第一章 质点运动学课后习题解答

第一章 质点运动学

1-1.质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量？

d2rdrdsdrddvdvdr

；；；；；；；。 dtdtdtdtdtdt2dtdt

解：

1-2.设质点的运动方程为x x(t);y y(t)

2

2

。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有

drd2r人先求出r x y，然后再根据v 和a 2求解。也有人用分量式求解，即

dtdt

d2x2d2y2dx2dy2

v () ()和a (2) (2)，问哪种方法正确？

dtdtdtdt

解：第二种方法正确

1-3． 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为x 2 6t2 2t3,式中x 的单位为m,t 的

单位为 s．求：

(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t＝4 s时质点的速度和加速度．

解： (1) 质点在4.0 s内位移的大小

Δx x4 x0 32m

(2) 由 得知质点的换向时刻为

dx

0 dt

tp 2s (t＝0不合题意)

则

Δx1 x2 x0 8.0m

Δx2 x4 x2 40m

所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为

s Δx1 Δx2 48m

(3) t＝4.0 s时

v

dx

48m s 1

dtt 4.0s

d2xa 2 36m.s 2

dtt 4.0s

1-4. 质点的运动方程为

x 10t 30t2

y 15t 20t2

式中x,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．

试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向． 解 (1) 速度的分量式为

vx

dx

10 60t dtdyvy 15 40t

dt

当t ＝0 时, v0x ＝-10 m·ｓ-1 , v0y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为

v0 v0x v0y 18.0m s 1

设v0与x 轴的夹角为α,则

22

tanα

v0yv0x

3

2

α＝123°41′

(2) 加速度的分量式为

ax

则加速度的大小为

dvdvx

60m s 2 , ay y 40m s 2 dtdt

a ax ay 72.1m s 2

设a 与x 轴的夹角为β,则

22

tanβ

ay

2

ax3

β＝-33°41′(或326°19′)

1-5． 一质点的运动学方程为x t2，y t 1 (S1)。试求： (1)质点的轨迹方程：(2)在t 2s

2

时，质点的速度和加速度。 解 (1) 由质点的运动方程

x t2 (1)

y t 1 (2)

2

消去参数t，可得质点的轨迹方程

y x 1

(2) 由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 vx 所以

v vxi vyj 2ti 2 t 1 j (3)

dydx

2t vy 2 t 1

dtdt

d2yd2x

ax 2 2 ay 2 2

dtdt

所以

a 2i 2j (4)

把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。 v 4i 2j a 2i 2j

Rsin t 1-6.已知运动函数为r Rcos tij (R, ω为常量)，求质点的速度、加速度、切

向加速度和法向加速度。 解：速度：v

d R cos t r R sin tij dt

d R 2cos t v R 2sin tij dt

2

速度大小：v R 加速度：a

加速度大小：a R 切向加速度：a

d

v 0； 法向加速度：an a2 a 2 R 2 dt

3

1-7. 质点沿半径为1m的圆周运动, 运动方程为 2 3t（SI）. 求：⑴ t 2s时, 质

点的切向加速度和法向加速度.⑵ 当加速度的方向和半径成45角时,角位移是多少？ 解： 质点运动的角速度和角加速度分别为：

d

9t2 dtd 18t

dt

切向加速度： a

dv

r 1 18t 18t dt

法向加速度： an r 2 1 (9t2)2 81t4

⑴当t 2s时 a 18t 18 2 36m/s2

an 81t4 81 24 1296m/s2

⑵ 加速度的方向和半径成45时，即 a an

81t4

18t

t

此时角位移

2 3t 2 3 t 2.67rad

1-8. 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad·s，求t＝2s时边缘

上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

2

33

1

解：当t 2s时， t 0.2 2 0.4rad s 1

则v R 0.4 0.4 0.16m s

an R 2 0.4 (0.4)2 0.064m s 2

a R 0.4 0.2 0.08m s 2

2

a an a 2 (0.064)2 (0.08)2 0.102m s 2

1-9. 飞机以100 m·ｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投

到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？

解: (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为

x ＝vt, y ＝1/2 gt2

飞机水平飞行速度v＝100 m·s-1 ,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离

x v

(2) 视线和水平线的夹角为

2y

452m g

θ arctan

(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

y

12.5o x

vgt

α y

vxv

取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为

gt

at gsinα gsin 1.88m s 2

v gt

an gcos gcos 9.62m s 2

v

1-10 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：

θ = 2 + 4t3．求：

（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；

（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？ 解：（1）角速度为ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1)，

