6-粘性流体层流流动

Chap 6 粘性流体层流流动Laminar Flow of Viscous Fluid

主要内容补充：雷诺(Reynolds)实验 1. 广义Newton内摩擦定律 2. 纳维-斯托克斯方程 3. 动能平衡与内能平衡方程 4. 不可压缩粘性流体流动的基本特性 5. 相似理论 6. 不可压缩粘性流动的解析解2

Reynolds实验 Reynolds实验(1883) 实验(1883)实验目的：观察粘性流体的流动状态。 实验目的：观察粘性流体的流动状态。 实验装置：水箱，染色水，玻璃管，阀门；扰动小。 实验装置：水箱，染色水 玻璃管，阀门；扰动小。 层流(laminarflow):流速较低 ， 迹线 ) 流速较低，

平稳。质点沿轴向分层平稳流动。 平稳。质点沿轴向分层平稳流动。

不稳定流： 流速增加 ， 迹线波动 。 不稳定流 ： 流速增加， 迹线波动。水质点不稳定， 有轴向和垂向的分速度。 水质点不稳定 ， 有轴向和垂向的分速度 。

湍流 (turbulent

flow) : 流速超过某值 ) laminar

迹线破裂。 各层质点相互掺混， 时 ， 迹线破裂 。 各层质点相互掺混 ， 出 现不规则、随机脉动速度。 现不规则、随机脉动速度。

实验证实： 实验证实：粘性流存在两种流动 状态——层流和湍流。 层流和湍流。 状态 层流和湍流

turbulent3

雷诺用各种不同直径的圆管重复了上述实验， 雷诺用各种不同直径的圆管重复了上述实验，发现流动从层流到 湍流的转变不仅仅取决于管内的流速，而是与下面的无因次量有关， 湍流的转变不仅仅取决于管内的流速，而是与下面的无因次量有关， 为纪念雷诺的这一发现，该无因次数称为雷诺 雷诺( 为纪念雷诺的这一发现，该无因次数称为雷诺(Reynolds)数： )

ρ Ud Ud Re = = µ v由层流转变成湍流时的雷诺数称为临界雷诺数。 由层流转变成湍流时的雷诺数称为临界雷诺数。 临界雷诺数 在实验室的管流条件下 ( 外界扰动较小 ) , 临界 在实验室的管流条件下( 外界扰动较小) 临界Reynolds数较高 数较高 上临界雷诺数通常为 通常为12000~13000。 ,上临界雷诺数通常为 。 不论管流扰动有多大，必将衰减下去，始终能保持为层流的最大雷 不论管流扰动有多大，必将衰减下去， 诺数称为下临界雷诺数 约为2300。 下临界雷诺数， 诺数称为下临界雷诺数，约为 。 在工程上，通常取管流的临界雷诺数为2000。 在工程上，通常取管流的临界雷诺数为 。

Re < 2000 (层流) 层流) Re > 2000 (湍流) 湍流)4

例8.1油的密度为

《流体力学》汪志明 崔海清 何光渝 流体力学》

某输油管道内径d=50mm,已知输油管中油的质量流量 qm = 1.45kg / s , 某输油管道内径

ρ o = 910 kg / m 3 ,油的运动粘度为 ν = 4 × 10 4 m 2 / s

试确定管中

油的流动是层流还是湍流。 试确定管中油的流动是层流还是湍流。 [解] 管中油的平均速度为 解

qm 4 qm v= = = 0.81( m / s ) 2 ρ o A ρ oπd管中流动雷诺数为

Re =

vd

ν

= 101.25 < 2000

因此管中油的流动状态为层流。 因此管中油的流动状态为层流。

例4-1ν = 10 6 m 2 / s

《工程流体力学》袁恩熙 工程流体力学》

水在内径100mm的管中流动，流速 的管中流动， 水在内径 的管中流动 流速不变， 流速不变，但运动粘度 [解] 水的雷诺数为 解

v = 0.5m / s ,水的运动粘度

问水在管中呈何种流态？如果管中流动的是油， ,问水在管中呈何种流态？如果管中流动的是油， 则油在管中呈何种流态？ ν = 31 × 10 6 m 2 / s ,则油在管中呈何种流态？

