2018年厦门大学物理系820量子力学考研强化五套模拟题

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2018年厦门大学物理系820量子力学考研强化五套模拟题（一） (2)

2018年厦门大学物理系820量子力学考研强化五套模拟题（二） (9)

2018年厦门大学物理系820量子力学考研强化五套模拟题（三） (18)

2018年厦门大学物理系820量子力学考研强化五套模拟题（四） (24)

2018年厦门大学物理系820量子力学考研强化五套模拟题（五） (31)

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第 2 页，共 36 页 2018年厦门大学物理系820量子力学考研强化五套模拟题（一）

说明：根据本校该考试科目历年考研命题规律，结合出题侧重点和难度，精心整理编写。考研强化检测使用。共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习必备精品资料。

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一、简答题

1． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

2． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级的原子被一个频率为的光子照射，受激发而跃迀到较低能级同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机的。

3． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

4． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？

【答案】不改变。根据对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

5． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？

【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。

（2）空间量子化的事实。

（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。

6． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？

【答案】不妨设这组算符为

.完全系为依题意

则对任意波函数有：

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第 3 页，共 36 页 可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

7． 已知为一个算符满足如下的两式

问何为厄密算符？何为

么正算符？ 【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

8． 波函数是否描述同一状态？ 【答案】

与

描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

9． 什么是定态？若系统的波函数的形式为问是否处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化.不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

10．非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。

【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符

得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函

数。

（3）将体系的状态波函数用算符的本征函数展开：

则在

盔中测量力学量得到结果为

的几率是

得到结果在

范围内的几率是

（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程其中是体系的哈密顿算符。 （5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。

二、计算题

11．求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，

哈密顿量为

【答案】记则哈密顿量可时的哈密顿量相比，相差一常数，且x ，p 换为对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以

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12．验证球面波

满足自由粒子的薛定谔方程：

（注：其中

代表仅与角度有关的微分算符）

【答案】

故

则

故

由（1）（2）（3）式可得此即所需证明方程.

13．一粒子在力学量的三个本征函数

所张成的三维子空间中运动，其

能量算符

和另一力学量算符的形式如其中a , b 为实数。 （1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用表示）：

（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由

令

可得

由久期方程可得：

解得能量算符的三个本征值

将式中各个值代入式中可以得到