2010年全国高考文科数学试题及答案-四川1

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2010年四川省高考数学（文史类）试题

第Ⅰ卷

本试卷共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1、设集合A 3,5,6,8 ,集合B 4,5,7,8 ,则A B等于（ ）

（A） 3,4,5,6,7,8 (B) 3,6 (C) 4,7 （D） 5,8 2、函数y log2x的图象大致是（ ）

（A） (B) (C) (D) 3、抛物线y 8x的焦点到准线的距离是（ ）

（A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

4、一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人。为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）

（A）12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6

5、函数f(x) x mx 1的图象关于直线x 1对称的充要条件是（ ） （A）m 2 （B） m 2 （C）m 1 （D）m 1

2

2

2

6、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC 16,AB AB ,则

AM ( )

(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 7、将函数y sinx的图象上所有的点向右平行移动

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸10

长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是（ ） （A）y sin(2x

) （B）y sin(2x ) 1051 1

) （C）y sin(x ) （D）y sin(x

210220

8、某工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B产品。甲车间加工一箱原料需

耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A 产品获利40元；乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元。甲、乙两车间每天共能完成至多70箱

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原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ）

（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱； （B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱； (C) 甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱； (D) 甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱；

9、由1,2,3,4,5,组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ） （A）36 (B) 32 (C)28 (D)24

x2y2

10、椭圆2 2 1(a b 0)的右焦点为F,其右准线与x轴交点为A，在椭圆上存在点P满

ab

足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是（ ）

（A

）(0,

11 (B)(0,] (C)1,1) (D)[,1)

2

22

2

11、设a b 0，则a

11 的最小值是（ ） aba(a b)

（A）1 (B) 2 (C)3 (D) 4

12、半径为R的球O的直径AB垂直于平面 ，垂足为B， BCD是平面 内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（ ）

1718 （B）Rarccos 2525

41

(C) R (D) R

153

（A）Rarccos

第Ⅱ卷

本卷共10小题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，共16分， 把答案填在题中横线上。

13、(x )的展开式中的常数项为 （用数字作答） 14、直线x 2y 5 0与圆x y 8相交于A、B两点，则AB 15、二面角 l 的大小是60 ，AB ,B l，AB与l所成的角为30 ，则AB与平面 所成角的正弦值是

16、设S为复数集C的非空子集，若对任意

的x,y S,都有x y,x y,xy S,则称S为封闭集，下列命题：

①

集合S a ,b为整数为封闭集；

② 若S为封闭集，则一定有0 S； ③ 封闭集一定是无限集；

④ 若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集。

2

2

2x

4

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其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分12分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶：字样即为中奖，中奖概率为

1

，甲、乙、丙三位同学每人购6

买了一瓶该饮料，

（Ⅰ）求三位同学都没的中奖的概率；

（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率。

18、(本小题满分12分)已知正方体ABCD A'B'C'D'中，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点，

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'与BD'的公垂线； （Ⅱ）求二面角M BC' B'的大小；

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19、(本小题满分12分)

(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式C( ):cos( ) cos cos sin sin ； ② 由C( )推导两角和的正弦公式S( ):sin( ) sin cos cos sin 。 （Ⅱ）已知cos

431

， ( , )，tan , (, )求cos( )。 5232

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20、（本小题满分12分）已知等差数列 an 的前3项和为6,前8项和为－4. （Ⅰ）求数列 an 的通项公式；

（Ⅱ）设bn (4 an)qn 1((q 0,n N )，求数列 bn 的前n项和Sn。

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21、(本小题满分12分)已知定点A( 1,0),F(2,0),定直线l:x

1

，不在x轴上的动点P与点2

F的距离是它到直线l的距离的2倍，设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.

