福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第17讲 导数的综合应用(主要

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1.掌握利用导数解决实际生活中的优化 问题的方法和步骤，如用料最少、费用 最低、消耗最省、利润最大、效率最高等. 2.掌握导数与不等式、几何等综合问题 的解题方法.

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1.利用导数解决生活中的优化问题可归结为求 函数的最值问题 其解题的程序：读题(文字语言) 建模(数学语言) 求解(数学应用) 反馈(检验作答) 注意事项：

1 函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确 定自变量的取值范围；

2 问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合 问题的实际意义； 在函数定义域内只有一个极值， 3则该极值就是所求的最大(小)值.

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2.近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类

1 求参数的取值范围.多数给出单调性，利用导数研究函数单调性的逆向思维问题，灵活运用等价转 化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字 母参数的不等关系.

2 用导数方法证明不等式.其步骤一般是：构造可导函数 — — 研究单调性或最值 — — 得出不等关系 — — 整理得出结论.

3 与几何图形相关的最值问题.根据几何知识建立函数关系，然后用导数方法求最值.

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1.当 x≠0 时，有不等式( A.ex<1+x

)

B.当 x>0 时 ex<1+x,当 x<0 时，ex>1+x C.ex>1+x D.当 x<0 时 ex<1+x,当 x>0 时 ex>1+x

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【解法 1】 构造 f(x)=ex-x-1,则 f ′(x)=ex-1; 当 x<0 时，f ′(x)<0,函数单调递减， f(x)>f(0)=0 x<0 时，ex>x+1; 当 x>0 时，f ′(x)>0,函数单调递增，f(x)>f(0)=0,故 选 C.

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【解法 2】 利用图象易知 ex>x+1 恒成立.

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2.如图所示，直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上 绕点 O 匀速旋转(旋转角度不超过 90° )时，它扫过的圆内 阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数，它的图象大致是 ( )

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【解析】由题意，绕点 O 匀速旋转时，前部分随着 t 的增 加，S 越来越快，反映在图上是曲线斜率越来越大；后部 分，增长缓慢，曲线斜率减少，故选 D.

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3.(2011· 北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准 x 备费用为 800 元. 若每批生产 x 件， 则平均仓储时间为 天， 8 且每件产品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均每件产品的 生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( ) A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件

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【解析】设每件产品的平均费用为 y 元， 800 x 由题意得 y= + (x>0), 8 x 1 800 令 y′= - 2 =0 x=80, x∈(0,80)时， 当 y′<0, 8 x 函数单调递减；当 x∈(80,+∞)时，y′>0,函数单调 递增，且在定义域内只有一个极小值点，所以 ymin=y 极小值

=f(80)

.

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4.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨) 与每吨产品的价格 P(吨/元)之间的函数关系为 P= 1 2 24200- x ,且生产 x 吨的成本为 R=50000+200x 5 元，则该厂每月生产 200 吨产品才能使利润达 万元. 到最大，最大利润是 315

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【解析】设每月生产 x 吨产品，利润为 y 元， 1 2 则 y=Px-R=(24200- x )· x-(50000+200x) 5 1 3 =- x +24000x-50000. 5 3 2 令 y′=- x +24000=0,得 x=200. 5 所以当每月生产 200 吨产品时，利润达到最大，最 大利润是 315 万元.