无穷级数习题答案

高等数学无穷级数习题和答案

无穷级数自测题简解与答案

一、

填空题

1， k >1; 2, 发散；3，0<p≤1; 4, a<1,b任意；或a=±1,b>1;或a= 1,0<b≤1; 5，发散； 6，绝对收敛；发散； 7， 8；[ 2,2)；8，（－2，2）；

239，;π2；10，。

34二、 选择题

11，A； 12，B； 13，C；14，C；15，C；16；B。 三、 解答题

17（1

n=

→/0级数发散。

（2）用比值判别法，a<3e时收敛; a>3e时发散； a＝3e 时

un+1e

=>1,un→/0，级数发散。

1nun

(1+)

n

(3) sin 1 2 1～1sin(n→∞), 级数收敛。 = 2 2n (4) 用比值判别法， lim

1

n

un+11

=<1， 级数收敛。 

n→∞uen

n1

（5

）limlim==≠0，级数发散。 

n→∞(n+1)nn→∞ne

(1+n

n+

（6）lim

un+1

=0， 级数收敛。 

n→∞un

∞

un1n+1

=lim=1， 原级数与级数∑敛散（7）因为lim

n→∞n→∞n1(1)ln(1)n+n+n=1

(n+1)ln(n+1)

性相同，故原级数发散。 

18， （1）条件收敛（用莱布尼兹判别法即可）；（2）条件收敛； 

（3）lim

n→∞

un+1

=a,a<1时级数绝对收敛；a>1时,limun=+∞,limun≠0，

n→∞n→∞un

级数发散； a=1时级数发散；a= 1时级数条件收敛。 

1 

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（4）un≤

22n+

2

3n+1

，级数绝对收敛。 19， 级数条件收敛。

∞

un=≥∑un发散； n=1级数本身不满足莱布尼兹条件，下用定义判断。设该级数的部分和数列为Sn，则

S2 n=

... nn

=∑vk=k=1∑k=1

而

 vk=

==知  ∑n

n

v

k

是收敛的负数项级数，故limk=1n→∞

S2n=lim

n→∞

∑v

k

存在，

k=1

nlim→∞

S2n+1=lim(n→∞

Sn+

=limn→∞

S2n 从而limSn存在，原级数收敛。 

n→∞

20，（1） [ 1,1], (2), [ 3,1]. 21,  （1）（ 1，1） 

∞

n(n+1)n 11∞n+1′′ 1∞n+1 ′′1 x2 ′′

S(x)=（2） 

∑n=12x=2∑(x)=n=1 2∑xn=1 =2 1 x

 =1

(1 x)

3

,x<1.∞

（3）

∑n(n+1)1

n

=S(=8。 n=1

22 x

122，收敛域 （ 1，1），和函数S(x)= (1 x)2

xln(1 x),x≠0,x<1 

1, x=0.∞

令S(x)=∑n2+n+1xn

,

x<1.，则S(0)=1；x≠0时

n=0

n+1

2 

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∞

S(x)=∑(n+1)2 (n+1)+1n∞n∞∞

1nn=0n+1x=∑(n+1)x n=0∑xn

+n=0∑x

n=0n+1

∞=∑(xn+1∞)′ n1∞1∞

xn+1=(n=0∑x+n=0x∑∑xn+1

)′ 1+1∞xn0n+1n=0

1 xx∑n=0∫0tdt

n==(x1 x)′ 11 x+1x∫x∞0(∑tn)dt=x12 ln(1 x)n=0

(1 x)x∞

∞23， ∑

x3n ∑( 1)n 1

=( x3)n= ln(1 x3),x∈[ 1,1)。 n=1nn=1

n24， 

f(x)=112(1+x)(

1 x)′′=12(1+x) ∞ ∑xn ′′n=0

=1

∞

2(1+x)∑n(n 1)xn 2n=2=1∑∞n(n 1)xn 2

+1∑∞n(n 1)xn 12 

n=22n=2

=1∑∞(n+2)(n+1)xn+1∑∞(n+1)nxn

∞

=∑(n+1)2xn2,x<1n=02n=1n=2

25， 

f(x)=

1(x 2)(x 3)=1x 3 1x 2=1 2+x 1

1

1+x 1

=111∞

1 (x 1) 2(

)=∑(x 1)n

1∑∞(1)n(x 1)n,x 1<11 1(x 1)n=02n=02

2

∞

=∑

n=0

1 1 2n+1 (x 1)n,x 1<1

26,

∞

( 1)n2n f(x)=∫x1 ∑n=0

(2n)!x∞n 1nx0x= ∫0∑( 1)n=1

(2n)! ∞

n

=∑( 1)

n 1

x(2n)!n

x∈( ∞,+∞)n=1

∞

27, 令S(x)=∑

2n+3x2n

,x∈( ∞,+∞).，则 n=0

n!∞

2nx2n∞∞

S(x)=∑32n=0n!∑(x2)n=2n=0n!∑x2n

++3exn=1(n 1)!

