2010年高考数学陕西卷理科第20题剖析

罗增儒教授的大作

h,a:0 1￣ n￣ 1 c 1…

1 _ 0

~

中学般学教学参考

霉癣尝喾鼹眷荔霉罗增儒 (西师范大学数学与信息科学学院 )陕 21 0 0年高考数学陕西卷理科第 2 0题为例 l 1如图，圆 c: 2 _椭 xyZT

1基本解法——化归为往年的高考题 1 1从 20 . 0 7年高考数学陕西卷试题说起

一 1的顶点为 A、

A、 B, zB、 z焦点为 F、 z l 一，。 e F,A B l S =2 S￣BF 1B2 1.

我们在文[]曾经分析过 2 0 1中 0 7年高考数学陕西卷理科解析几何题：例 2已知椭圆 c: z 3 cyZ

(求椭圆 C的方程；工)

(设是过原点的直线，Ⅱ)Z与垂直相交于 P点、椭是与

/旦<一

T

= 1口 6 0的离心= (>> )=

圆相交于 A、两点的直线， B

\ I

率为，短轴一个端点到右焦点￣ (求椭圆 C的方程； I)

N N, ./ g

l jl .否存在上述直线 z 05一1是 商一1成立？若存在，

(I设直线 Z椭圆 C交于 A、两点，标原 I)与 B坐

求出直线 z的方程；若不存在，请说明理由. ( 0 0年高考数学陕西卷理科第 2 21 0题， 3分， 1难度系数 0 3 ) . 42

点 0到直线 l的距离为，/ AO求 X B面积的最大值 .(0 7年高考数学陕西卷理科第 2 20 1题，度系难数 03) . 6

例 l 2如图，圆 c: _椭 X Ty一1的顶点为 A - -、

文[]出了这道题目的一般性知识背景 (见 1指参文[- .1 -] 4 0第 6 6、7题 ) 2P 7题 67:结论 1已知直线 z椭圆 c: z 与 ,T ry2

—

A、 B, B、 2焦点为 F、 I 。一，。。F,A B I s = 2Scb 1。2 2 . al

如

1交于

(I)求椭圆 C的方程；

两点 A、 B,标原点 0到直线 l的距离为 d坐

(I设是过原点的直线，是与垂直相交于 1) z

P点、与椭圆相交于 A、 B两点的直线，- . I PI 一1是 o否存在上述直线 z - 使o X一0成立？若存在，求出直线 z的方程

;不存在，说明理由.若请 (0 0年高考数学陕西卷文科第 2 21 0题， 3分， 1难度系数 0 1 ) . 8

一丽 a, b则(/ AO面积的最大值为 S一； I)X B (I线段 AB的最大值为 I 一 I) ABf结论 2已知直线 z椭圆 C:x 与 zyZ一

干1交于

T

其中文科比理科少了一个由0 jA I I P _ B, 一1 gAP 一1推出 一。的步骤： - -商 一

两点 A、坐标原点 0到直线 l的距离为 d> 0则 B,,

:( -P+P ) (+商 ) o --￣ .+两 .+ . 商

上0￣ d _ -￣￣ - -

._ l I

√Ⅱ‘ b十

。+

值得注意的是，论 2中的等价关系结￣d : - v

一

1+ 0+ 0— 1

— 0 .

被破坏之后，线 z会不存在 直就于

这体现了文科、科的差别，实质内容是相同理但的.本文以理科题为载体，绍试题的求解思路和解介题启示 .

是持，坏一可编出，上但 竿就以拟保破新题 .如

罗增儒教授的大作

j~ ??嚣静 0;() 1保持上 .这时作 R AAO t B斜边上的高设 A (,, (,。满足已知条件 O y) B Y) P_

OP,斜边上的高分斜边为比例中项” O一AP由“有 P。

L B, l, A l一1现假设使 一1 商成立的直线- o . X一

P改写为向量形式￣-Pz B, p o一( )坏一 a 2破 b

.商 一 ,葡

l存在，首先有

对等式

一 (+ ).(+商 ) .+葡 . + . 商

z+

可令左右两边为同一数值而隐去恒等关系，这个数但

一1- - 4 04 o一 1— 0,

值是比，n2一时应 O不牟 当一，,有P如 6本ab一

得 O A上OB或 z1+ y一o 2 1 2 .

