[举一反三]初中数学阅读理解题专题

初中数学阅读理解题专题

【前言】

新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。不同以往的单纯“给条件”to “求结果”式的题目，阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键，让我们先看以下的例题。

第一部分 真题精讲

【例1】2010，朝阳，一模 请阅读下列材料

问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2，

PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．

李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′P B 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．

【思路分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。旋转60度以后BP 就成了BP`,PC 成了P`A,借助等量关系BP`=PP`,于是△APP`就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题，几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。那么根据题中所给的思路，很自然就会想到将△BPC 旋转90度看看行不行。旋转90度之后，成功将PC 挪了图3 图1

图2

出来，于是很自然做AP`延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果完全不看材料，在正方形内做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性所在。

【解析】

（1）如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP′A ，则△BPC ≌△BP′A ． ∴AP′=PC=1，BP=BP′=2． 连结P P′， 在Rt △BP′P 中，

∵ BP=B P′=2，∠PBP′=90°，

∴ P P′=2，∠BP′P=45°．

在△AP′P 中， AP′=1，P P′=2，AP=5，

∵ 22212(5)+=，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP2．

∴ △AP′P 是直角三角形，即∠A P′ P=90°．

∴ ∠AP′B=135°．

∴ ∠BPC=∠AP′B=135°． …

（2）过点B 作BE ⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E ．

∴ ∠E P′ B=45°

.∴ E P′=B E=1.∴ AE=2. ∴ 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB=5．

∴ ∠BPC=135°，正方形边长为5．

【例2】2010，大兴，一模

若12,x x 是关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根

12,x x 和系数,,a b c 有如下关系：1212,b c x x x x a a

+=-⋅=. 我们把它们称为根与系数关系定理.

如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点为12(,0),(,0)A x B x .利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为：

12AB x x =-== 请你参考以上定理和结论，解答下列问题:

设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点为12(,0),(,0)A x B x ，抛物线的顶点为C ，显然ABC ∆为等腰三角形.

（1）当ABC ∆为等腰直角三角形时，求24;b ac -的值

（2）当ABC ∆为等边三角形时，24b ac -= .

（3）设抛物线21y x kx =++与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且90ACB ∠=︒,试问如何平移此抛物线，才能使60ACB ∠=︒？

【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去解决一些问题。题干中给出抛物线与X 轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系,那么第一问要求24b ac -取何值时△ABC 为等腰直角三角形.于是我们可以想到直角三角形的性质就是斜边中线等于斜边长的一半.斜边中线就是顶点的纵坐标,而斜边恰好就是两交点的距离.于是将24b ac -作为一个整体,列出方程求解.第二问也是一样,把握等边三角形底边与中线的比例关系即可.第三问则可以直接利用第一问求得的24b ac -值求出K,然后设出平移后的解析式,使其满足第二问的结果即可.注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。

【解析】．⑴ 解：当ABC △为等腰直角三角形时，过C 作CD AB ⊥，垂足为D ， 则2AB CD =

∵抛物线与x 轴有两个交点，∴0>△，（不要忘记这一步的论证）

∴2244b ac b ac -=-

∵AB = 又∵244b ac CD a

-=， ∵0a ≠，

242b ac -

∴()222444b ac

b a

c --=

∴244b ac -=…

⑵当ABC △为等边三角形时，24b ac -12=

⑶∵90ACB ∠=︒，

∴24b ac -4=．

即244k -=，

∴22k =±

因为向左或向右平移时，ACB ∠的度数不变，

所有只需要将抛物线2221y x x =±+向上或向下平移使60ACB ∠=︒，然后向左或向右平移任意个单位即可．

设向上或向下平移后的抛物线解析式为：2221y x x m =±++，

∵平移后60ACB ∠=︒，∴2412b ac -=，

∴2m =-．

∴抛物线21y x kx =++向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使ACB ∠的度数由90︒变为60︒

【例3】2010，房山，一模

阅读下列材料：

小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD

和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点，

连结AF 、BG 、CH 、DE ，形成四边形MNPQ ．求四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（用含n 的代数式表示）．

小明的做法是：

先取2n =，如图2，将ABN △绕点B 顺时针旋转90︒至'CBN △，再将ADM △绕点D 逆时针旋转90︒至'CDM △，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是15

； 然后取3n =，如图3，将ABN △绕点B 顺时针旋转90︒至'CBN △，再将ADM △绕点D 逆时针旋转90︒至'CDM △，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是410，即25