(Ⅰ)求E的方程；

（Ⅱ） 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由。

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1 ax

(a 0,且a 1),g(x)是f(x)的反函数， 22、(本小题满分14分)设f(x)

1 ax

（Ⅰ）求g(x)

（Ⅱ）当x [2,6]时，恒有g(x) loga （Ⅲ）当0 a

t

成立，求t的取值范围。 2

(x 1)(7 x)

1

时，试比较f(1) f(2) f(n)与n 4的大小，并说明理由。 2

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2010年四川省高考数学（文史类）试题

参 考 解 答

一、选择题：本题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分

11a2a2112(a b)2b

11、解析：由d a

2

aba(a b)22aba(a

b)aa

2

2 6 2 4，当且仅当a 2b 号

12、解析：先求tan BAC

AB2R 2,AC ,

所以cos

BAC ,由余弦定理BCR5

得R R AM 2R AM

222

,得AM 2R R，由相似三角形得555

4

R2 R2 (R)2

AMMN417 MN R,则球心角余弦值为cos MON , ACR52R 225

rarccos17 故有MN

25

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 13、24 14、 三、解答题：

17、解析：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么P(A) P(B) P(C)

① ② 1, 6

5125

P(A B C) P(A)P(B)P(C) ()3 .

6216

125

答：三位同学都没有中奖的概率是。 （6分）

216

1251325

（Ⅱ）1 P(A B C A B C) A B C A B C) 1 3 () ()

66627

25

答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为

27

18、解法一：连接AC,取AC中点K，则K为BD中点，连接OK，因为点M是棱AA'的中点，点

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11

DD' OK,AM∥BD'∥OK,∴MO AK,MO∥AK.

22

由AA' AK,得MO AA'. O是BD'的中点，∴AM

因为AK BD,AK BB',所以AK 平面BDD'B'

∴ AK BD' ,∴MO BD'.

又∵OM与异面直线AA'和BD'都相交，

故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线。 （5分）

（Ⅱ）取BB'的中点N，连接MN，则MN⊥ 平面BCC'B',

过点N作NH⊥BC'于H，连接MH，则由

三垂线定理得 BC' MH,从而 MHN为二面角M BC' B'的平面角。

设AB 1,

则MN 1,NH BNsin45

1

2在Rt

MNH中，tanMHN

MN NH故二面角M BC'

B'的大小为arctan。 （12分）

解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系D xyz，设AB 1,则

A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A'(1,0,1),C'(0,1,1),D'(0,0,1).

(Ⅰ)因为点M是棱AA'的中点，点O是BD' 的中点。∴M(1,0,),O(,,)

111222

11

OM (, ,0),AA' (0,0,1),BD' ( 1, 1,1),

22

11

OM AA' 0,OM BD' 0 0,

22

12

∴ OM AA',OM BD',

又∵OM与异面直线AA'和BD'都相交， 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线。 （5分）

1

BMC'BM (0, 1,),BC' ( 1,0,1) （Ⅱ）设平面的法向量为n1 (x,y,z)，

2

1 n1 BM 0 y z 0∴ ,即 ，取z 2，则x 2,y 1，从而n1 (2,1,2)。 2 n1 BC' 0 x z 0

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n n21

取平面BC'B'的一个法向量为n2 (0,1,0)，cos n1,n2 1 。

3n1 n2

由图可知二面角M BC' B'的平面角为锐角， 故二面角M BC' B'的大小为arccos

1

。 （12分） 3

19、解析：（Ⅰ）①如图，在直角标系xoy内作单位圆O，并作出角 , 与 ，使角 的始边为Ox轴，交⊙O于点P1,终边交⊙O于点p2；角 的始边为OP2,终边交⊙O于P3,角 的始边为OP1,终边交⊙O于P4.

则P,0),P2(cos ,sin )， 1(1

P3(cos( ),sin( )) P4(cos( ),sin( ))

由PP13 P2P4及两点间距离公式得

[cos( ) 1]2 sin2( ) [cos( ) cos ]2 [sin( ) sin ]2展开并整理，得

2 2cos( ) 2 2(cos cos sin sin )，

∴cos( ) cos cos sin sin （4分） ② 由①易得，cos(

) sin ,sin( ) cos ，

22

sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ( )]22

cos( )cos( ) sin( )sin( ) sin cos cos sin

22

∴sin( ) sin cos cos sin （6分） （Ⅱ）由已知cos

433

， ( , )，∴sin ； 525, )，得cos 由tan ,

(

1

3

2 ，

45

3。（12分） ( )

