信号与系统 习题1

t

t

t

t)

3

(

t 2)]

t

t

x[n]

n

x[n 4]

x[3 n]

n

1x[n] 1( 1)n

x[n]

n

x[3n]

x[3n 1]

n

x[(n 1)2]

1.27 解

（a）y(t) x(t 2) x(2 t)① 因为y(0) x( 2) x(2)，在t 0的输出与前后时刻的输入都有关，所以系统是记

忆的。

② 已知y1(t) x1(t 2) x1(2 t)，y2(t) x2(t 2) x2(2 t)。当

x2(t) x1(t t0)时，

y2(t) x1(t 2 t0) x1(2 t t0)，而y1(t t0) x1(t t0 2) x1(2 t t0)，

所以：y2(t) y1(t t0)。因而系统是时变的。

③已知y1(t) x1(t 2) x1(2 t)，y2(t) x2(t 2) x2(2 t)，

y3(t) x3(t 2) x3(2 t)，

当x3(t) x1(t) x2(t)时，y3(t) [x1(t 2) x2(t 2)] [x1(2 t) x2(2 t)] 所以y3(t) y1(t) y2(t)，因而系统是可加的。

当x2(t) ax1(t)时，y2(t) ax1(t 2) ax1(2 t) ay1(t)，因而系统是齐次的。 综合系统的可加性与齐次性，所以系统是线性的。

④因为y(0) x( 2) x(2)，在t 0的输出与t 2的输入也有关，所以系统是非因果

的。

⑤若x(t) B ，即输入有界，则：

y(t) x(t 2) x(2 t) x(t 2) x(2 t) 2B

所以系统是稳定的。

，即输出有界。

（b）y(t) [cos(3t)].x(t)

t t0

y(t)①可见，在t t0点的输出0仅与点的输入有关

非记忆。

②已知y1(t) [cos(3t)] x1(t)，y2(t) [cos(3t)] x2(t)。当x2(t) x1(t t0)时，

y2(t) [cos(3t)] x1(t t0)，而y1(t t0) cos(3t 3t0) x1(t t0)， y2(t) y1(t t0)，因而系统是时变的。

③已知y1(t) [cos(3t) x1(t)]，y2(t) [cos(3t)] x2(t)，y3(t) [cos(3t)] x3(t)，

当x3(t) x1(t) x2(t)时，y3(t) [cos(3t)] [x1(t) x2(t)]， 所以y3(t) y1(t) y2(t)，因而系统是可加的。

当x2(t) ax1(t)时，y2(t) [cos(3t).ax(t)] ay1(t)，因而系统是齐次的。 综合系统的可加性与齐次性，所以系统是线性的。

④因为系统是非记忆的，所以系统是因果的。 ⑤若x(t) B ，即输入有界，则：

y(t) cos(3t).x(t) cos(3t).x(t) x(t) B

稳定的。

，即输出有界，所以系统是

（c）y(t) x( )d

① t t0的输出y(t0)与t ( ,2t0)的输出有关， 系统是记忆的。 ②当输入x1(t) x(t t0)时，

输出那么

2t

y1(t) x( t0)d

2t

，令

2t t0

t0 s，则 s t0，

，因而系统是时变的。

y1(t)

2t

2t t0

x(s)ds

，

x( ) y(t t0)

2t

③已知

y1(t) x1( )d y2(t) x2( )d

2t

。

，因而系

令3

统是可加的。

x(t) x1(t) x2(t)，则

y3(t) [x1( ) x2( )]d y1(t) y2(t)

2t

2t

1 当x1(t) ax(t)时，1

的。

综合系统的可加性与齐次性，所以系统是线性的。

y(t) x( )d ax( )d ay(t)

，因而系统是齐次

④

y(5) x( )d

10

，即t 5时的输出y(5)与t ( ,10)间的输入都有关

系统是非因果的。

⑤若x(t) B ，即输入有界，则：

y(t) x( )d x( )d B d

2t

2t

2t

，所以系统是不稳定的。

0,t 0y(t)

x(t) x(t 2),t 0 （d）

① y(0) x(0) x( 2)，即y(0)与t 0,t 2的输入有关，

系统是记忆系统。 ②令x1(t) x(t t0)，则

0,t 0 0,t 0

y1(t)

x(t) x(t 2),t 01 1 x(t t0) x(t t0 2),t 0

而

0,t t0 0 0,t t0

y(t t0)

x(t t0) x(t t0 2),t t0 0 x(t t0) x(t t0 2),t t0

y1(t) y(t t0)，系统是时变的。 0,t 0y1(t) ay(t)

ax(t) ax(t 2),t 0③令x1(t) ax(t)，则，所以，系统是齐次的。

0,t 0 0,t 0

y1(t) y2(t)

x(t) x(t 2),t 01 1 x2(t) x2(t 2),t 0 已知，

当x3(t) x1(t) x2(t)时，

综上，所以，系统是线性的。

0,t 0 0,t 0

y3(t)

x3(t) x3(t 2),t 0 x1(t) x2(t) x1(t 2) x2(t 2),t 0 0,t 0 0,t 0 y1(t) y2(t) x1(t) x1(t 2),t 0 x2(t) x2(t 2),t 0

