同济大学高等数学1期末试题(含答案)

1. x 2a 若lim 8，则_______. 3ln2 x x a

3sinx x2cosx1

x ____.3 2. limx 0(1 cosx)ln(21 x)

3.设函数y y(x)由方程xy 2lnx y4所确定，则曲线y y(x)在(1,1)处的切线方程为________.x y 22 (n 1) sin) ______. nnn

15. y y e x的通解是____.y Cex e x 2(sin4. limn 1n sin

二、选择题（每题4分）

1.设函数f(x)在(a,b)内连续且可导，并有f(a) f(b)，则（D）

A．一定存在 (a,b)，使 f ( ) 0.

B. 一定不存在 (a,b)，使 f ( ) 0.

C. 存在唯一 (a,b)，使 f ( ) 0.

D.A、B、C均不对.

2.设函数y f(x)二阶可导，且

当 x 0,时，有（A） f (x) 0,f (x) 0, y f(x x) f(x),dy f (x) x,，

A. y dy 0,B. y dy 0,C. dy y 0,D. dy y 0.

3. 2

2(|x| x)e|x|dx (C) A. 0,B. 2,C. 2e2 2,D. 6 2e

4. f(x) x(x 1)(x 3)与x轴所围图形的面积是（B）

A. 3

0f(x)dxB.

1

6 10f(x)dx f(x)dx C. f(x)dx D. f(x)dx f(x)dx 100133135.函数y x3 Cx，（其中C为任意常数）是微分方程y x的（C）

A． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解

2nsinn!1.求数列极限lim. 0 2.求极限x 0

n 1 nlim 2x0etsintdtx22. 2

三、计算题（每题9分）

1. xf(x)dx arcsinx C（其中C为任意常数），求

-131 x2） C 31dx. f(x)

112ln2x2 xf(x)dxf(x)dx2.设函数f(x)连续，且f(x) ，求. 0 04 1 x2

四、10分

设二阶常系数线性微分方程y ay by cex的一个解为y e2x ex xex，求常数a,b,c的值. a 3,b 2,c -1

五、证明题（8分）

设函数f(x)在[a,b]上可导，且f(a) f(b) 0，并存在一点c (a,b)，使得f(c) 0，证明至少存在一点 (a,b)，使得f ( ) 0.

证明：函数f(x)在[c,b]上应用拉格朗日中值定理，则存在 (c,b) 使得f ( ) f(b) f(c) f(c) 0. b cb c

六、应用题（8分）

设有长为l，质量为M的均匀直细棒AB，在AB的延长线上与其近端点相距r处有一质量为m的质点，求细棒对质点的引力.

F GMmGMm l(r x)2r(r l)0