Re =

vd

ν

=

0.5 × 0.1 = 5 × 10 4 > 2000 10 6

因此水在管中为湍流状态。 因此水在管中为湍流状态。 油的雷诺数为

Re =

vd

ν

=

0.5 × 0.1 = 1610 < 2000 6 31 × 106

因此管中的油为层流状态。 因此管中的油为层流状态。

1. 广义Newton内摩擦定律 广义Newton Newton内摩擦定律本构方程：流体性质决定的应力与变形之间的关系。 本构方程：流体性质决定的应力与变形之间的关系。 du 一元流动： 一元流动： τ = µ dy tg d θ ≈ d θ = d u dθ = d y dt原先垂直两线段之夹角变化率的一半为角变形速率 ——牛顿内摩擦定律 牛顿内摩擦定律

dudt dy

ε yx

du dθ p yx = µ =µ = 2µε yx dy dt

1 dθ = 2 dt7

d θ d θ1 d θ 2 二元流动： 二元流动： = + dt dt dt

u x dydt ydθ 2

pyxdθ1

1 d θ1 + d θ 2 1 v y v x dy + u y dydt ε xy = = x + y y 2 dt 2 假定( ) 应力与变形速率成线性关系； 假定 ( 1)应力与变形速率成线性关系 ； ( 2)流体为各向同性 ， 即各个方向的粘 ) 流体为各向同性， 性相同。 性相同。

dyu y dt

dxu x dt

将牛顿内摩擦定律推广到二元流动， 将牛顿内摩擦定律推广到二元流动，

pxy x dxdt u x dxdt x

u y

v x v y dθ p xy = p yx = µ = 2 µε yx = µ y + x dt p xy = p yx = 2 µε yx 类似的， 三元流动中有 中有： 类似的，在三元流动中有： p yz = p zy = 2 µε zy p zx = p xz = 2 µε xz

dx +

切向应力

角变形速率8

理想流体中，同一点各方向上的法向应力都等于 ； 理想流体中，同一点各方向上的法向应力都等于-p; 粘性流体中，流体微团的法线方向上有相对的线变形速度， 粘性流体中，流体微团的法线方向上有相对的线变形速度，使法向应 力的大小偏离了平衡态(理想流体)压力，产生附加的法向应力。 力的大小偏离了平衡态(理想流体)压力，产生附加的

法向应力。

v y vx v ε xx = , ε yy = , ε zz = z x y z pxx = p + 2 µε xx p yy = p + 2 µε yy pzz = p + 2 µε zz

