初三圆知识点,专项复习

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《圆》重要章节知识点复习

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 d r 点C在圆内； 2、点在圆上 d r 点B在圆上； 3、点在圆外 d r 点A在圆外；

练习题：一个圆的直径为8cm，到圆心的距离为5cm，则该点在圆

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点；

A

练习题：、一个点到圆的最短距离为3cm，到圆的最长距离为9cm，则这个圆的半径为

四、圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点 d R r； 外切（图2） 有一个交点 d R r； 相交（图3） 有两个交点 R r d R r；

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内切（图4） 有一个交点 d R r； 内含（图5） 无交点 d R r；

图1

图2

五、垂径定理

图4

图5

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径 ②AB CD ③CE DE ④ 弧BC 弧BD ⑤ 弧AC 弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC 弧BD 六、圆心角定理

B

D

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：① AOB DOE；②AB DE；

③OC OF；④ 弧BA 弧BD

练习题：如图， O为 ABC的外心，若 BAC 50,则 OBC

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七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵ AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴ AOB 2 ACB 2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O中，∵ C、 D都是所对的圆周角 ∴ C D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵ C 90 ∴ C 90 ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC中，∵OC OA OB

B

B

A

∴△ABC是直角三角形或 C 90

O

A

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 6、如图四边形ABOC，（O为圆心），若 BOC 130,则 A _____

B

八、圆内接四边形

A

D

B

5题图

C

6题图

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴ C BAD 180 B D 180 DAE C

练习题5：边形ABCD内接于⊙O，若 ABC 150,则 ADC _______

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7、如图， AOB 110,则 ACB _______

B

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线

7题图

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 11、如图，⊙O的半径为6，弦AB 10,M是弦AB上的动点，最线段OM的最小值为，最大值为

十、切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA PB PO平分 BPA

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， ∴PA PB PC PD

B

D

11题图

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O中，∵直径AB CD， ∴CE AE BE

2

B

A

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆

交点的两条线段长的比例中项。

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即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ PA PC PB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PC PB PD PE

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：Rt

O1O2C中，AB2 CO12

（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt

BOD中进行：OD:BD:OB 2；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt

OAE中进行，OE:AE:OA

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt

OAB中进行，AB:OB:OA 2.

2

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十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：l

n R

； 180

O

l

n R21

lR （2）扇形面积公式： S

3602

n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

S表 S侧 2S底=2 rh 2 r2

（2）圆柱的体积：V r2

h

（2）圆锥侧面展开图

（1）S2

表 S侧 S底= Rr r （2）圆锥的体积：V 1

r2

3

h

A

D1B

C1

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中考真题

1（陕西）．如图，在RT△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE

（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC外界圆的半径

2(安徽)．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（） A．19 B．16 C．18 D．

20

3（福州）.（满分11分）

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sinP=

3

，求⊙O的直径。 5