1<r2，EK1<EK2 (B)r1>r2，EK1<EK2 (C)r1<r2，EK1>EK2 (D)r1>r2，EK1>EK2

误区警示 本题中由于阻力作用会误因为加深“越高越慢”的印象，才能走出误区。

v2

＜

v1

，错选D。深刻理解速度是由高度决定的，

解析 由于阻力使卫星高度降低，故r1>r2，由

GMr

知变轨后卫星速度变大，动能变大

EK1<EK2，也可理解为卫星在做向心运动时引力做功大于克服阻力做功，故动能增加大，故B正确。

例2 人造飞船首先进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆行轨道上，如图所示，试处理下面几个问题（地球的半径R=6370km，g=9.8m/s2）：

（1）飞船在椭圆轨道１上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞船运动 到P点时点火，使飞船沿圆轨道２运行，以下说法正确的是

A．飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力 B．飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力

C．飞船在轨道1上P的速度小于在轨道2上P的速度

D．飞船在轨道1上P的加速度大于在轨道2上P的加速度

解析 飞船在轨道1上运行，在近地点Q处飞船速度较大，相对于以近地点到地球球心的距离为半径的轨道做离心运动，说明飞船在该点所受的万有引力小于在该点所需的向心力；在远地点P处飞船的速度较小，相对于以远地点到地球球心为半径的轨道飞船做向心运动，说明飞船在该点所受的万有引力大于在该点所需的向心力；当飞船在轨道1上运动到P点时，飞船向后喷气使飞船加速，万有引力提供飞船绕地球做圆周运动的向心力不足，飞船将沿椭圆轨道做离心运动，运行到轨道2上，反之亦然，当飞船在轨道2上的p点向前喷气使飞船减速，万有引力提供向心力有余，飞船将做向心运动回到轨道1上，所以飞船在轨道1上P的速度小于在轨道2上P的速度；飞船运行到P点，不论在轨道1还是在轨道2上，所受的万有引力大小相等，且方向均于线速度垂直，故飞船在两轨道上的点加速度等大。 答案 BC

（2）假设由于飞船的特殊需要，美国的一艘原来在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船

一定是

A．从较低轨道上加速 B．从较高轨道上加速

C．从同一轨道上加速 D．从任意轨道上加速

解析 由（1）题的分析可知，飞船应从低圆规道上加速，做离心运动，由椭圆轨道运行到较高的圆轨道上与飞船对接。答案 A

例3．发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送人同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是

A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

GMm

m

2

解析：对卫星来说，万有引力提供向心力，

r

2

r

mr

2

ma

，得

GMr

，

GMr

3

a

GMr

2

，，而

r3 r1

，即

3 1

，

3 1

，A不对B对。1轨道的Q点与2轨道

的Q点为同一位置，加速度a相同。同理2轨道的P点与3轨道的P点a也相同，C不对D对。答案BD

例4.如下图所示，飞船沿半径为R的圆周围绕着地球运动，其运行周期为T.如果飞船沿椭圆轨道运行，直至要下落返回地面，可在轨道的某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心O为焦点的椭圆轨道运动，轨道与地球表面相切于B点。求飞船由A点到B点的时间。（图中R0是地球半径）

R0 R

解析 设飞船的椭圆轨道的半长轴为a，由图可知a=

R

32

2

.设飞船沿椭圆轨道运行的周期为

T

a

3

T′，由开普勒第三定律得：T

3

=T .飞船从A到B的时间t=2.由以上三式求解得

t

例5．我国的国土范围在东西方向上大致分布在东经70到东经135，所以我国发射的通信卫星一般定点在赤道上空3.6万公里，东经100附近，

假设某颗通信卫星计划定点在赤道上空东

经104

的位置，经测量刚进入轨道时位于赤道上空3.6万公里，东经103处，为了把它调整到

104处，可以短时间启动卫昨上的小型喷气发动机调整卫星的高度，改变其周期，使其“漂移”

到预定经度后，再短时间启动发动机调整卫星的高度，实现定点，两次调整高度的方向依次是 A、向下、向上 B、向上、向下 C、向上、向上 D、向下、向下

解析 题目是要求发射同步卫星，向东调整一些，但最后高度和速度均不变，故先向下调低轨道，卫星角速度变大，相对地球向东运动，再向上调高轨道，角速度减小，可与地球相对静止。答案A

例6．俄罗斯“和平号”轨道空间站因超期服役和缺乏维持继续在轨道运行的资金，俄政府于2000年底作出了将其坠毁的决定，坠毁过程分两个阶段，首先使空间站进人无动力自由运动状态，因受高空稀薄空气阻力的影响，空间站在绕地球运动的同时缓慢向地球靠近，2001年3月，当空间站下降到距地球320km高度时，再由俄地面控制中心控制其坠毁。“和平号”空间站已于2001年3月23日顺利坠入南太平洋预定海域。在空间站自由运动的过程中 ①角速度逐渐减小 ②线速度逐渐减小 ③加速度逐渐增大 ④周期逐渐减小 ⑤机械能逐渐增大 以上叙述正确的是

A、①③④ B、②③④ C、③④⑤ D、③④

解析 本题实质考查对卫星等天体变轨运动的动态分析能力。整体上看,卫星的轨道高度和运行速度发生连续的变化,但微观上,在任一瞬间,卫星还是可以近似看作在圆形轨道上运动,由F G

Mmr

2

mr

4 T

2

2

知r减小时T亦减小;由

Ek

12

mv

2

G

Mmr

2

m

v

2

,及

r知卫星在轨运行的

动能

Ek G

Mm

2r，有EK2>EK1，但在降低轨道高度时,重力做正功,阻力做负功,故总机械能应

是不断减少的。

空间站由远地轨道向近地轨道移动时，受地球引力变大，故加速度增大；由

v

GMR

,

GMR

3

,T 2

R

3

GM知v变大，T变小而 变大。答案 C

总结：人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。当天体做变轨运动时关键看轨道半径

v

GMR

,

GMR

3

,T 2

R

3

的变化，然后根据公式

GM判断线速度、角速度和周期的变化。

练习题

1．如图，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和地球同步通信卫星q均在赤道平面上绕地球做匀

速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则

A．v1>v2>v3 B．v1<v2<v3 C．a1>a2>a3 D．a1<a3<a2 2．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表

面分别约为200km和100km，运行速率分别为v1和v2。那么，v1和v2的

比值为（月球半径取1700km） A．

1918

B．

18

C．

1819

D．

1819

3．我国成功实施了“神舟”七号的载入航天飞行，并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道

飞行，后在远地点343千米处点火加速，把飞船运行轨道由椭圆轨道变成离地面高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是 A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于超重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

4．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2。设在卫星l、卫星2各自所

在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则

44

A．g 1 T1 B．g 1 2 1 T1 D． g T 3 C． g13

2

g2

T

2

g2

T 1

g2

T 2

g2

T2 T 1

2

5．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵

从的某一规律的图象。图中坐标系的横轴是lg(T/T0)。纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行

星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是 A

B

D．

C

T0)

T0) T0)

T0)

6．航天飞机在完成对哈勃太间望远镜的维修任务后，在A点短时间开动小型发动机进行变轨，从圆形轨道Ⅰ进入椭圆道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示。下列说法中正确的有

A．在轨道Ⅱ上经过A的机械能大于经过B的机械能 B．在A点短时间开动发动机后航天飞机的动能增大了

C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

A

参考答案

1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C