⑤

,

但却取 I I且 一1 一1葡，

( ) z垂直于轴时， z方程为 Y= k 1当不设的=x=

+由 O￣A,, P BI I, 一1用点到直线距离公式得这两个等式不能同时成立 (盾 )所以直线 z存矛，不一 l即，一1+ ⑥

在.声一即一

≠_商,

直线 l不存在.

将一是+m代入椭圆方程， A、 z得 .坐标所 B横满足的二次方程为(+ 4 )。 8 mx+ ( m。 1= 0, 3 k + k 4一 2): =

/十 6 a

() 3生成新题目.直线 z存在”背景，以设“不的可计为“定型”否的命题，可以设计为“索型”也探的命

题，0 0年高考数学陕西卷选择了“索型”便得例 21探， 1 1与例 1 2— _. 可见， 1与例 2有类似的知识背景：是直线例都与椭圆交于 A、两点，是原点到直线的距离为定 B都

角 t

z一

~8 m- k=√△’ t

其中△一 ( k )一 4(+4 ( m一1 ) 8i。 n 3 k ) 4 2一4 8

(+3> o ( 2 k ) .已代入⑥)f . 一 8 i k n I十 z2— b k z1一 3— 2, 4-

值，有 j,度系数也相当.都 _难1 2基本解法——假设探索法 .

得

明白了试题的生成背景之后，求解思路也就豁其

4 2 1 m - 2

然开朗了： OP￣AB,当 l题是如何尽快构成矛盾！

I 1时，一

.商一 1

l如一丽

‘

是不能成立的，若假设其同时成立，必然产生矛盾，问首先，们给出理科题 ( 1 1的一个基本解我例—)法，它与例 2的基本解法很相似，是斜截式直线方都程与椭圆方程联立，是分情况讨论；同之处在于，都不

代人⑤,把⑥代入，并有0一 z1+ .】 z2 ) y2一 z】+ ( xl m )( x2+ m ), z2 k+ k

一 (+k zz+k ( 1 1 ) 1 2 m z+ 2+ m。 )

_1 ) ( 等+一

+2 —————一

(+志 )( m 1一 8 。 m ( - 4。 1。 4~ 2) k+ 3t k ) -一———————— —

例 2指向不等关系， 1指向相等关系.对比两道例但高考题的基本解法依然可以获得求解高考题的一个启示——把新的高考题化归为往年的高考题.一

±:[ !二墨： ±垒 2 2 (垒二璺垒±兰 :3 4+ k< o,

解法 1 ( ) I = 7: I由 B 1√知 Aa 4 b一7 -,①

一

矛盾，直线 1故不存在 .

把菱形的面积公式代入 A B=2￣

B 2有 2 S B F,,。(a 2 ) (b一 2 2 ) (b, a c 2 ) (c 2 )即一2. 又 b一Ⅱ一 c, 。 ②③

() l 2当垂直于 z轴时，满足 j P}的直线方 一1 - O o -程为 z一1 z或一一 1 .

把②代人③消去 c、代入①, n一4从而后再得 ,6一 3。 .

故椭圆 c的方程为+一 1 . ④

当=时AB坐分为(号、 z 1,、的标别 1 ), (一 ) z。Yz1号 0 1 , q￣一一≠,,3有 z-Y与⑤式矛盾，直线不存在 .故 当z一一1时，同理可得直线 l也不存在.

(用假设探索法. U)

综上可知，使 :1商成立的直线 z不存在.

罗增儒教授的大作

、、

…

…

…

…

一

一

…

…

…

…

一

一

摩嚣墨I露主. 摩厦 t 一1商 .

0

把上面第 (问的探索叙述稍作变化，Ⅱ)可改写为正面陈述 . 解法 2第 (问. A( Y ) B(,z为直：Ⅱ)设 z,。, 2 Y )线 Z与椭圆 C的交点 . () z 1当不垂直于 z轴时， z方程为 Y=k 设的 x

所以，不存在上述直线 z使 一1商 .当一一 1时，理可得 A户 > 1同 P直 .

