《志鸿优化设计》2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第九章解析几何

9.5 椭圆

考纲要求

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．理解数形结合的思想．

3．了解椭圆的简单应用，了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

1．椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__________，两焦点间的距离叫做椭圆的__________．

x2y2

1．已知椭圆1，长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于( )．

10－mm－2

A．4 B．5 C．7 D．8 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )．

4321A． B． C． D．

5555

1

3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则该椭

3

圆方程为( )．

x2y2x2y2

A．1 B．1

144128362022xyx2y2

C．＝1 D．＋1

32363632

x2y21

4．若焦点在x轴上的椭圆＝1的离心率为，则m等于( )．

2m2

382

A．3 B． C． D．

233

x2y2

5．椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；

92

∠F1PF2的大小为__________．

x2y2

【例1－1】已知F1，F2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，

ab1

若△PF1F2的周长为12，离心率e__________．

2

【例1－2】一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

方法提炼

1．在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数2a＞|F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．

2．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤

(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．

x2y2x2y2

(2)设方程：根据上述判断设方程1(a＞b＞0)或1(a＞b＞0)．

abba

(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．

请做演练巩固提升3

二、椭圆的几何性质

x2y2

【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2＋＝1(a＞b＞0)

ab

的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为__________．

一、椭圆的定义及标准方程

方法提炼

离心率是椭圆的几何性质中考查的重点，求离心率的方法通常是根据条件列出a，c所满足的齐次方程(或不等式)，然后再求离心率的值或取值范围．

请做演练巩固提升

4

椭圆主观题的规范解答

x2y23

【典例】(12分)(2012山东高考)如图，椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为ab2

线x＝±a和y＝±b所围成的矩形

ABCD的面积为8.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设直线l：y＝x＋m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个

|PQ|

不同的交点S，T.求的最大值及取得最大值时m的值．

|ST|

规范解答：(1)设椭圆M的半焦距为c，

c3

由题意得 a2 4ab＝8，

a2＝b2＋c2，

所以a＝2，b＝1.(3分)

x22

因此椭圆M的方程为y＝1.(4分)

4

x22 y＝1，(2)由 4整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，

y＝x＋m

由Δ＝64m2－80(m2－1)＝80－16m2＞0， 5＜m5.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

4(m2－1)8m

则x1＋x2＝－，x1x2＝55

所以|PQ|(x1－x2)＋(y1－y2) ＝2[(x1＋x2)－4x1x2] ＝2(5－m)(－＜m＜．(7分) 5

线段CD的方程为y＝1(－2≤x≤2)，线段AD的方程为x＝－2(－1≤y≤1)．

①不妨设点S在AD边上，T在CD边上，可知1≤m＜5，S(－2，m－2)，D(－2,1)， 所以|ST|

＝2|SD|2[1－(m－2)]＝2(3－m)，

5－m|PQ|4

因此＝，

|ST|5(3－m)令t＝3－m(1≤m＜5)，

则m＝3－t，t∈(35，2]，

|PQ|5－(3－t)446所以＝－＋－1 |ST|5t5tt

254

＝－4 t4＋4， 5

由于t∈(35，2]，

1 135 所以 ， t 24

134|PQ|25因此当，即tm.(9分)

t43|ST|53

②不妨设点S在AB边上，T在CD边上， 此时－1≤m≤1，

因此|ST|＝2|AD|＝22，

|PQ|2此时＝5－m，

|ST|5

|PQ|所以当m＝0时，.(10分)

|ST|5

③不妨设点S在AB边上，T在BC边上，－＜m≤－1，

|PQ|55

由椭圆和矩形的对称性知的最大值为，此时m＝－.

|ST|535|PQ|25

综上所述，当m＝m＝0时，最大值为.(12分)

