高考第一轮复习——一元二次不等式、基本不等式及其应用(理) 2

高考其应用

一、学习目标：

——一元二次不等式、基本不等式及

1. 掌握一元二次不等式的解法，会设计求解的算法框图。

2. 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系，并能利用它们的关系解决最值、恒成立、二次函数零点的分布问题。

3. 了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题。

二、重点、难点：

重点：

1. 一元二次不等式的解法及其简单的应用。 2. 利用基本不等式解决简单的最值问题

难点：利用一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系解决最值、恒成立、二次函数零点的分布问题。

三、考点分析：

一元二次不等式、基本不等式及其应用是新课标高考的重点之一，主要考查一元二次不等式的解法及三个“二次”（一元二次不等式、一元二次方程、二次函数）之间的关系。基础知识的考查以选择、填空题为主，综合题将与集合、导数、解析几何、数列等知识联系在一起考查学生的能力，题目难度偏大。对基本不等式的考查主要是利用基本不等式求最值的方法及其应用。考查的题型有选择、填空题或涉及不等式、函数应用的综合试题。

一、不等关系及一元二次不等式的解法

1. 比较两个实数a，b大小的方法—差值法、商值法。 2. 不等式的性质：

（1）若a>b，b>c，则a>c； （2）若a>b，则a+c>b+c； （3）若a>b，c>0则ac>bc； （4）a>b，c>d a+c>b+d；

（5）a>b>0，c>d>0 ac bd 0；

bn, 。

3. 一元二次不等式的解法。

22（

（6）a>b>0，n N,n 1 a

n

4. 一元高次不等式、分式不等式的解法。 （1）一元高次不等式的解法——穿针引线法。 （2）分式不等式的解法转化为整式不等式的解法。

二、一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系（三个“二次”的关系） 1. 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系的转化。

f(x) ax2 bx c 0(a 0)的解集是（ ， ] [ ， ）

a 0且f( ) f( ) 0（ , 是方程ax2 bx c 0(a 0)的两根) 二次不等式f(x) ax2 bx c 0(a 0)的解集是[ , ],(a )

a 0且f( ) f( ) 0（ , 是方程ax2 bx c 0(a 0)的两根)

二次不等式

2. 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系的应用。 恒成立的问题：

a 0

bx c 0（a 0)在x ( , )上恒成立 0 a 02

（2）ax bx c 0,(a 0)在x ( , )上恒成立

0

2

（3）f(x) ax bx c 0(a 0)在区间[m，n]上恒成立满足的条件是：

b m n b b m n 2a 或 或 2a 2a

b f( ) 0 f(m) 0 f(n) 0 2a

（1）ax

2

3. 二次函数

f(x) ax

2

bx c(a 0)的零点分布（即一元二次方程根的分布）问题

（1）二次方程f（x）=0的一个根大于r，另一个根小于r af(r) 0

b2 4ac 0 b

r（2）二次方程f（x）=0的两个根都大于r 2a af(r) 0

b2 4ac 0

b

（3）二次方程f（x）=0的两个根都在（p，q）内 p q

2a af(p) 0,af(q) 0

af(p) 0

（4）二次方程f（x）=0的两个根一个根小于p，另一个根小于q（p<q）

af(q) 0

（5）二次方程f（x）=0有且只有一个根在（p，q）内 f(p)f(q) 0或检验f（p）

=0，f（q）=0检验另一个根在（p，q）内。

三、基本不等式及其简单的应用 1. 两个基本不等式 （1）a2

（当且仅当a=b时等号成立）。 b2 2ab,(a,b R)，

a b

,(a,b R )，（2）（当且仅当a=b时等号成立）。 2由上述的两个基本不等式得：

a2 b2ab 2a2 b2 2ab,(a,b R) 22 (a b)2 a b 2 2

a b2

a b 2(a,b R ) ab ()

2

2a ba2 b2

（a,b R ）

22 ab

2. 基本不等式的应用：

x y2p2

) （1）若x+y=p（p为定值，x，y R) xy (，（当x=y时取等号，和24

定积大）

（2）若xy=S（S为定值，x，y R )积定和小）

x y 2xy 2S,（当x y时取等号，

a b

,(a,b R )求最值时需注意三点：（一正、二定、三相等） 2

4. 基本不等式在实际问题中的应用：审题 建模 利用基本不等式求解 还原到实际问

3.