1051010

∴cos( ) cos cos sin sin ( ) (

3a1 3d 6

20、解析：（Ⅰ）设 an 的公差为d，由已知得 。解得a1 3,d 1，

8a 28d 4 1

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故an 3 (n 1) 4 n （5分） （Ⅱ）由(Ⅰ)的解答可得bn n qn 1，于是

Sn 1 q0 2 q1 3 q2 (n 1) qn 2 n qn 1

当q 1时，上式两边同乘以q可得qSn 1 q 2 q 3 q (n 1)q上述两式相减可得(q 1)Sn nq 1 q q q

n

1

2

n 1

1

2

3

n 1

n qn

qn 1

nq

q 1

n

1 (n 1)qn nqn 1

q 1

n(n 1)1 (n 1)qn nqn 1

S 1 2 3 n q 1 所以 Sn ，当时。 n2

2(q 1)

n(n 1)

,(q 1) 2

综上所述，Sn n 1

n

nq (n 1)q 1, (q 1)2

（12分）

(q 1)

21、解析：（Ⅰ）设P(x,y

) 2(x )，化简得：

1

2

y2

x 1(y 0) （4分）

3

2

（Ⅱ）由①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y k(x 2)(k 0)，与双曲线方

y2

1(y 0)联立消去y得(3 k2)x2 4k2x (4k2 3) 0， 程x 3

2

4k24k2 3

由题意知3 k 0且 0，设B(x1,y1),C(x2,y2)，则x1 x2 ，x1x2 ，

3 k23 k2

2

4k2 38k2 9k2

2 4] 2。 y1y2 k(x1 2)(x2 2) k[x1x2 2(x1 x2) 4] k[2

k 3k 3k 3

2

2

2

∵x1,x2 1，所以直线AB的方程为y

y13y11(x 1)，因此M点的坐标为(,)。 x1 122(x1 1)

3y13y233

FM ( ,)，同理可得FN ( ,)

22(x1 1)22(x2 1)

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81k2

29y1y2339因此FM FN ( ) ( ) 0 22

4k 34k224(x1 1)(x2 1)4

4(2 2 1)k 3k 3

② 当直线BC与x轴垂直时，设BC的方程为x 2，则B(2,3,)(2,3)C

,AB的方程为y x 1，

133333

因此M的坐标为M(,)，FM ( ,),同理得FN ( , ),因此

222222

3333

FM FN ( ) ( ) ( ) 0。

2222

综上 FM FN 0，

∴FM FN，即FM FN,故以线段MN为直径的圆过点F. (12分)

22、解析：（Ⅰ）由题意得a

x

y 1

0， y 1

故g(x) loga

x 1

,x ( , 1) (1, )， （3分） x 1

x 1t

loga2 得 x 1(x 1)(7 x)

（Ⅱ） 由g(x) loga

① 当a 1时，

x 1t 2 0 ，又 因为x [2,6]，所以 x 1(x 1)(7 x)

0 t (x 1)2(7 x)。令h(x) (x 1)2(7 x) x3 9x2 15x 7,x [2,6]

则h(x)' 3x 18x 15 3(x 1)(x 5)，列表如下：

2

所以 h(x)最小值 5，∴0 t 5， ② 当0 a 1时，，0

x 1t

2，又 因为x [2,6]，所以 x 1(x 1)(7 x)

由①知h(x)最大值 32，∴t 32，

综上，当a 1时，0 t 5；当0 a 1时，t 32。 （9分）

（Ⅲ）设a

1

，则P 1， 1 p

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当n 1时，f(1)

1 a2

1 3 5， 1 ap

当n 2时，设k 2,k N 时，则

1 ak22

f(k) 1 1 kk122kk

1 a(1 p) 1CKp CKp ... CKp

所以1 f(k) 1

2444

， 1 1 12

Ck Ckk(k 1)kk 1

44

n 1。 2n 1

从而f(2) f(3) f(n) n 1

所以，f(1) f(2) f(3) f(n) f(1) n 1 n 4

综上， 总有f(1) f(2) f(3) f(n) n 4 。 （14分）