浅谈构造法在微积分中的应用

浅谈构造法在微积分中的应用

广西民族学院学报（自然科学版）

第!卷第"期

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浅谈构造法在微积分中的应用

黄淑林

（广西民族学院数学与计算机科学系，广西南宁

$(###)）

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摘要：浅谈构造法在微分中值定理的论证、反例的构想、解题证题等方面的一些应用3

关键词：微积分；构造法；应用中图分类号：*%&"文献标识码：+

构造法是微积分中常用的解题方法,它是利用转换思维的方法，根据题设条件，构想、组合成一种新的函数，方程，不等式等具体关系，使问题在新的关系下实现转化从而得到解决,

事实上，若要*（#）%*（$），即（!#）+,#%（!$）+,$&（）（）

就可以了-$)#

（!$）（!#）

故构造函数*（"）%（（"）满"&显然*!"）)

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足罗尔定理的!"#-.在（#$）上至少有一点!，使*(（!）

（（）））（）（

即!(（（）%&.!(&这就%#，)!）!$)#$)#证明了拉格朗日定理-只须,%)

柯西定理

设（、（"）：［#，上连续；（#，!"）*$］!在"在

内可导且*(（"）（#，则在（#，内至少有一$）$），$）##"$

（（））（）-使点!，

$)*#%*(*!设想函数-（"）%（（"），令-（#）%-（$），即!"）+,*（））（

（（#）%（（$），得.%)!$）+,*!#）+,*-$)*#*

（/*(（"）（$）（#））##&.*#*

（"）%（故构造函数-!"）)

（）（）

（"） *

（）（#）*$)*

显然-（"）满足罗尔定理的!"#，（#，.在$）上至

%构造法在定理证明中的应用

根据定理的条件，先构造一个函数，使这个函数符合另一

已证明成立的定理，从而使所求证的定理得到解决，这种把未知问题化归为已知问题的方法，在微积分定理的证明中常有使用,例如罗尔定理，拉格朗日定理、柯西定理是三个重要的微分中值定理，一般在证明了罗尔定理的基础上，用构造函数的方法证明后两个定理,

罗尔定理

设函数（：［#，（#，!"）$］上连续；!在"在

内可导；（#，内至少有一点!（#’!$）!#）%（!$）&则在$）#（

使!(（’$）!）%#&

现在设想，若（满足!"，但不满足#，那么是否存在!"）（#’!’$），使!(（!!）%理提出的问题-（!#）!$）（

呢？这就是拉格朗日定

)为了研究这一问题，设想函数*（"）%（（!"）+,"）&,是待定系数），显然*（"）满足!"，若适当选取,的值，使*（"）也满足#，那么问题就化归为罗尔定理了-

少有一点!（#’!’$）使-(（（!）%#，即!(!）)

（（（）（））（））即（）#*(.$)*#!%$)*"%*(**!证得柯西定理&

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收稿日期："##"0#(0%",

作者简介：黄淑林（%12"0），女，广西民族学院数学与计算机科学系副教授,

A@?万方数据

浅谈构造法在微积分中的应用

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!构造法在构造反例中的应用

数学的发展过程，是一个不断地提出问题和解决问题的

过程"而解决问题又是由给出证明或举出反例来完成，因而构造反例在数学理论中占着重要的地位!

例如在定积分的定义中，很强调两个“任意性”，即对区间［"，分法的任意性和在小区间［$%&#，#］$%］上选取!%的任意

’

（的极限不存在"这就要求在&（2’内""在2’处，)$，-）$）

)

又含有使函数值不相等的点"至"既有使相等的线性邻域，

%/

此，构造这个函数就轻而易举了"

（性，具体地说，就是要求积分和的极限$%&"（)!%）#$%"(%最

#’1-1$!（（如图!所大可取为射线上的距离’56（#(’时，#）任取）

示）"在此线性邻域3$31%内

"

如构造函数（)$，-）(

{

’

-’’或-($!

"!’

%(#

*"$｛#$%｝，#$%($%&$%&#）的存在既与［"#］的分法无关，又与!%在［$%&#，$%］

上的选取无关"对于后一个“任意性”是否必要？也就是能否构造一个函数（)$），当!%在［$%&#，$%］上取

’

不同的点时，积分和的极限$%&"（)!%）#$%也不同，

（即与"!’