利用基本不等式题中。

知识点一：一元二次不等式的解法及其应用

例1. 基础题

2ax 3a2 0的解集是————————。

112

2. 若不等式ax bx 2 0的解集是( ,)，则a+b=_________。

23

1. 不等式a 0,x2

5x 1

3的解集是————————————————。 x 1

22

思路分析：1. 求出方程x 2ax 3a 0的两根，比较其大小，写出解集

1111

2. 根据不等式的解集是( ,)知： ,是方程的根且a<0， 由根与系数的关系求a，

2323

3. 不等式b。

3. 原不等式移项通分转化为一元二次不等式。

2ax 3a2 0的两根是x1 3a,x2 a,由a<0知：

x1 x2，故不等式的解集是(3a, a)

11

2. 由已知得： ,是方程的根且a<0， 由根与系数的关系得：

23

b 11

23a a 12 112 b 2 ( ) 23a

故a+b=－14

解题过程：1. 因为方程x2

5x 15x 1x 2

3得： 3 0 0 x 1或x 2 x 1x 1x 1

故不等式的解集是( , 2] (1, )

3. 由

解题后的思考：对一元二次不等式的解法关键是求对应方程的根，求方程的根时首先考虑用因式分解法求根，然后比较两根的大小，解分式不等式时不能随便去分母。如本例：

5x 1

3不能随意在不等号两边同乘（x－1）而应采取移项、通分等步骤将不等式转化为x 1

一元二次不等式再求解，当然也可采取讨论去分母的方法：

即原不等式转化为：

例2. 中等题

x 1 0 x 1 0

再求解。 或

3x 1) 5x 1 3(x 1) 5x 1 （

ax 11

0的解集是( , 1) ( , )，则a=_______。 x 12

2. 关于x的方程8x2 (m 1)x m 7 0的两个实数根都大于1，则m的范围是

1. 已知关于x的不等式____________。

3. 解关于x的不等式：x2思路分析： 1. 将不等式

(a a2)x a3 0

ax 1

0转化为一元二次不等式，再由不等式的解集确定a的值。 x 1

2. 利用一元二次方程根的分布原理求解。 3. 求方程x

2

(a a2)x a3 0的两根，然后比较两个根的大小，求出不等式的解集。

解题过程：

1. 由已知得：a 0,故

ax 11

0 (ax 1)(x 1) 0 a(x )(x 1) 0,a 0 x 1a

11

由不等式的解集知：a 0且 a 2

a2

f(x) 8x2 (m 1)x m 7 02

(m 1) 32(m 7) 0 (1) m 1

则 1 m 17 16 8 (m 1) m 7 0 (2)

f(1) 02

由（1）得：m 34m 225 0 m 25或m 9 由（2）得：2 0，故所求m的范围是[25, )

3. 方程x2 (a a2)x a3 0的两根是x1 a,x2 a2 （i）当a2 a a 1或a 0时，不等式的解集是(a,a2) （ii）当a2 a 0 a 1时，不等式的解集是(a2,a)

2

时，当a=0时，不等式的解集是{0}，当a=1时不等 （iii）当a a a 0或a 1

2. 设式解集{1}

故不等式的解集是：当

时，a 1或a 0时，解集是（a,a2)，当0 a 1

{0}或{1}。 解集是（a2,a)，当a 0或1时，解集是

解题后的思考：对于一元二次方程根的分布问题要充分利用二次函数的图像解决。对于解含参数的不等式，关键是讨论比较对应的方程的两个根的大小，如二次项系数含有参数要注意参数是否为零。讨论时要做到不重不漏。

