[教案精品]新课标高中数学人教A版必修二全册教案2.3.3直线与平面垂直、平面与

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第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

（一）教学目标1．知识与技能

（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；

（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法

（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；

3．情感、态度与价值观

通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.

（二）教学重点、难点两个性质定理的证明.（三）教学方法

学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.

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b′是经过 O 与直线 a 平行的 直线 ∵a∥b′, a ⊥ α ∴b′⊥a 即经过同一点 O 的两线 b、 b′都与 α 垂直这是不可能的， 因此 b∥a. 2.直线与平面垂直的性质 定理 垂直于同一个平面的两条 直线平行 简化为：线面垂直 线线 平行 二、 平面与平面平行的性质 定理 1.问题 黑板所在平面与地面所在 平面垂直， 你能否在黑板上画一 条 直 线 与 地 面 垂 直 ？ 教师投影问题，学生思考、 观察、讨论，然后回答问题 生：借助长方体模型，在 长方体 ABCD – A′B′C′D′中，面 A′ADD′⊥面 ABCD,A′A⊥AD, AB⊥A′A ∵ AD ∩ A′A = A ∴A′A⊥面 ABCD 故只需在黑板上作一直线 2 . 例 1 设 α⊥β , 探索新知 与两个平面的交线垂直即可. 师：证明直线和平面垂直 一般都转化为证直线和平面内 两条交线垂直，现 AB⊥CD,需 找一条直线与 AB 垂直， 有条件

α ⊥ β 还没有用，能否利用

上课效率.

本 例 题的难点 是构造辅 助线， 采用 分析综合 法能较好 地解决这 个问题.

α ∩ β =CD,AB α , AB⊥CD,AB⊥CD = B 求证 AB ⊥ β

证明：在 β 内引直线 BE⊥ CD,垂足为 B,则∠ABE 是二 面 角 α CD β 的 平 面 角 . 由α ⊥ β 知 ， AB ⊥ BE, 又 AB ⊥

α ⊥ β 构造一条直线与 AB 垂直

呢？ 生：在面 β 内过 B 作 BE⊥ CD 即可. 师：为什么呢？ 学生分析，教师板书

CD,BE 与 CD 是 β 内的两条相 交直线，所以 AB⊥ β 3.平面与平面垂直的性质

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定理 两个平面垂直， 则一个平面 内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直 简记为：面面垂直 线面 垂直. 例 2 如 图，已知平面α, β ,α ⊥ β ,

师投影例 2 并读题 生：平行 师：证明线面平行一般策 略是什么？ 生：转证线线平行 师：假设内一条直线 b∥a 则 b 与 α 的位置关系如何？ 生：垂直 师：已知 b α , α ⊥ β ,怎 样作直线 b? 生：在 α 内作 b 垂直于 α 、β 的交线即可.

直线 a 满足a ⊥ β , a α ,试判断直线 a

与平面 α 的位置关系. 解：在 α 内作垂直于 α 与β 交线的直线 b,

因为 a ⊥ β ,所以 b ⊥ β 因为 a ⊥ β ,所以 a∥b. 又因为 a α , 所以 a∥ α . 即直线 a 与平面 α 平行. 典例分析 例 3 设平面 α ⊥平面 β , 点 P 作平面 β 的垂线 a, 试判断 直线 a 与平面 α 的位置关系？

巩固所学 知识， 训练 化归能力.

学生写出证明过程，教师 投影. 师投影例 3 并读题，师生

巩固所学 知识， 训练 分类思想 化归能力 及思维的 灵活性.

证明：如图，设 α ∩ β = c, 共同分析思路，完成证题过程， 过点 P 在平 面 α 内作直 线 b⊥c,根 据平面与平 面垂直的性 质 定 理 有b⊥β.

然后教师给予评注. 师：利用“同一法”证明 问题主要是在按一般途径不易 完成问题的情形下，所采用的 一种数学方法，这里要求做到 两点.一是作出符合题意的直线 不易想到，二是证直线 b 与直 线 a 重合，相对容易一些，本 题注意要分类讨论，其结论也 可作性质用. 学生独立完成

因为过一点有且只有一条 直线与平面 β 垂直，所以直线 a 与直线 b 垂合，因此 a α . 1. 判断下列命题是否正确， 随堂练习 正确的在括号内画“√”错误的 画“×”.

巩固、 所学 知识

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(1)a.垂直于同一条直线 的两个平面互相平行. ( √ ) b.垂直于同一个平面的两 条直线互相平行. ( √ ) c.一条直线在平面内，另 一条直线与这个平面垂直， 则这 两条直线互相垂直. ( √ ) (2)已知直线 a, 和平面 bα ,且 a⊥b,a⊥ α ,则 b 与 α

的位置关系是

.

答案：b∥ α 或 b α . 2.

(1)下列命题中错误的 .. 是( A ) A.如果平面 α ⊥平面 β , 那么平面 α 内所有直线垂直于 平面 β . B.如果平面 α ⊥平面 β , 那么平面 α 内一定存在直线平 行于平面 β . C.如果平面 α 不垂直平面 那么平面 α 内一定不存在直 β, 线垂直于平面 β . D.如果平面 α ⊥平面 γ , 平面 β ⊥平面 γ ,α ∩ β = l ,那 么l ⊥ γ . (2)已知两个平面垂直， 下列命题( B ) ①一个平面内已积压直线 必垂直于另一平面内的任意一 条直线. ②一个平面内的已知直线 必垂直于另一个平面的无数条 直线. ③一个平面内的任意一条 直线必垂直于另一个平面. ④过一个平面内任意一点

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备选例题

例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面 垂直，a是 内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？

a ACAC

【解析】 a AB

a

AC AB

A

a 平面ABC

a BC

BC 平面ABC

【评析】若BC与 垂直，同理可得AB与 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，

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证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．

例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知 ⊥r， ⊥r， ∩ = l，求证：l⊥r．

【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面 、 垂直．或由面面垂直的性质易在 、 内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．

【证明】法一：如图，设 ∩r = a ， ∩r = b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．

∵ ⊥r， ⊥r，

∴m⊥a，n⊥ （面面垂直的性质）． 又 ∩ = l，

∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，n r ∴l⊥r．

法二：如图，设 ∩r = a， ∩r = b，在 内作m⊥a，在 内作n⊥b． ∵ ⊥r， ⊥r， ∴m⊥r，n⊥r．

∴m∥n，又n ，m ， ∴m∥ ，又 ∩ = l，m ， ∴m∥l，

又m⊥r，∴l⊥r．

【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．