综上，不存在上述直线 l使1 3简要评析 .

评析 1由上面的常规解法可以看到： ( )例考查了椭圆的概念，圆的标准方程， 1本椭椭圆的简单性质，线与圆锥曲线的位置关系，到直直点

+m, 0P上AB,o一1用点到直线距离公式得由 I PI, - I I

—

√1 k+

一1即m—1 2, 2+k .

线的距离，线的倾斜角、率，直线的夹角 (直斜两垂直 )直线方程，,以及向量的模，向量的数量积等约 1 O个知识点.菱形面积属于初中知识 ) ( () 2求解既考查运算求解能力又考查推理论证能力.重视考查代数抽象推理正在成为高考命题的一个新动向，它改变了代数题考计算、何题考论证的传几

将一+m代人椭圆方程， A、横坐标所工得 B满足的二次方程为(+ 4 z+ 8 mx+ ( m。 1一 0, 3 k )。 k 4一 2)

有 z .一 8 i￣ 1 2一 k n

其中△: ( k ) 4(+ 4 ( m一 1 ) 4= 8 i一：

n 3 k)4 2一 8

(+3。> 0 ( 2 k ) .已代人⑥ )r

统格局 .

( )目涉及函数与方程的数学思想方法、形 3题数

l十 z2—+—k z1一 3 4 z’

.

一 8 n忌T

结合的数学思想方法、类与整合的数学思想方法、分化归与转化的数学思想方法，合用到了待定系数综

得{有

X lX 2一

4z1 m一2’

法、代人法、消元法和反证法 . 一zX+jY。,

其中“索型”不存在”反证法”是这道题的探““应三大特点 .当然解法 2了正面陈述 ) (用

一 1+ ( x1 T ( x+ m ) z2 k+ n) k 2 一 (+忌 ) X+ k ( 1 z ) m 1。 1 2 n i z+ 2+

评析 2本题的第 (I)问求解可以分解为 3步.

_1 ) ( 等+(+志 ( m 1 ) 8 + 1 ) 4一 2一 k m。一

+2 (+ 4 3 k )——一 —————一

第 1,据已知条件和椭圆的性质，步根建立口 6 c、、的三元二次方程组，现了函数与方程的数学思想，体

一

—

—

—

—

—

—

—

—

—

用到了待定系数法.第 2步，解方程组求出 a一4 b一3用到了代人。,。,法、元法.消

一一

—

(+愚 ) ( k一8一8 (+4] 1。[ 4。 ) k+ 3 k )———

—

—

—

—

—

:=:

二曼±生 2 :3 4。上 k

一

2

. 2

’

第3,步得椭圆方程山+一1一 .‘士。

又一

.

一 (+ ).(+商 )

评析 3解法 1中的第( )Ⅱ问用到了“假设探索法” .由于第 (I问是个探索性的问题， 1)事先我们不知道满足全部条件的直线 z否存在，以先假设 (是所仅

z .++商

.+

. 商

一1+o +o一

. .商 一l+>1 .

得 AP 一1 -商一

仅是假设 )直线方程满足全部条件，后应用这些条然件于直线方程和椭圆方程，果能确定出直线 (如比如在解法 1中求出 k )则这样的直线 z在；,,存如果引 出矛盾 (含有反证法的成分 )则这样的直线 Z存包，不

所以，不存在上述直线 z使的方程为一1或

一一1 .

一1商 .

() l 2当垂直于 z轴时，满足 l- P1 - o—1的直线 z -

在 .因为直线方程使用了“截式”所以要对斜率又斜，

一

这数当一时AB的标别 (导、分两种情况来讨论 .里有函数与方程的思想、形 z 1,、 P坐分为 1 )、,结合的思想、分类与整合的思想、归与转化等多种化 (一 )(, )有一(一 )商数学思想方法在作宏观调控. 1号、 0, , o号， , (未完待续) (一 ) A =>, o号， -商= ,￣P= -导