%(#

!%的选取有关）"对此，举一个反例说明"事实上，狄里克雷函数就是一个最好的反例"+（$）(

{

#$为有理数"

’$为无理数"

$$

［"，#］"对于［"，#］的任一分法，

如果没有后一个任意性，若在’

’

$%&#，$%］中取!%有理数，则"+（!%）

#$%(#

%(#"# #$%

(%(#

’

’

&"；若取,%无理数，则"+（,%）#$%(

’#$%

(’!这样

%(#

"%(#

一来，积分和就有#&"和’两个不同的极限值，这种引起定义上的混乱当然是不允许的"因此，!%在

［$%&#，$%］上的选取必须是任意的，不能有所规定"

构造反例的过程就是一个研究命题的过程，是建立在对命题所涉及到的概念、理论有透彻的理解的基础上的"

例如函数（)$，-）在点（$’-’）处沿任意方向的方向导数都存在且相等，不一定有（)$，-）在点（$’-’）连续，可微，甚至连二重极限也不存在，如何构造这样一个函数呢？

我们知道，方向导数%

.只与函数（)$，-）在直线

$’

，-’

）

/$($’0$()*#

#

：{

-(-（&,1’0$+%*#$10,）上点2（’$’-’）的某线性邻域3$3(%有关（如图#

所示）

/

都存在且相等

万方数据

/(%$()*#0%

-+%*#(’但在2（’’，’）的任一邻域内，总含有使（)$-）(#的点，所以（)$-）在点2（’’’）的二重极限不存在，当然就不连续、不可微了"

/构造法在解题中的应用

根据题设条件，构想，组合成一种新的函数、方程、不等式

等具体关系，使问题在新的关系下实现转化从而得到解决，这种转换思维的方法在微积分解题过程中常有用到，例如在不等式的证明中，通常是根据要证的不等式，探索所需函数，先构造一个辅助函数，从而把不等式的证明转化为利用导数研究函数的性质"

例#

若〈’〈-$，74#"

求证：7-7&（#$&-）1$7&-717$7&（#

$&-）!

原式可化为：2-7&#

177$&-17$7&#

（

!-$&-4’）所以该不等式可用微分中值定理证明"

证：先构造函数，令（)8）(87!显然（)8）在［-，$］上满足拉格朗日定理条件，于是有

（)$）（)-）

$&-()9（!）!’1-1!1$!即

$7-7&(7!7&#-’1-1!1$!7&#4’!

.7-7&#17!7&#17$7&#!即7-7&#1777&#

$&-17$!故7-7&（#$&-）1$7&-717$7&（#

$&-）!例!设$4’，-4’，$)-!求证：$$*$0-$*-4（$0-）/’

!!此式可利用函数图形的凹凸性来证明!证：令（)8）(8$*8!84’!显然（)8）

当84’时是连续的!!"!

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浅谈构造法在微积分中的应用

广西民族学院学报（自然科学版）&##&年+月第0卷

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（#）$%&#’"(!!"

（#）$!)

*#(#

由定义%

（））（），!*（

&&

得(

..&

’’…’$#(&)&’"

&

证明：在（#，"）内至少有一点!使.#’."!’.&!’…’&.!$#(&

即要证在（#，内函数!’（+）$.#’."+’.&+&’…’"）

例+

设.#’

作函数.&+&至少有一个零点(为此，

."&.&).&&’"

在+’+’…’+(显然（!+）

&)&’"

［#，上连续，（#，在内可导，且（"］"）!#）$#(

（!+）$.#+’的图形是凹的$（!#）

当+*#，有,*#(+!,时，即

+’(+,’(,+,+,

%&(故+%&+’,%&,*（+’,）%&*

(-例)

设（在［.，上可导，（+）!+）/］!’!.）$#"0(（

/

"&

求证：（（/2.）!+）1+$0(

#

.

证：作函数3（+）$#

+

（!#）1#2

"（.

&0+2.）（&

.$+$/）则

3"（+）$（!+）20

（+2.）3)（+）$!"（+）20$#（!!"（+）$0）($3"（+）单调递减(又!3"（.）$（!.）24（.2.）$#($当+%.时

3"（+）$3"

（.）$#%$3（）单调递减，又.

+!3（.）$#

（.!#）1#2

"&

0（.2.）&

$#(

即#

/

$3（/）"3

（.）$#(（!#）&

0（.

2

/2.）&

$#(故

#

/

（.

!+）1+$"0（/2.）&

(

不等式的证明有时用到初等数学中先构造一个二次不等

式的方法(

例*

设函数（!+），（5+）在区间［.，/］

上均连续(证明：（#/

（&

/

/

.!#）（5+）1+）$

#

.

!（&+）1+ #

5（&

+）1+

.（柯西—施瓦茨不等式）

我们知道，在二次不等式6+&’7+’8%（#6*#）中，

有&$#(即7&

2*68$#(

证：对任意实数#(!（（!+）’# （5

+））&

%#($!（&+）’&# （!+）（5+）’#& 5（&

+）%#(

$构造不等式：#

/

!（&

+）1+’&#

/

#（.!+）（.

5+）1+’

#

#&

/

5（&#）1+.

%#(

/!#5（&#）

1+*#

$判别式.&"#%即

（#/*（.

