2013高三数学二轮专题二第1讲三角函数的图象与性质

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高考真题感悟

第1讲

第1讲【高考真题感悟】 (2012· 陕西)函数

三角函数的图象与性质

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π f(x)=Asin ωx-6 +1(A>0,ω>0)的最大值为

3,

π 其图象相邻两条对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式； α π (2)设 α∈ 0,2 ,f 2 =2,求 α 的值.

高考真题感悟解 (1)∵函数 f(x)的最大值为 3,

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∴A+1=3,即 A=2.

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π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2, ∴最小正周期 T=π,

∴ω=2,∴函数 f(x)的解析式为(2)∵f π y=2sin 2x-6 +1.

α π =2sin α- +1=2, 6 2

π 1 ∴sin α-6 =2.

高考真题感悟π ∵0<α< , 2 π π π ∴-6<α-6<3, π π ∴α-6=6, π ∴α=3.考题分析

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本题主要考查三角函数的化简、三角函数的图象和性

质以及角的求解问题. 重点考查了分析问题和处理问题的能力. 这 些均是高考的必考点和热点问题.

易错提醒

(1)不知道两相邻对称轴的间距与周期的关系，从而不

能正确求出函数的周期；(2)已知三角函数求角时，易忽略 α 的范 围，导致答案求解错误.

主干知识梳理

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本 讲 1.任意角的三角函数 栏 (1)设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那 目 开 y 关 么 sin α=y,cos α=x,tan α= .

x

(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切， 四余弦.

主干知识梳理2.诱导公式

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公式一公式二 公式三 公式四 公式五

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sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α, tan(kπ+α)=tan α(k∈Z)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tan α sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan αsin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α π π sin( -α)=cos α,cos( -α)=sin α 2 2π π sin( +α)=cos α,cos( +α)=-sin α 2 2

公式六

主干知识梳理3. 同角三角函数基本关系式 sin α sin2α+cos2α=1,tan α= (cos α≠0). cos α 4.正弦、余弦、正切函数的性质

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函数 图象

y=sin x

y=cos x

y=tan x

定义域值域

R[-1,1]

R[-1,1]

π {x|x≠ +kπ, k∈Z} 2

R

主干知识梳理

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奇偶性

奇函数2ππ π 在[- +2kπ, + 2 2 2kπ](k∈Z) 上 单 调 递增； π 3π 在 [ + 2kπ , + 2 2 2kπ](k∈Z) 上 单 调 递减

偶函数2π在 [ - π + 2kπ ,

奇函数π

本 最小正 周期 讲 栏 目 开 关

单调 性

π π 在(- +kπ, 2 2 2kπ](k∈Z) 上 单

调递增；在[2kπ, +kπ)(

k∈Z)上 π+2kπ](k∈Z)上 单调递增 单调递减

主干知识梳理

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最值

π 当 x= +2kπ,k∈Z 2 时，y 取得最大值 1; π 当 x=- +2kπ, k∈Z 2 时，y 取得最小值-1

当 x=2kπ,k∈Z 时， y 取得最大值 1; 当 x=π+2kπ,k∈Z 时，y 取得最小值-1对称中心： π ( +kπ,0)(k∈Z); 2 对称轴： x=kπ(k∈Z)

无最值

对称中心： kπ,0)(k∈Z); 对称性 对称轴： π x= +kπ(k∈Z) 2

对称中心： kπ ( ,0)(k∈Z) 2

主干知识梳理5.函数 y=Asin(ωx+φ) (ω>0,A>0)的图象 (1)“五点法”作图

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π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0, ,π, ,2π,求出 x 的值与相应的 2 2 y 的值，描点、连线可得. (2)图象变换

热点分类突破

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题型一

三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系

问题 本 讲 栏 【例 1】 (1)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴 目 重合，终边在直线 y=2x 上，则 cos 2θ 等于 ( ) 开 4 3 关 A.- 5 3 C. 5 B.- 5 4 D. 5

(2)已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终 π cos 2+α sin -π-α 边上一点 P(-4,3),则 9π 的值为________. 11π cos 2 -α sin 2 +α

热点分类突破解析

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(1)依题意得 tan θ=2, cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 2 2 ∴cos 2θ=cos θ-sin θ= 2 = =-5.故选 B. cos θ+sin2θ 1+tan2θ -sin α· α sin (2)原式= =tan α. -sin α· α cos y 3 根据三角函数的定义，得 tan α=x=-4, 3 所以原式=-4. 答案 (1)B3 (2)- 4

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意 分情况解决，机械地使用三角函数定义就会出现错误. (2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个，一个是函数名称， 一个是函数值的符号，一定要特别注意.

热点分类突破

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(1)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向 2π 运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为 ( ) 3 1 3 3 1 A. - , B. - ,- 2 2 2 2 1 3 3 1 C. - ,- D. - , 2 2 2 2 3π 3π (2)已知点 P sin 4 ,cos 4 落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为 π 3π A. B. 4 4 ( 5π C. 4 7π D. 4 )

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热点分类突破解析 (1)设 Q 点的坐标为(x,y),

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2π 1 2π 3 则 x=cos 3 =-2,y=sin 3 = 2 . 1 3 ∴Q 点的坐标为 - , . 2 2 3π π cos 4 -cos4 (2)tan θ= = =-1, 3π π sin 4 sin4

3π 3π 又 sin 4 >0,cos 4 <0,∴θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π), 7π ∴θ= 4 ,

故选 D. 答案 (1)A (2)D

热点分类突破题型二 三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式问题 π 【例 2】 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ) 2 的一段图象(如图所示),求其解析式.

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先由图象求出函数的周期，从而求得 ω 的值，再由关 键点求 φ,最后将(0, 2)代入求 A 的值.

3 7π π 3π 解 设函数的周期为 T,则4T= 8 -8= 4 , 2π ∴T=π,∴ω= T =2. 2π ∴ω= T =2.π π 又∵2×8+φ=2kπ+2 (k∈Z),

热点分类突破π ∴φ=2kπ+ (k∈Z), 4 π 又∵|φ|<2, π ∴φ=4.π ∴函数解析式为 y=Asin(2x+4). π 又图象过点(0, 2),∴Asin4= 2, 2 ∴ 2 A= 2, ∴A=2. π ∴所求函数的解析式为 y=2sin(2x+4).

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