数学物理方程第二版习题解答 第三章

复旦第二版

第三章 调 和 方 程

§1 建 立 方 程 定 解 条 件 1． 设u(x1,x2, ,xn)=f(r) (r=

x12+ +xn2)是n维调和函数（即满足方程

2u

x+ +

2u

1

2 x2=0）

，试证明 n

f(r)=c1+

c2r

n 2

(n≠2)

f(r)=c1

1+c2Inr

(n=2)

其中c1,c2为常数。

证： u=f(r), u r

x x=f'(r) =f'(r) ir

i xi 2u

=f"

(r) xi2

'

1'

xi2 xi

2r2+f(r) r f(r) r3 n

∑n

xi2

∑ 2u

∑

n

xi2

r) i=1

x2=f"(+f'(r)

n

f'(r) i=1i=1i

r2rr

3=f"(r)+

n 1r

f'

(r) 即方程 u=0化为 f"(r)+

n 1r

f'

(r)=0

f"(r)f'(r)

=

n 1

r

所以 f'(r)=A1r (n 1) 若n≠2，积分得 f(r)=

A1

+2

r n+2 n+c1

即n≠2，则 f(r)=cc1+

2

r

n 2

若n=2，则 f'(r)=A

1r

故 f(r)=c1+A1Inr

即n=2，则 f(r)=c1+c2In

1r

2． 证明拉普拉斯算子在球面坐标(r,θ, )下，可以写成

u=1

2 u1 u1 2 u

r2 r(r r)+r2sinθ θ(sinθ θ)+r2sin2θ 2

=0

证：球坐标(r,θ, )与直角坐标(x,y,z)的关系：

x=rsinθcos ，y=rsinθsin ，z=rcosθ （1）

2 u=

2uuu x

2

+

2 y

2

+

z

2

为作变量的置换，首先令ρ=rsinθ，则变换（1）可分作两步进行 x=ρcos ， y=ρsin （2）

ρ=rsinθ， z=rcosθ （3）

由（2）

u= ucos + usin ρ x y u = u x( ρsin )+ u y(ρcos )

由此解出

u u u x= ρcos

sin

ρ

u （4）

y=u ρsin + u

cos ρ

再微分一次，并利用以上关系，得

39

复旦第二版

2u

x

2= x( u ρcos usin ρ) =cos ρ( u usin

ρcos ρ

sin ρ ( u

ρ

cos usin

ρ)

=cos

2

2u2sin cos

2usin2 2u

ρ2

ρ

ρ +ρ

2 2+

+2sin cos usin2 u

ρ2 +ρ ρ 2u

y2= y( u ρsin + u cos

ρ) =sin ( usin u cos

ρ ρ + ρ

)+

+cos ρ ( u

ρsin + u cos

ρ

)

=sin2

2u

2sin cos 2ucos2 2u

2+

ρρ ρ +ρ2

2 2

2sin cos ρ

2 ucos u

+ρ ρ所以

2u 2u2u 2u x

2

+

y

2

=

ρ

2

+

1

ρ

2

2

+

1 u

ρ ρ （5） 2u 2u 2u 2u 2u

x2+1

2u

1 u

y2+ z2= ρ2+ z2+ρ2

2+ρ ρ 再用（3）式，变换

2u 2u ρ

2

+

z

2

。这又可以直接利用（5）式，得

2

2u21 2u

1 u

ρ2

+

u z2

=

u r2

+

r2

θ

2+r r 再利用（4）式，得 u u ρ=

rsinθ+ ucosθ

θ r

所以

2u

2u 2u2

u

+1 2

x2+

y2

+ z2= 2u r2

+

1

r2 θr u

r

+2

+

1

u

+

1

u ucosθr2sin2θ 2

rsinθ( rsinθ+ θ r

) = 2u1

2 r2

+

1

r2

2u

θ2

+

r2sin2θ

u

2

+

2r u1 u

r+r2ctgθ

θ

即

=1

2 u1 u1 2 uu

r2 r(r r)+r2sinθ θ(sinθ θ)+r2sin2θ

2=03． 证明拉普拉斯算子在柱坐标(r,θ,z)下可以写成

u=1 u1 2u 2r r(r r)+u

r2 θ2+ z

2

证：柱坐标(r,θ,z)与直角坐标(x,y,z)的关系 x=rcosθ， y=rsinθ， z=z

利用上题结果知

22

2uuu1 2u x2

+

y2

=

r2

+

r2 θ2

+

1 u

r r

=1 r r(r u r)+1 2u

r2 θ

2 所以

u=1 r r(ru r)+1 2u 2u

r2 θ2+ z

2 40

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4. 证明下列函数都是调和函数

（1）ax+by+c (a, b, c为常数) 证：令 u=ax+by+c, 显然

故 shnysinnx为调和函数

同理，其余三个函数也是调和的

（5） shx(chx+cosy) 1和siny(chx+cosy) 1

2u x

2

=0,

2u y

2

=0.

证： 令 u=shx(chx+cosy) 1

u

=chx(chx+cosy) 1 sh2x(chx+cosy) 2 故 u=0，所以u为调和函数 (2)x2 y2和2xy

2u x2

=2, 2u

y

2=2,。所以 u=0。u为调和函数 令 v=2xy 则

2v

x

2=0, 2v

y2=0。所以 v=0。v为调和函数

(3) x3 3xy2和3x2y y3 证： 令 u=x3 3xy2

2u

x

2

=6x, 2u y2= 6x,所以 u=0,u为调和函数。 令 v=3x2y y3

2v x2

, 2=6yv

y

2= 6y。所以 v=0，v为调和函数。 (4) shnysinnx,shnycosnx,chnysinnx和chnycosnx(n为常数) 证： 因

(shny)y"=n2shny (chny)y"=n2chny

(sinnx)x"= n2sinnnx (cosnx)x"= n2coxnx

所以 (shnysinnx)xx= (shnysinnx)yy 即 (shnysinnx)=0

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x

=(chx+cosy) 2(1+chxcosy) 2u x2

=(chx+cosy) 2shxcosy 2(chx+cosy) 3shx(1+chxcosy)=(chx+cosy) 3(shxcox2y 2shx shxchxcosy)

u

=shxsiny(chx+cosy) 2 y

2

u y2

=shxsiny(chx+cosy) 2+2(chx+cosy) 3shxsin2y

=(chx+cosy) 3(shxchxcosy+shxcos2y+shxchxcosy)

2u2u x2

+

y2

=(chx+cosy) 3(2shxcos2y 2s …… 此处隐藏：15307字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……