法向应力

线变形速率

将上面三个等式相加， 将上面三个等式相加，并考虑到不可压缩流动的连续方程

v = 0

1 p = ( p xx + p yy + p zz ) 39

三维不可压缩牛顿流体的广义牛顿内摩擦定律(即本构方程) 三维不可压缩牛顿流体的广义牛顿内摩擦定律(即本构方程): 广义牛顿内摩擦定律

pij = pδ ij + 2 µε ij~ ~ ~ P = pI + 2 µS对于可压缩牛顿流体，本构方程： 对于可压缩牛顿流体，本构方程：

1 vi v j ~ S = ε ij = ( + ) 2 x j xi

2 pij = ( p µ v )δ ij + 2 µε ij 3形式一： 形式一： 应力张量 linear

(Newton流体) 流体) 流体

~

变形张量

~ ~ P∝S

~ ~ ~ ~ 2 P = pI µ vI + 2 µS 3形式二： 形式二：

~ ~ ~ ~ P = pI + λ vI + 2 µS

2 第二粘度 λ = µ 3

哈密顿算子和拉普拉斯算子 =i + j + k = ei x y z xi

无源、无旋的向量场是调和场，满足 方程， 无源、无旋的向量场是调和场，满足Laplace方程， 方程

2 2 2 a = = 2 + 2 + 2 = 2 = 0 x y z 2 = 0

= 0

2 2 2 2 = = 2 + 2 + 2 = x y z11

2. 纳维-斯托克斯方程 (NS方程) 纳维(NS方程)Dv ~ ρ = ρf + P Dt ρ + ( ρ v) = 0 t t p xy p xz Dvx 1 p = f x + xx + + x Dt y z ρ Dv y 1 p yx p yy p yz = fy + + + Dt y z ρ x Dvz 1 p zx p zy p zz = fz + x + y + z Dt ρ

未知量10个 未知量10个：vx vy vz ρ pxx pyy pzz pxy pxz pyz 10本构方程形式二： 本构方程形式二：

~ ~ ~ ~ P = pI + λ vI + 2 µS ~ P = p + λ ( v ) + µ 2 v + µ ( v )ν= µ ρ12

λ Dv 1 = f p + ν 2 v + ν + ( v ) 对应的NS方程 方程： 对应的 方程： ρ Dt ρ

本构方程形式一： 本构方程形式一：

~ ~ ~ ~ 2 P = pI µ vI + 2 µS 3 µ ~ 2 P = p + µ v + ( v ) 3 Dv 1 ν 2 = f p + ν v + ( v ) 对应的NS方程 方程： 对应的 方程： Dt 3 ρ

的粘性可压缩牛顿流体的运动微分方程，即纳维可压缩牛顿流体的运动微分方程 上式为 µ = const 的粘性可压缩牛顿流体的运动微分方程，即纳维 斯托克斯方程，简称N-S方程 方程。 斯托克斯方程，简称N-S方程。 对于不可压缩流体， 对于不可压缩流体， v = 0 不可压缩流体

Dv 1 = f p + ν 2 v ρ Dt

Dvx 1 p = fx +ν 2vx Dt ρ x Dv y 1 p 2 = fy +ν v y Dt ρ y Dvz 1 p 2 = fz +ν vz Dt ρ z

讨论： 讨论：Dv 1 ν 2 = f p + ν v + ( v ) Dt 3 ρ(1) 物理意义：单位质量流体惯性力、质量力、压力合力 物理意义：单位质量流体惯性力、质量力、 和粘性力平衡。粘性力包括剪应力与附加法向应力。 和粘性力平衡。粘性力包括剪应力与附加法向应力。 (2) 适用条件：( ) µ = const 适用条件：( :(1) Newton流体； Newton流体； 流体

(2)层流运动； )层流运动； (3)湍流瞬时运动。 )湍流瞬时运动。NS (3) 简化情形： eq. 简化情形：

µ =0Euler eq.

v=0

静力学方程14

(4) 方程组的封闭性： 方程组的封闭性： 未知量 5个：

p, ρ , v x ,v y ,v z ρ + ( ρ v) = 0 t Dv 1 ν = f p + ν 2 v + ( v ) ρ Dt 3

基本方程(4个 基本方程(4个):

补充方程(状态方程) 补充方程(状态方程): 对于不可压缩均匀流体， 对于不可压缩均匀流体，

ρ = const

流体密度是压力的函数(正压流体), 流体密度是压力的函数(正压流体)

ρ = ρ ( p)

密度是压力和温度的函数(斜压流体), 密度是压力和温度的函数(斜压流体) 增加了一个待求的热力学参数——温度 。 温度T。 增加了一个待求的热力学参数 温度

ρ = ρ ( p, T )

补充方程(能量方程) 补充方程(能量方程)15

3. 动能平衡与内能平衡方程3.1 能量方程热力学第一定律

2 2 v v ~ + ρ e + v P v + q = ρf v + ρq ρ e + t 2 2

q = k T2 2 v v ~ + ρv e + = ρf v + v P + ρq + (k T ) ρ e + 2 2 t

(

)

2 v D ~ e + = ρf v + v P + ρq + (k T ) ρ Dt 2

(

)