2010年高考数学陕西卷理科第20题剖析

罗增儒教授的大作

h,a:0 1￣ n￣ 1 c 1…

1 _ 0

~

中学般学教学参考

霉癣尝喾鼹眷荔霉罗增儒 (西师范大学数学与信息科学学院 )陕 21 0 0年高考数学陕西卷理科第 2 0题为例 l 1如图，圆 c: 2 _椭 xyZT

1基本解法——化归为往年的高考题 1 1从 20 . 0 7年高考数学陕西卷试题说起

一 1的顶点为 A、

A、 B, zB、 z焦点为 F、 z l 一，。 e F,A B l S =2 S￣BF 1B2 1.

我们在文[]曾经分析过 2 0 1中 0 7年高考数学陕西卷理科解析几何题：例 2已知椭圆 c: z 3 cyZ

(求椭圆 C的方程；工)

(设是过原点的直线，Ⅱ)Z与垂直相交于 P点、椭是与

/旦<一

T

= 1口 6 0的离心= (>> )=

圆相交于 A、两点的直线， B

\ I

率为，短轴一个端点到右焦点￣ (求椭圆 C的方程； I)

N N, ./ g

l jl .否存在上述直线 z 05一1是 商一1成立？若存在，

(I设直线 Z椭圆 C交于 A、两点，标原 I)与 B坐

求出直线 z的方程；若不存在，请说明理由. ( 0 0年高考数学陕西卷理科第 2 21 0题， 3分， 1难度系数 0 3 ) . 42

点 0到直线 l的距离为，/ AO求 X B面积的最大值 .(0 7年高考数学陕西卷理科第 2 20 1题，度系难数 03) . 6

例 l 2如图，圆 c: _椭 X Ty一1的顶点为 A - -、

文[]出了这道题目的一般性知识背景 (见 1指参文[- .1 -] 4 0第 6 6、7题 ) 2P 7题 67:结论 1已知直线 z椭圆 c: z 与 ,T ry2

—

A、 B, B、 2焦点为 F、 I 。一，。。F,A B I s = 2Scb 1。2 2 . al

如

1交于

(I)求椭圆 C的方程；

两点 A、 B,标原点 0到直线 l的距离为 d坐

(I设是过原点的直线，是与垂直相交于 1) z

P点、与椭圆相交于 A、 B两点的直线，- . I PI 一1是 o否存在上述直线 z - 使o X一0成立？若存在，求出直线 z的方程

;不存在，说明理由.若请 (0 0年高考数学陕西卷文科第 2 21 0题， 3分， 1难度系数 0 1 ) . 8

一丽 a, b则(/ AO面积的最大值为 S一； I)X B (I线段 AB的最大值为 I 一 I) ABf结论 2已知直线 z椭圆 C:x 与 zyZ一

干1交于

T

其中文科比理科少了一个由0 jA I I P _ B, 一1 gAP 一1推出 一。的步骤： - -商 一

两点 A、坐标原点 0到直线 l的距离为 d> 0则 B,,

:( -P+P ) (+商 ) o --￣ .+两 .+ . 商

上0￣ d _ -￣￣ - -

._ l I

√Ⅱ‘ b十

。+

值得注意的是，论 2中的等价关系结￣d : - v

一

1+ 0+ 0— 1

— 0 .

被破坏之后，线 z会不存在 直就于

这体现了文科、科的差别，实质内容是相同理但的.本文以理科题为载体，绍试题的求解思路和解介题启示 .

是持，坏一可编出，上但 竿就以拟保破新题 .如

罗增儒教授的大作

j~ ??嚣静 0;() 1保持上 .这时作 R AAO t B斜边上的高设 A (,, (,。满足已知条件 O y) B Y) P_

OP,斜边上的高分斜边为比例中项” O一AP由“有 P。

L B, l, A l一1现假设使 一1 商成立的直线- o . X一

P改写为向量形式￣-Pz B, p o一( )坏一 a 2破 b

.商 一 ,葡

l存在，首先有

对等式

一 (+ ).(+商 ) .+葡 . + . 商

z+

可令左右两边为同一数值而隐去恒等关系，这个数但

一1- - 4 04 o一 1— 0,

值是比，n2一时应 O不牟 当一，,有P如 6本ab一

得 O A上OB或 z1+ y一o 2 1 2 .

⑤

,

但却取 I I且 一1 一1葡，

( ) z垂直于轴时， z方程为 Y= k 1当不设的=x=

+由 O￣A,, P BI I, 一1用点到直线距离公式得这两个等式不能同时成立 (盾 )所以直线 z存矛，不一 l即，一1+ ⑥

在.声一即一

≠_商,

直线 l不存在.

将一是+m代入椭圆方程， A、 z得 .坐标所 B横满足的二次方程为(+ 4 )。 8 mx+ ( m。 1= 0, 3 k + k 4一 2): =

/十 6 a

() 3生成新题目.直线 z存在”背景，以设“不的可计为“定型”否的命题，可以设计为“索型”也探的命

题，0 0年高考数学陕西卷选择了“索型”便得例 21探， 1 1与例 1 2— _. 可见， 1与例 2有类似的知识背景：是直线例都与椭圆交于 A、两点，是原点到直线的距离为定 B都

角 t

z一

~8 m- k=√△’ t

其中△一 ( k )一 4(+4 ( m一1 ) 8i。 n 3 k ) 4 2一4 8

(+3> o ( 2 k ) .已代入⑥)f . 一 8 i k n I十 z2— b k z1一 3— 2, 4-

值，有 j,度系数也相当.都 _难1 2基本解法——假设探索法 .

得

明白了试题的生成背景之后，求解思路也就豁其

4 2 1 m - 2

然开朗了： OP￣AB,当 l题是如何尽快构成矛盾！

I 1时，一

.商一 1

l如一丽

‘

是不能成立的，若假设其同时成立，必然产生矛盾，问首先，们给出理科题 ( 1 1的一个基本解我例—)法，它与例 2的基本解法很相似，是斜截式直线方都程与椭圆方程联立，是分情况讨论；同之处在于，都不

代人⑤,把⑥代入，并有0一 z1+ .】 z2 ) y2一 z】+ ( xl m )( x2+ m ), z2 k+ k

一 (+k zz+k ( 1 1 ) 1 2 m z+ 2+ m。 )

_1 ) ( 等+一

+2 —————一

(+志 )( m 1一 8 。 m ( - 4。 1。 4~ 2) k+ 3t k ) -一———————— —

例 2指向不等关系， 1指向相等关系.对比两道例但高考题的基本解法依然可以获得求解高考题的一个启示——把新的高考题化归为往年的高考题.一

±:[ !二墨： ±垒 2 2 (垒二璺垒±兰 :3 4+ k< o,

解法 1 ( ) I = 7: I由 B 1√知 Aa 4 b一7 -,①