3|ST|5

答题指导：从圆锥曲线定义入手掌握有关知识，注意总结规律和防范细节性的错误．

x2y2

1．(2012江西高考)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分

ab

别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )．

151

A． B． C． D．5－2

452

2．已知椭圆的中心为原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线x2＝－43y的焦

2

点重合，则此椭圆方程为( )．

2

x222yA．x＋1 B．＋y＝1

4422xyx2y2

C．1 D．＋1

164416

3．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为____________________．

4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围为__________．

y22

5．设F1，F2分别是椭圆E：x＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相

b

交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求|AB|；

(2)若直线l的斜率为1，求b的值．

参考答案

基础梳理自测 知识梳理

1．焦点 焦距

c

2．2a 2b 2c c2＝a2－b2

a

基础自测

1．A 解析：椭圆焦点在x轴上， ∴a2＝10－m，b2＝m－2.

又c＝2，∴(10－m)－(m－2)＝4. ∴m＝4.

2．B 解析：由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b.

又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，

3

∴ee＝－1(舍去)．

5

c1

3．D 解析：2a＝12

a3

∴a＝6，c＝2，b2＝32，

x2y2

∴椭圆的方程为＝1.

3632

4．B 解析：∵a2＝2，b2＝m， ∴c2＝2－m.

c22－m12

∵e＝＝a243∴m＝.

2

5．2 120° 解析：由题意知a＝3，b2，c＝7. 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6. ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2. 又∵|F1F2|＝27，

1

在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，

2

∴∠F1PF2＝120°. 考点探究突破

x2y2c

【例1－1＝1 解析：由于△PF1F2的周长为2a＋2c＝12，椭圆的离心率e＝

1612a1

＝ 2

x2y2

故a＝4，c＝2，b＝12，椭圆的标准方程为＋1.

1612

【例1－2】解：如图所示，设动圆的圆心为C，半径长为r

.

2

则由圆相切的性质知，|CO1|＝1＋r，|CO2|＝9－r， ∴|CO1|＋|CO2|＝10，而|O1O2|＝6＜10.

∴点C的轨迹是以O1，O2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c＝6，b＝4.

x2y2

∴动圆圆心的轨迹方程为＝1.

2516

【例2】27－5 解析：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，

bb

直线A1B2的方程为y＋b，直线B1F的方程为y－b，

ac

2ac，b(a＋c).

联立解得交点T a－ca－c

ac，b(a＋c)在椭圆上，

又∵中点M a－c2(a－c) b(a＋c)2

ac2 a－c 2(a－c) 则＋1 3a2－c2－10ac＝0，即e2＋10e－3＝0. ab

又∵0＜e＜1，∴e＝27－5. 演练巩固提升

1．B 解析：因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点， 所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c. 又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列， 所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.

c所以离心率e＝B.

a5

2．A 解析：抛物线的焦点为(03)，椭圆的中心在原点，则所求椭圆的一个焦点为(0，－3)，即半焦距c＝3.

c3

又离心率e＝＝，

a2

所以a＝2，b＝1.

22y故所求椭圆方程为x＋1. 4

a－c3， a＝23，x2y2y2x2

3．＝1或＋＝1 解析：由题意知 c1解得 129129，c＝3. a2

x2y2y2x2

∴椭圆方程为1或＋＝1.

129129

1 x2y24．21 解析：不妨设椭圆方程为1(a＞b＞0)，

ab

令|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，

t12＋t22－|F1F2|2

则cos 60°＝

2t1t2

(t1＋t2)2－|F1F2|2－2t1t2＝，

2t1t2

∴t1t2＝4a2－2t1t2－4c2.

t1＋t2 224

∴t1t2＝b2≤ 3 2 ＝a. ∴3a2≥4b2＝4(a2－c2)． c11∴∴e. a22

1

又0＜e＜1，∴e∈ 2，1 .

5．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

4

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝3(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b.

y＝x＋c，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 2y2

x＋b1.化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.

－2c1－2b2

则x1＋x2xx＝1＋b121＋b因为直线AB的斜率为1， 所以|AB|2|x2－x1|， 4

即2|x2－x1|. 3

4(1－b2)4(1－2b2)88b422

则＝(x1＋x2)－4x1x2. ，解得b92(1＋b)1＋b(1＋b)