； ……

请你参考小明的做法，解决下列问题：

（1）在图4中探究4n =时四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；

（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方

形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．

【思路分析】本题属于典型的那种花10分钟读懂材料画1分钟就可以做出来题的类型。材料给出的方法相当精妙，考生只要认真看过去并且理解透这个思路，那么不光是这道题可以做，以后碰见类似的题目都可以用这种方法。材料中所给方法就是将周边的四个三角形其中的两个旋转90°，将三角形放在矩形当中去讨论面积。事实上无论是几等分点，所构造出来的四个小三角形△AMD ，△ABN ，△BPC ，△CQD 都是全等的，并且都是90度，那么他们旋转以后所对应的就是两个矩形，如图三中的BN`PC 和CM`DQ 。而矩形的面积恰好和中间正方形的面积有联系（想想看，是怎样用N 等分点去证明面积比例的）于是顺理成章当N 等于4的时候，去构造一个类似的网格，第一问就出来了。至于第二问和裁剪问题沾点边，完全就是这个技巧方法的逆向思考，重点就在于找出这个多边形是由哪几部分构成。于是按下图，连接BC ，截外接矩形为两个全等的直角三角形，然后旋转即可。说白了，这种带网格的裁剪题，其实最关键的地方就在于网格全是平行线，利用平行线截线段的比例性质去找寻答案。

【解析】

B

E

A

D

C

B

A

四边形MNPQ 与正方形ABCD 的拼接后的正方形是正方形ABCD ．

E

B

A

Q P

N G H F

E

D C

B

A M C

P

G D

Q H M N F

B

E

A 图1

图4

图5

面积比是

917

． 【例4】2010，海淀，一模

阅读：如图1，在ABC ∆和DEF ∆中，90ABC DEF ∠=∠=︒,,AB DE a ==BC EF b == ()a b <,B 、C 、D 、

E 四点都在直线m 上，点B 与点D 重合. 连接AE 、FC ，我们可以借助于ACE S ∆和FCE S ∆的大小关系证明不等式：222a b ab

+>（0b a >>）.

证明过程如下: ∵.BC b BE a EC b a ===-，

，

图1E

D 图2m

F

E C B A

∴11(),22ACE S EC AB b a a ∆=

⋅=- 11().22

FCE S EC FE b a b ∆=⋅=- ∵0b a >>,

∴FCE S ACE S ∆∆>. 即11()()22

b a b b a a ->-. ∴22b ab ab a ->-.

∴222a b ab +>.

解决下列问题：

（1）现将△DEF 沿直线m 向右平移，设()BD k b a =-,且01k ≤≤.如图2,当BD EC =时, k = .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：222a b ab +>（0b a >>）.

（2）用四个与ABC ∆全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个示意图，并简要说明理由.

【思路分析】本题是均值不等式222a b ab +>的一种几何证明方法。材料中的思路就是利用两个共底三角形的面积来构建不等式，利用0b a >>来证明。其中需要把握的几个点就是（b-a ）是什么，以及如何通过(b-a)来造出22a b 和。首先看第一问说要平移△DEF ，

在平移过程中，DE 的长度始终不变，EF 垂直于M 的关系也始终不变。那么此时（b-a ）代表什么？自然就是BD 和ED 之和了。于是看出K 值。接下来就是找那两个可以共底的三角形，由于材料所给提示，我们自然想到用BD 来做这个底，而高自然就是AB 和EF 。于是连接AD ，△ABD 和△BDF 的面积就可以引出结果了。第二问答案不唯一，总之就是先调整出（b-a ）可以用什么来表达，然后去找b 和a 分别和这个（b-a ）的关系，然后用面积来表达出22a b 和的式子就可以了，大家可以继这个思路多想想。

【解析】（1）12

k = 证明：连接AD 、BF .

D m

F

E C B A 可得1()2

BD b a =-.

∴ ()()11112224ABD S BD AB b a a a b a ∆=

⋅=⨯⨯-⋅=-， ()()11112224

FBD S BD FE b a b b b a ∆=⋅=⨯⨯-⋅=-. ∵ 0b a >>，

∴ ABD FBD S S ∆∆<，

即 ()14a b a -()14

b b a <-. ∴ 22ab a b ab -<-.

∴ 222a b ab +>.

（2）

I H D G m

F

E C B A

延长BA 、FE 交于点I.

∵ 0b a >>，

∴ IBCE ABCD S S >矩形矩形，

即 ()()b b a a b a ->-.

∴ 22b ab ab a ->-.

∴ 222a b ab +>.

四个直角三角形的面积和11422

S a b ab =⨯⋅=， 大正方形的面积222S a b =+.

∵ 0b a >>，

∴ 21S S >.

∴ 222a b ab +>.