例3. 综合题

f(x) ax2 bx c的图像过A(t1,y1),B(t2,y2)两点，且满足：

a2 (y1 y2)a y1y2 0，

（1）证明：y1 a或y2 a

已知二次函数

（2）证明函数f（x）的图像必与x轴有两个交点。

（3）若关于x的不等式f(x) 0的解集是{x|x m或x n,n m 0}，解关于x的不等式cx

bx a 0

2

思路分析：（1）将a (y1 y2)a y1y2 0左边因式分解可证。

（2）讨论a>0，a<0的两种情形，结合（1）的结论可证。 （3）根据不等式ax

2

2

ab

bx c 0的解集求出,（用m，n表示），由已知判断c>0，

cc

baba222

故不等式cx bx a 0可化为：x x 0，从而表示出方程x x 0的

cccc

2

两个根。进而可求出不等式cx bx a 0的解集。

解题过程：（1）由a2 (y1 y2)a y1y2 0 得：(y1 a)(y2 a) 0 y1 a,或y2 a

（2）当a>0时，图像开口向上且与x轴的交点的纵坐标至少有一个是－a且小于零，故图像与x轴有两个交点。

当a<0时，图像开口向下且与x轴的交点的纵坐标至少有一个是－a且大于零，故图像与x轴有两个不同交点。

bx c 0的解集是{x|x m或x n,n m 0}

所以：a 0,且m,n是方程ax2 bx c 0的两根

（3）由已知得：ax

2

b

m n c a n m 0， mn 0 0,a 0 c 0 故：

a mn c

a

b

a11bm n11 ,

cmncmnmnaba1111

cx2 bx a 0 x2 x 0 x2 ( )x 0

ccmnmn

11

(x )(x ) 0

mn

1111

n m 0 , x 或x

nmmn

11

故不等式的解集是{x|x 或x

mn

知识点二：基本不等式及其应用

例4. 基础题

25

的最小值是___________。 xy

2. 已知a 0,b 0且4a b 1,则ab的最大值是____________________。

1. 已知x,y满足：lgx lgy 1,则z 3. 已知圆

x2 y2 2x 4y 1 0关于直线2ax by 2 0,(a 0,b 0)对称，则

41

的最小值是____________。 ab

思路分析：

1. 由已知得x>0，y>0且xy=10，再利用基本不等式求最小值。

2. 根据基本不等式求最大值。

3. 由已知得圆心在直线2ax by 2 0,(a 0,b 0)上，由此得a，b的关系。再利用基本不等式求最值。

解题过程：

1. 由已知得: x>0，y>0且xy=10， z（等号成立：

25 2 2，故z的最小值是2。 xyxy

25

,xy 10 x 2,y 5) xy

(a 0,b 0) 1 4 ab

1 16

2. 由基本不等式得：4a b 2故ab的最大值是

1111，（等号成立的条件是：4a b a ,b ) 16282

3. 由圆的方程得：圆心（－1，2）在直线2ax by 2 0,(a 0,b 0)上，故a b 1

4141414ba

5 9 ( ) 1 ( )(a b)

abababab

故

4141 的最小值是9，（等号成立： a 4b) abab

解题后的思考：利用基本不等式求最值时应注意：“一正”，“二定”，“三相等”，如求函数y

例5. 中等题

1. 已知x 0,y 0,x 2y 2xy 8,则x 2y的最小值是____________。

2

sinx,(0 x )的最值问题，不能用基本不等式求，因为等号不成立。 sinx2

11

10ac 25c2的最小值是______________。 aba(a b)x

a恒成立，则a的取值范围是________。 3. 若对任意x>0，2

x 3x 1

2. 设a>b>c，则2a

2

思路分析：

1. 由基本不等式构造(x 2y)为未知量的不等式。 2.

把不等式的左边看作是关于

c

的二次函数，即

f(c) 25c2 (10a) c 2a2

再利用基本不等式求解。 3.

11 ，利用二次函数知识求f(c)的最小值。进而aba(a b)

xxx

a a ()恒成立利用基本不等式求函数的max.222

x 3x 1x 3x 1x 3x 1

最大值。

解题过程：

1. 由已知：8 (x 2y) 2y x (

x 2y2

),(x 0,y 0) 2

(x 2y)2 4(x 2y) 32 0（*）

（等号成立:x=2y）

x 2y 4，故x+2y的最小值是4。 解不等式（*）得：x 2y 8,(舍去），

a11 ，当c 时，f(c)取得最小值。

5aba(a b)

1111

f(c)min a2 a(a b) ab 4

aba(a b)a(a b)ab

22

当且仅当a(a b) 1且ab 1 a ,b 时等号成立。 ,c

25

xx

a恒成立 a (2)max. 3. 由已知得：2

x 3x 1x 3x 1x1111

2 , a

55x 3x 1x 32x 3xx

2. 设

f(c) 25c2 (10a) c 2a2

解题后的思考：利用基本不等式求函数的最值只能求单边最值问题，两边则不能直接利用基本不等式最值。可以进行变换，使之为使用基本不等式构造条件。但仍要注意使用基本不等式时等号能否成立。

