必修5-第一章解三角形-1.2 解三角形应用举例(1)

2010~2011学年度高二数学·必修5(人教A版)

距离

高度

角度

济宁育才中学高二数学组

在ΔABC中，已知下列条件，解这个三角形： (1) b=12,A=30º ,B=120º . (2) b= 10 2 ,a=20,B=30º . 在⊿ABC中，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 且 sinA=2sinBcosC,试确定⊿ABC的形状。

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1、正弦定理：

a b c sinA sinB sinC

可以解决的有关解三角形问题： (1)已知两角和任一边； (2)已知两边和其中一边的对角。 2、余弦定理： a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC 可以解决的有关解三角形的问题： (1)已知三边；(2)已知两边和他们的夹角。3/47

解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。

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1、水平距离的测量①两点间不能到达， 又不能相互看到。需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，AB CA CB 2CA cos C 可求得AB的长。 CB2 2 2

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②两点能相互看到，但不能到达。需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角 和，求出角A然后由正弦定理，AB BC sin C sin A

可求边AB的长。

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③两点都不能到达第一步:在△ACD中，测角∠DAC, 由正弦定理AC DC sin ADC sin DAC

求出AC的长； 第二步:在△BCD中求出角∠DBC, 由正弦定理BC DC sin BDC sin DBC

求出BC的长；

第三步:在△ABC中,由余弦定理AB2 CA2 CB2 2CA cos C 求得AB的长。 CB7/47

在测量上，根据测量需要适当确定 的线段叫做基线,如例1中的AC,例2中 的CD.基线的选取不唯一，一般基线越 长，测量的精确度越高.

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例 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量 两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在 的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55 m, ∠BAC=51°,∠ACB=75°.求 A、B 两点的距离 (精确到 0.1m).

B A

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分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到 一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条 件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据 三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算 出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边。

问题 3:△ABC 中，根据已知的边和对应角， 运用哪个定理比较适当？问题 4: 运用该定理解题还需要那些边和角呢？10/47

解：根据正弦定理，得

AB AC sin ACB sin ABCAC sin ACB 55 sin ACB AB sin ABC sin ABC 55 sin 75 55 sin 75 65.7(m) sin(180 51 75 ) sin 54答：A,B两点间的距离为65.7米。

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例 2、 如图，A、B 两点都在河的对岸(不可到 达) 设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。 ,分析

:这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到 达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角 形，所以需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中 已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另 两边的方法，分别求出 AC 和 BC,再利用余弦定理可 以计算出 AB 的距离。

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解：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得

a sin( ) a sin( ) AC sin 180 ( ) sin( ) a sin a sin BC sin 180 ( ) sin( )计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算 出AB两点间的距离

AB AC BC 2 AC BC cos 2 213/47

测量两个不可到达点之间的距离方案：

选定两个可到达点C、D;→测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、 ∠BDC、∠ADB的大小；

→利用正弦定理求AC和BC;→利用余弦定理求AB.14/47

两点之间不可通也不可视

两点之间可视不可达A

两点都不可达A B

求 距 离

k

Ab a

B 2 1 1B a 4

2C D

1 a

3C

C

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