【例5】2010，昌平，一模。

阅读下列材料:

将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形，如图2，再将图2中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.（要求：无缝隙且不重叠）

请你参考以上做法解决以下问题：

（1）将图4的平行四边形分割成面积相等的八个三角形；

（2）将图5的平行四边形用不同于（1）的分割方案，分割成面积相等的八个三角形，再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形，类比图2，图3，用数字1至8标明.

图1图24图3

65312图5图46877584321

【思路分析】这种拼接裁剪题目往往都是结合在阅读理解题中考察，结合网格，对考生的发散思维要求较强。本题材料中将平行四边形裁减成8份然后重新组成两个平行四边形。要保证平行就需要这些小四边形的边长都是平行且相等的。第一问是面积相等，那么直接利用中点这一个重要条件去做。第二问是分割为能重新组成平行四边形的三角形，那么就要想如何利用三角形去构建平行和相等的关系呢？于是可以想到平行四边形的对角线所分的三角形恰好也就满足这种条件。于是从平行四边形的对角线出发，去拆分出8个小三角形来。具体答案有很多种，在此也不再累述。

78

5

6123467812348

57786图4

图5

21

356图3

4图2图15421

3

【总结】这种阅读理解题是近年来中考题的新趋势，如果没有材料直接去做的话，往往得不到思路。但是如果仔细理解材料中所给的内容，那么就会变得非常简单。这种题的重点不在于考察解题能力，而在于考察分析，理解和应用能力。专门去找大量的类似题目去做倒也不必，而培养审题，分析的能力才是最重要的。考生拿到这种题，第一就是要静下心来慢慢看，切记不可图方便而草草看完材料就去做题，如果这样往往冥思苦想半天还要回来看，浪费了大量时间。裁剪问题和拼接问题也是经常出现在此类问题当中的，面对这种题要把握好构成那些等量关系的要素，如中点，N 等分点等特殊的元素。综合来说只要仔细理解材料中的意图，那么这一部分的分数十分好拿，考生不用太过担心。

第二部分 发散思考

【思考1】几何模型：

条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，

①

②

③

使PA PB +的值最小．

方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1） 如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则

PB PE +的最小值是___________；

（2） 如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，

P 是OB 上一动点，则PA PC +的最小值是___________；

（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，

Q R 、分别是OA OB 、上

的

动点，则PQR △周长的最小值是___________．

【思路分析】利用对称性解题的例题。前两个图形比较简单，利用正方形和圆的对称性就可以了。第三个虽然是求周长，但是只要将这个题看成是从P 点到Q ，然后到R 再折回来的距离最小，当成是那种“将军饮马”题目去做就可以了。

【思考2】

直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下:

A

B

A '

P

l

O

A

B P

R

Q 图3

O

A

B C 图

2

A B E C

P

D

图1

P

请你用上面图示的方法，解答下列问题：

(1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；

(2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.

(1)

【思路分析】材料的方法中，如果延长中位线，并且由底边顶点做中位线的垂线。那么如下图，箭头所指的两个三角形就是全等的，另外一边也是一样，所以这种裁减方法就是利用全等来走。第一问纯属送分，按材料中所给的三角形拆法就可以了。第二问说裁剪梯形，实质上梯形就是由两个三角形组成的，所以随便找一条对角线将梯形拆开，然后按照第一问的思路去做就可以了。

【思考3】

将图①，将一张直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合，这时DE 为折痕， △CBE 为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴EF 折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.

B

图① 图② 图③

（1）如图②，正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；

（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜三角形ABC ，使其顶点A 在格点上，且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形；

（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ；

（4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是 .

【思路分析】本题虽然给出了一个“叠加矩形”的定义，但是和其他题目相比来说依然是换汤不换药。其实就是先要找出一个矩形，然后再去把三角形或者四边形的锐角部分都轴对称进来即可。但是注意，能叠成这样一个叠加矩形的图形，很重要的一条就是三角形的一边长和该边的高相等，然后只有借助垂直关系才能构造出矩形来，所以第四问中的四边形满足的条件也应该是和垂直且相等的关系有关。（有兴趣的同学可以自己证明一下看看）。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

⑴ PB PE +5；

⑵ PA PC +的最小值是23

⑶ PQR △周长的最小值是102

【思考2解析】

③②①中点

中点③②①

【思考3解析】

（1）

（2）

（3）三角形的一边长与该边上的高相等.

（4）对角线互相垂直.（这里回答菱形，正方形是没有分的，因为只需对角线互相垂直即可叠成矩形，并不一定要四边有相等关系，试试看，梯形也可以）

B