!#）（5+）1+）&/

2#*&#/

1+ 5（&

+）1+.

!（#）

.

$#(故（#/

（!+）（5&

#/+）1+）$!（&

/#）1+ #5（&

+）1+(

.

.

.

利用构造函数法还可以证明某些等式(通常是根据要证明等式，先构造一个函数，后利用微分中值定理加以证明即

#"!万方数据

（!"）$.".&#’

.&’)’…’.&

&’"

$#即（!#）$（!"）(

由罗尔定理，在（#，"）内至少有一点!(使!"（!）$#，

即.#’.!’.&!

&"&!’…’.&$#(例,设（!+）在［#，"］上连续，在（#，"）内可导(且（!#）

$（

!"）$#(（!&

）$"(证明：在（#("）内至少有一点!，使(!"（!）$"(

要证!"（!）$"(即要证方程!"（+）2"$#在（#，"）内至少有一个根!(而!"（+）2"的原函数是（!+）2+(

证：作辅助函数3（+）$（!+）2+(显然3（+）在［#，"］上连续，在（#，"）

内可导，又3（"）$（!"）2"$#2"9#，3

（""&）$（!&）2"

&

$"2

&

*#(由介值定理知，在（

"

&

，"）内至少有一点，’使3（’）$#(又，!3（#）$（!#）2#$#($3（#）$3（’

）(则在［#，’］上应用罗尔定理得：在（#，’）内至少有一点!，使3"（!）$#(即!"（!）2"$#(

!（#，’）(（#，"）故在（#，"）内至少有一点!，使!"（!）$"(

在微积分的教学过程中，适当地运用构造法解题，对灵活地转换学生的思维方法，启发学生的创新能力是大有好处的%

［参考文献］

"］方初宝%数学分析选讲［-］.南宁：广西人民出版社，"/0,.&］罗爱宾等%最新高等数学复习指导［-］.北京：海洋出版社，&###.

［责任编辑

黄祖宾］

"0+页）

［［（下转第

浅谈构造法在微积分中的应用

"44"年第"期#梁丽杰T试论预科教学中数学思维的培养$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

于是（

#

因此，（!）可以证得和训练#

""

!

去分析、去解决问题，必然会激励学生学习数学的热情，提高学生学习数学的主动性和积极性，教学质量就会上新台阶#

经过这一探索、思考过程，学生的创造能力可以得到培养任何学习都离不开思维，数学学习更是这样，反过来，通过思维又促进数学的学习，在教学中教师要着力研究数学思维的教育问题，培养和发展学生的数学思维#如果我们能通过各种形式和办法启发学生去观察、去思考、去猜想、去发现、

［参考文献］

［!］马忠林#数学思维论［$］广西教学出版社%%南宁：

［"］蔡上鹤，郭思乐#论数学教学中的思维教育［&］%教材教学法，!’(’，（)）%

［责任编辑黄祖宾］

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浅谈构造法在微积分中的应用

浅谈构造法在微积分中的应用

作者：

作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

黄淑林

广西民族学院,数学与计算机科学系,广西,南宁,530006

广西民族学院学报(自然科学版)

JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY FOR NATIONALITIES(NATURAL SCIENCE EDITION QUARTERLY)2002，9(2)6次

参考文献(2条)

1.方初宝 数学分析选讲 19862.罗爱宾 最新高等数学复习指导 2000

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5.学位论文 陈勇 孤立子理论中的若干问题的研究及机械化实现 2003

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Backlund变换;2)变系数非线性发展方程的Backlund变换.第五章基于吴微分消元理论,讨论了非线性偏微分代数方程的Painleve性质.首先给出了吴微分消元的基本理论与算法,然后介绍了Painleve奇性分析的一般原理,同时介绍了一个验证P-性质的新算法,在Maple上编程实现了在不求通项公式的情况下,求出共振点,并利用吴微分消元理论最终判定非线性偏微分代数方程是否具有Painleve性质.Ⅰ第六章研究了无穷维Hamilton系统的反问题,1)一些数学物理中的

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引证文献(6条)

1.王璇 渗透到微积分教学过程中的反例[期刊论文]-中国科教创新导刊 2009(13)2.刘福保 反例教学法在数学分析中的作用和构造[期刊论文]-科技创新导报 2009(11)

3.曹辉.闫敏伦 浅论"反例"在数学分析教学中的作用和构造[期刊论文]-中国科教创新导刊 2008(26)4.王丽 从分析中的反例看古今数学思想的变化[期刊论文]-理工高教研究 2006(2)5.许金泉 浅谈数学分析中构造法的应用[期刊论文]-惠州学院学报 2005(6)6.张云艳 构造辅助函数的一种新方法[期刊论文]-黔南民族师范学院学报 2004(6)

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