∞

22n

=2∑

x(x)

+3ex2

=2x2ex2

+3ex2

=(2x2+3)ex2

n=0

n!

. 

3 

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∞

2n2n

28, ∑=∑ 1 2=e2 3. 

n=2n!n=0n!

∞

∞

π1 ( 1)nπ4∞cos(2n 1)x

29, f(x)=+2∑cosnx=+∑x∈( ∞,+∞) 22

2nπ2πn=1(2n 1)n=1

和函数在[0,2π]上表达式与f(x)相同。 

π2∞ 42

30，f(x)=+∑ 2( 1)ncosnx+( 1)nsinnx ,x∈( π,π) 

n3n=1 n

31，f(x)=

2

( 1)n+1sinnπx,0≤x<1。 ∑n=1nπ

4nπn

( 1) 1cosx,0≤x≤2. ∑22 2n=1nπ

∞

∞

32，f(x)=1+

四、 证明题

∞

33，由题意，∑(un an)是收敛的正项级数。

n=1

而un an≤un an=un an,因此∑(un an)绝对收敛，因而∑(un an)收敛，

n=1

n=1

∞∞

又

∑u

n=1

∞

n

收敛，故

∑a

n=1

∞

n

收敛，即

∑a

n=1

∞

n

绝对收敛。 

∞

111

34， 由题意，lim(an )=0,即liman=,记∑(an an 1+)的部分和为Sn，

n→∞n→∞22n(n 1)n=2

则

Sn=(a2 a1+=an+1 a1+1

111

)+(a3 a2++...+(an+1 an+2 13 2(n+1)n

11

 =an+1

n+1n+111

于是，limSn=，故级数收敛且和为。 

n→∞22

35，分别设

∑n(a

n=2

∞

n

an 1)与∑an的部分和为，σn,Sn 则 

n=1

∞

4 

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n+1n+1

σn=∑k(ak ak 1)=∑(kak (k 1)ak 1 ak 1)

n=2

n=2

n+1n+1

=∑[kak (k 1)ak 1] ∑ak 1=(n+1)an+1 a1 Sn.

n=2

n=2

由题意，limn→∞

σn,lim(n→∞

n+1)an+1均存在，故 

∞

limSn=lim(n+1)an a1 limσn也存在，从而级数∑an收敛。 

n→∞

n→∞

n→∞

n=1

36，f(x)在x=0连续，f(0)=limf(x)=0,f′f(x)

x→0

(0)=lim

x→0

x

=0 f(x)=f(0)+f′(0)x+

f′′(0)22!x+o(x2)=f′′(0)2!

x2

+o(x2) f(1f1f′′(0)11limn( 2+o(2f′′(0)n→∞1=limn→∞1=limn→∞1=

2

 n2n2n2

∞

故

∑

f(1

n

)绝对收敛。 n=1

∞

37， 证明：u2

u222

n+vn+n vn=2un

+2vn

,故

∑un vn收敛，limun vn=0。n=1

n→∞

对任意整数k≥2，uk

k

n vn

≤un v2

∞

n,因此∑un vn收敛。 

n=1

38， 证明：（1）若c1nun cn+1un+1≤0，则

un+u≥cn

， ncn+1

uunu un 1 ... u2u≥cn 1 cn 2 ... c

1u1n=

11=u1c1 n 1un 2u1cncn 1c2cn

∑∞

1

∞c发散，故∑un也发散。 n=1nn=1

（2）类似于（1）。

39，充分性：若{un}有界，则limn→∞

un=M存在，且un≤M,n=1,2,.... 

∑∞

1 uk k=1

u 是正项级数，设其部分和为Sn，则 k+1  

5 

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n

n

S uk n uk+1 uk

∑(uk+1 uk)

un+1 u1M u1

n=∑ 1 u =∑

u k=1

k=1 k+1

k=1 k+1

≤u=

1

u≤

 1u1

故 级数

∑∞

1 uk

收敛。 k=1 uk+1

必要性：若级数

∑∞

1 uk 收敛，则给定ε=1, N,当n>NS S<1

,即 k=1

u k+1 2nN2n

1

n un

k uk+1 uk k+1

uk)

un uN+12>k∑ 1 u = k=∑(u

N+1

=N+1k+1 k∑

=N+1 uk+1

≥u=

=1 u

N+1n

u nun

这说明当n>N时，un<2uN+1 即{un}有界。 40， 证明：{an}↓,limn→∞

an=0,故an≥0. 

∑nn

kbk

=k

2kak+1+kak+2)

k=1

∑(ka

k=1∑nn

n

n

n

=kak 2(k+1)ak+1+2+2

k=1∑k=1

∑ak+1+k=1

∑(k+2)ak+2 2k=1

∑akk=1

n

n+1n+1n+2n+2

=∑kak 2∑kak+2∑ak+k=2

∑kak 2k=3

∑ak

k=1

k=2

k=3

=a1 (n+1)an+1+nan+2=a1 (n+1)(an+1 an+2) an+2<a1

∑∞

kb

k

是正项级数，其部分和数列有界，故级数收敛。

k=1

6