法向加速度为 an = rω2 = 230.4(m·s-2)； 角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2)， 切向加速度为 at = rβ = 4.8(m·s-2)． （2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，

当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2

，即an a．

由此得r 2 r

(12t2)2 24 解得

t 6．

所以

2 4t3 2(13)=3.154(rad)． （3）当at = an时，可得rβ = rω2， 即： 24t = (12t2)2，

解得 ： t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．

1-11. 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a=2+6x。物体在x=0处的速度为10，

求物体的速度与位置的关系。 解： a

3

dvdvdxdv

v dtdxdtdx

vdv adx

对上式两边积分得

vdv adx 2 6x dx

化简得 v 6x2 4x c 由题意知 v

x 0

6 02 4 0 c 10

c 100 故物体的速度与位置的关系为 v 6x2 4x 100

1-12.一质点在平面内运动，其加速度a axi ayj，且ax，(1)求v t和r tay为常量。

的表达式；(2)证明质点的轨迹为一抛物线t=0时，r r0，v v0。 解：由 a

dv

得 dt

v adt 两边积分得

v adt

v0

vt

因ax，ay为常量，所以a是常矢量，上式变为 v v0 at 即v v0 at 由 v

dr

得 dr vdt v0 at dt dt

两边积分，并考虑到v0和a是常矢量， 即 r r0 v0t at2

dr v

r0

rt

at dt

12

(2) 为了证明过程简单起见，按下列方式选取坐标系，使一个坐标轴(如x轴)与a平行，并使质点在t=0时刻位于坐标原点。

这样 x c1t axt2 (1) y c2t (2)

由前面推导过程知 c1 v0x c2 v0y(3) 联立 (1)~(3)式，消去参数t得

22

v0xv0y 2v0 v0y x

y x aa2axx x

2

1

2

此即为轨道方程，它为一条抛物线。

1-13. 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为a g Bv，g为重力加速度，B

为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t=0时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大? 解： (1) 由a dv/dt得

两边积分，得

dv

dt

g Bvdv

g Bv dt

即 ln(g Bv) Bt lnc 由t=0时v=0 得 c=g

所以，物体的速率随时间变化的关系为:

v

g

(1 e Bt) B

(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0

由此得收尾速率 v=g/B

1-14 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向做谐振动，其加速度a ky，k为常数，y是离开平衡位置的坐标值。设y0处物体的速度为v0，求速度v与y的函数关系。 解：建立如图坐标，由 a

dvdvdydv v， dtdydtdy

又 a ky

所以 ky v

dv

， dy

分离变量 vdv kydy， 积分

2

v

v0

vdv ( ky)dy

y0

y

所以 v v0 k(y y0)。

1-15 火车在曲率半径R 400m的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度at 0.2m/s，求火车的瞬时速率为10m/s时的法向加速度和加速度。

2

222

102

解：法向加速度 an 0.25m/s2

400

加速度大小

a

v2

0.32m/s2

arctan

an0.25 arctan 51.36 at0.2

1-16 一物体做如附图所示的抛体运动，测得轨道上A点处，速度的大小为v，其方向与水平线的夹角为30 ，求点A的切向加速度和该处的曲率半径。

解：a gsin30

0.5g

v222 an gcos30

g，

2an3g1-17 一火炮在原点处以仰角 1 30 、初速v10 100m/s发射一枚炮弹。另有一门位于

x0 60m处的火炮同时以初速v20 80m/s发射另一枚炮弹，其仰角 2为何值时，能与第

一枚炮弹在空中相碰？相碰时间和位置如何（忽略空气阻力的影响）？ 解： 建立如图坐标，设经过时间t在x处两只炮弹相碰，分别讨论两炮弹的抛体运动，相遇时有：

弹1：x v10cos 1t （1） y v10sin 1t

12

gt （2）

2

弹2：x x0 v20cos 2t （3）

12

gt （4） 2

5

由（1）（2）（3）（4），解得：sin 2 , 38.682 ，t 2.48s，x 214.7m，y 93.86m

8

y v20sin 2t

或者 141.32 ，t 0.403s，x 34.87m，y 19.34m。（答案里少这种情况）