例6. 应用与创新

已知x 0,y 0,p 0,a x2 xy y2,b pxy,c x y

（1）若p=1时，a,b,c能否是三角形的三边，说明理由。 （2）若a,b,c是三角形的三边，求p的取值范围。

思路分析：

（1）只要证明a b c,a c b,b c a能否成立即可。

（2）根据是三角形的三边，由建立不等式组，分离常数p，利用基本不等式求p的取值范围。

解题过程： （1）当p=1时，

又

成立，故当p=1时，a，b，c可以是三角形的三边。 （2）当是三角形的三边时，由 得： 对不等式①： =

=成立，故只要

（等号成立条件是x=y） 故。

对不等式②：（）成立 只要， 因为：，故 对不等式③：

综合上述知，所求p的范围是

解题后的思考：求参数的范围问题常与恒成立问题结合在一起，一般采用分离参数的方法，结合基本不等式求解。运用恒成立，恒成立等关系解决恒成立的问题。

对于一元二次不等式的解法要掌握利用二次函数图像判断其解集的各种情形，考查的题型有选择、填空题等客观试题和综合试题。客观试题一般试题难度小，易得分。对于有关三个“二次”的综合性试题难度较大，要会利用数学思想和方法解决有关不等式的综合性试题。基本不等式的考查题型大多出现在客观试题中，主要以考查基础为主。也可能出现在综合试题的某一个环节中。只要掌握基本不等式最值问题的处理方法，就能够解决这一类问题。

一、预习新知

1. 在坐标系中画出ax+by+c=0，（a≠0）表示的直线。整个坐标平面被该直线分为几个部分？ 2. 对于坐标平面内任意一点P（x，y）与直线ax+by+c=0的位置关系有几种可能？（点在直线上，点在直线下方，点在直线上方。）

二、预习点拨

1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域的确定。直线l:ax+by+c=0把直角平面分成三部分：

（1）直线l上的点的坐标满足方程：ax+by+c=0.

（2）直线l一侧的平面区域内的点满足ax+by+c>0 （3）直线l另一侧平面区域内的点满足：ax+by+c<0

故二元一次不等式ax+by+c≥0（或≤0）表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。

2. 简单的线性规划

a. 基本概念

（1）_______________叫线性目标函数。 （3）_______________叫二元线性规划。 （5）_______________称为可行解。 b. 线性目标函数最值的求解程序：

（1）_______________。（2）_______________。 （3）_______________。（4）_______________。

（2）_______________叫线性约束条件。 （4）_______________叫可行域。 （6）_______________叫最优解。

答题时间：50分钟）

一、选择题

1. 看下面有关的命题：

（1）若，则或； （2）若，则不等式无解； （3）若，则； A. 1个 A. C. 或 A. A.

（4）若，则

B. 2个

C. 3个

D. 4个

其中正确命题的个数有（ ） 2. 若，则不等式的解是（ ）

B. D. 或 D. 且

3. 方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）

B.

C.

*4. 若关于ｘ的方程有解，则实数ａ的取值范围是（ ）

B. C. ［－８，４） D. （－

B. （－∞，0）∪{1} C. （0，+∞）∪{－1}

D.

*5. 若存在实数x，使成立，则实数x的取值集合是（ ） A. {－1，1} （－∞，－1]∪[1，+∞）

二、填空题

*6. 已知ｘ＞０，ｙ＞０且２ｘ＋ｙ＝６，则_______________。

*7. 若正数ａ，ｂ满足ａｂ＝ａ＋ｂ＋３，则ａｂ的取值范围是_______________。 8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为_______________。 *9. 关于x的方程有一正根一负根，则a的取值范围是____________。

三、计算题 10. 解下列不等式 （1）；*（2）。

*11. 某造纸厂建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定，（平面图形如图所示），池的四周围的墙的建造单价是每米400元。池底的建造单价是每平方米80元，（水池所有墙的厚度不计），

（1）设计处理池的长和宽，使造价最低，并求出最低造价。

（2）由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计处理池的长和宽，使造价最低，并求出最低造价。

一、选择题

1. A 解析：只有（2）正确。 2. A

解析：由

3. D 解析：显然，否则不是一元二次方程，根据 4. D 解析：由

5. A 解析：而，

二、填空题

6. 解析：由ｘ＞０，ｙ＞０且2ｘ＋ｙ＝6，

7. [9，＋∞） 解析：由ａｂ＝ａ＋ｂ＋３

8.

解析：由题意得：，

∴可化为即 解得 9. （－1，1） 解析：由已知设

三、计算题

10. 解：（1）原不等式化为：

故原不等式的解集是（

（2）原不等式化为： 方程

故当 当

11. 解：（1）设污水处理池宽为x米，则长为米 总造价

=（元）

等号成立：

故当长为16.2米，宽为10米时，总造价最低为38880元。 （2）由限制条件得： 设，此时函数g（x）在上递增

故当时，g（x）有最小值。此时f（x）的最小值是=38882元 故当长为16米，宽为米时总造价最低，是38882元。