④考察t t0点，

t0 0，则y(t0) 0

t 0，则y(t0) x(t0) x(t0 2)，满足因果的定义，所以系统是因果的。 若0

若

⑤若x(t) B ，即输入有界，则：

0,t 0y(t) 2B

x(t) x(2t),t 0 ，有界，所以系统是稳定的。

0,x(t) 0

y(t)

x(t) x(t 2),x(t) 0 （e）

①考察t t0点，若x(t0) 0，则y(t0) x(t) x0(t 2)

t t0点的输出y(t0)与t t0,t t0 2点的输入有关，所以，系统是记忆的。

②令x1(t) x(t t0)，则

即

0,x(t t0) 0 0,x1(t) 0

y1(t) y(t t0)

x(t) x(t 2),x(t) 011 1 x(t t0) x(t t0 2),x(t t0) 0

因此，系统是时不变的。

0,x1(t) 0 0,x2(t) 0y1(t) y2(t)

x1(t) x1(t 2),x1(t) 0， x2(t) x2(t 2),x2(t) 0 ③已知

令x3(t) x1(t) x2(t)，则：

而

0,x3(t)t 0 0,x1(t) x2(t) 0

y3(t)

x3(t) x3(t 2),x3(t) 0 x1(t) x2(t) x1(t 2) x2(t 2),x1(t) x2(t) 0

0 0,x1(t) x2(t) 0&x1(t) 0&x2(t) 0 x(t) x(t 2),x(t) 0&x(t) 0 112

y1(t) y2(t) 1

x2(t) x2(t 2),x1(t) 0&x2(t) 0 x1(t) x1(t 2) x2(t) x2(t 2),x1(t) x2(t) 0&x1(t) 0&x2(t) 0

所以，y3(t) y1(t) y2(t) 系统是非线性的。 ④考察t t0点，

若若

x(t0) 0，则y(t0) 0

x(t0) 0，则y(t0) x(t0) x(t0 2)，满足因果的定义，所以系统是因果的

⑤若x(t) B ，则：

0,x(t) 0y(t) 2B

x(t) x(2t),x(t) 0 ，有界，所以系统是稳定的。

（f）y(t) x(t/3)

① y(1) x 1/3 ，即t 1时的输出与t 1/3时的输入有关， 系统是记忆的。

②令x1(t) x(t t0)，则y1(t) x1(t/3) x(t/3 t0)

而

y(t t0) x[(t t0)/3] x(t/3 t0/3) y1(t)，所以，系统是时变的。

③已知y1(t) x1(t/3)，y2(t) x2(t/3)，

令x3(t) x1(t) x2(t)，则：

y3(t) x3(t/3) x1(t/3) x2(t/3) y1(t) y2(t)，因而系统是可加的。

当x1(t) ax(t)时，y1(t) x1(t/3) ax(t/3) ay(t)，所以系统是齐次的。 综上，系统是线性的。

1

y( 1) x( )

3，即t 1时的输出与t 1/3时的输入有关， 系统是非因果④

的。

⑤若x(t) B ，则：

则

y(t) x(1/3) B

，所以系统稳定。

dx(t)dt （g）

x(t0 ) x(t0)dx(t)

y(t0) |t t0 limt t0时的输出与t t0,t0 的输d(t) 0①,即

y(t)

入有关，

所以系统是记忆的。

②令x1(t) x(t t0)，则

y1(t) lim

0

x(t t0 ) x(t t0)

x'(t t0) y(t t0)

所以，系统是时不变的。

③当x1(t) ax(t)时，

的。

已知

y1(t)

dx1(t)dax(t)dx(t)

a ay(t)dtdtdt，所以，系统是齐次

y1(t)

dx1(t)dx(t)y2(t) 2

dt，dt，

令x3(t) x1(t) x2(t)，则：

y3(t)

dx3(t)d[x1(t) x2(t)]dx1(t)dx2(t) y1(t) y2(t)dtdtdtdt，所以，系统

是可加的。

因此，系统是线性的。

④

y(t0)

x(t0 ) x(t0)dx(t)

|t t0 limt t0时的输出与t t0,t0 的d(t) 0，可见

输入有关，

系统是非因果的。

⑤若输入x(t)为图(1)所示的矩形波，输入是有界的，那么输出

示的脉冲，

而y

( 1) y(t)

dx(t)

dt为图(2)所

1.31解

x2(t) x1(t) x1(t 2)

又 系统是LTI的.

y

2(t) y1(t) y1(t 2)

1.x4(t)

(1)

2

t

( 1)

x4(t) x'

1

(t)又 系统是LTI的.

y4(t)

y'1(t)

x3(t) x1(t 1) x1(t)

又 系统是LTI的.

y3(t) y1(t 1) y1(t)

请大家再思考以下两个问题:

x5(t)

对应y5(t) ?

(1)

4

t

( 1)

y6(t) ?